2020-2021高中数学人教版第一册学案：5.4.3 正切函数的性质与图象含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：5.4.3正切函数的性质与图象含解析5。4。3正切函数的性质与图象【素养目标】1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．(数学抽象)2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．（逻辑推理）3．通过对正切函数从性质到图象，从图象到性质的探究学习，培养学生的探索精神和创新思维．（逻辑推理）【学法解读】在本节学习中，利用诱导公式推导正切函数的周期性及奇偶性，再利用单位圆作出正切函数y＝tanx，x∈（－eq\f（π,2)，eq\f（π,2)）的图象，进而研究其单调性，培养学生的直观想象、逻辑推理的能力．必备知识·探新知基础知识知识点正切函数的图象与性质(1）图象：如图所示．正切函数y＝tanx的图象叫做__正切曲线__。(2）性质：如下表所示。函数性质y＝tanx定义域eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（x≠__\f(π，2)＋kπ__,k∈Z）))）值域R周期__π__奇偶性__奇函数__单调性增区间__eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(π,2）＋kπ，\f（π，2)＋kπ）)（k∈Z)__减区间无[拓展]（1）正切函数图象的对称中心是eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（kπ，2),0)）（k∈Z)，不存在对称轴．（2)直线x＝eq\f(π，2）＋kπ（k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线．（3)函数y＝Atan（ωx＋φ）＋b的周期是T＝eq\f（π，|ω|）。思考:（1)正切函数的图象有怎样的特征？(2)“正切函数在其定义域内是增函数”这种说法是否正确？提示：（1）①图象关于原点对称;②图象在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸；③图象被相互平行的直线x＝eq\f（π,2)＋kπ（k∈Z）隔开，图象无限接近这些直线，但永不相交．(2）不正确．正切函数在定义域内不具备单调性，但在每一个开区间（－eq\f(π，2)＋kπ，eq\f（π，2）＋kπ)（k∈Z）内是增函数．基础自测1．下列说法正确的个数是(A）①正切函数的定义域和值域都是R;②正切函数在其定义域内是单调递增函数；③函数y＝｜tanx｜与y＝tanx的周期相等，都是π；④函数y＝tanx的所有对称中心是（kπ，0）(k∈Z)．A．1 B．2C．3 D．4[解析］①②④错误,③正确，故选A．2．函数y＝2taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）x－\f(π,4)))的最小正周期是（B)A．π B．2πC．3π D．4π3．函数f（x)＝sinxtanx是（B）A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数4．下列函数中，同时满足:①在（0，eq\f（π,2））上单调递增，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是（A)A．y＝tanx B．y＝cosxC．y＝taneq\f(x,2) D．y＝｜sinx｜[解析]经验证，选项B,D中所给函数都是偶函数，不符合；选项C中所给的函数的周期为2π.5．比较大小:tan(－eq\f(4π，3)）__<__tan（－eq\f（11π,5)）．关键能力·攻重难题型探究题型一正切函数的定义域、值域问题例1(1）若y＝tan(2x－eq\f（π，4）），则该函数定义域为__｛x|x≠eq\f（3π，8)＋eq\f（kπ，2），k∈Z｝__；（2)函数y＝tan（eq\f(x,2)＋eq\f(π,4）)，x∈（0,eq\f(π,6)]的值域是__（1,eq\r(3)]__。[分析](1)由2x－eq\f(π,4)≠eq\f（π，2)＋kπ（k∈Z），即可求出结果．(2）根据x∈(0,eq\f（π,6)]，求解eq\f(x，2)＋eq\f(π，4）的范围，结合正切函数的性质可得值域．[解析］（1)因为y＝tan(2x－eq\f（π，4）),所以2x－eq\f(π，4)≠eq\f（π,2)＋kπ(k∈Z），解得x≠eq\f(3π，8)＋eq\f（kπ,2），k∈Z，所以该函数定义域为｛x|x≠eq\f(3π，8）＋eq\f（kπ,2)，k∈Z}．(2)因为x∈（0，eq\f(π，6）］，所以eq\f（x，2）＋eq\f（π,4)∈(eq\f（π，4），eq\f(π,3）］．结合正切函数的性质可得：1〈y≤eq\r(3)。［归纳提升］求正切函数定义域的方法求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠eq\f（π，2)＋kπ，k∈Z.【对点练习】❶（1）函数f（x）＝tan2x在[－eq\f(π,6),eq\f（π,6）]上的最大值与最小值的差为（A）A．2eq\r(3) B．eq\f（2\r（3）,3）C．2 D．eq\f（2,3)(2)函数f（x）＝eq\f(1，\r(tanx－1))的定义域是__（kπ＋eq\f（π，4)，kπ＋eq\f(π，2）)（k∈Z)__。[解析］（1)函数f(x）＝tan2x在［－eq\f（π,6)，eq\f(π，6）]上单调递增,可得f(x)max＝tan(2×eq\f（π，6)）＝eq\r（3);可得f（x)min＝tan（－2×eq\f（π，6))＝－eq\r(3)；所以最大值与最小值的差为2eq\r(3）。（2)若使函数f(x）有意义，需使tanx－1>0,即tanx>1.结合正切曲线，可得kπ＋eq\f（π，4)<x〈kπ＋eq\f（π，2)(k∈Z）．所以函数f(x)的定义域是（kπ＋eq\f(π，4)，kπ＋eq\f(π，2））(k∈Z）．题型二正切函数的单调性及应用例2（1)求函数y＝tan（eq\f（1，2)x－eq\f(π,4））的单调区间．(2)比较tan（－eq\f(13π,4)）与tan(－eq\f(12π,5））的大小．［分析]（1）利用正切函数的单调性，求得该函数的单调递增区间．(2)利用诱导公式化到同一单调区间内，再运用函数的单调性比较大小．[解析]（1)由kπ－eq\f（π,2)〈eq\f(1，2）x－eq\f（π，4)<kπ＋eq\f（π,2）(k∈Z)，得2kπ－eq\f（π，2）<x〈2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，所以函数y＝tan(eq\f(1，2)x－eq\f（π,4））的单调递增区间是（2kπ－eq\f（π，2）,2kπ＋eq\f(3π,2)）(k∈Z)．(2）由于tan（－eq\f（13π,4)）＝tan（－4π＋eq\f(3π,4))＝taneq\f（3π,4）＝－taneq\f（π,4),tan（－eq\f（12π，5)）＝－tan（2π＋eq\f（2π，5))＝－taneq\f（2π,5），又0<eq\f（π，4)<eq\f(2π,5）〈eq\f（π，2）,而y＝tanx在（0，eq\f（π，2））上单调递增，所以taneq\f(π，4）〈taneq\f（2π，5），－taneq\f（π,4）>－taneq\f（2π，5)，即tan（－eq\f(13π,4））〉tan（－eq\f(12π,5)）．［归纳提升]1。求函数y＝Atan(ωx＋φ）（A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法（1）若ω>0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都是单调递增的，故可用“整体代换”的思想，令kπ－eq\f(π，2）<ωx＋φ<kπ＋eq\f(π，2)，求得x的范围即可．(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan［－（－ωx－φ)］＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．（2)运用单调性比较大小关系．【对点练习】❷（1)比较tan1，tan2，tan3的大小;(2）求函数y＝3taneq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π，4）－2x）)的单调区间．［解析］(1）因为tan2＝tan（2－π），tan3＝tan(3－π）．又因为eq\f(π,2）<2〈π，所以－eq\f(π,2)〈2－π〈0。因为eq\f(π，2）<3<π，所以－eq\f(π，2）〈3－π<0。显然－eq\f（π,2）<2－π〈3－π〈1〈eq\f（π,2），又y＝tanx在(－eq\f(π，2），eq\f（π，2)）内是单调递增的，所以tan(2－π)<tan(3－π)〈tan1，即tan2〈tan3<tan1。（2）y＝3taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π,4)－2x))＝－3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x－\f（π，4)）)，由－eq\f（π，2)＋kπ〈2x－eq\f（π,4）<eq\f(π,2）＋kπ得，－eq\f(π，8)＋eq\f（kπ,2）<x<eq\f（3π,8)＋eq\f(kπ，2)（k∈Z)，所以y＝3taneq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，4)－2x)）的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（π,8)＋\f(kπ，2)，\f(3π,8）＋\f（kπ，2）））(k∈Z）．题型三正切函数的周期性与奇偶性例3(1）求函数f(x）＝eq\f（1，2）tan（3x－eq\f(π,5))的最小正周期；（2）已知函数f（x)＝asinx＋btanx＋2018,若f(2019)＝－1，求f(－2019）的值．[分析］（1)根据正切函数最小正周期求解；(2）根据函数y＝asinx＋btanx是奇函数求解．[解析](1）因为eq\f(1，2)tan(3x－eq\f(π,5）)＝eq\f(1,2）tan(3x－eq\f（π，5）＋π）,即eq\f（1，2)tan[3（x＋eq\f（π，3）)－eq\f(π,5）］＝eq\f(1,2）tan(3x－eq\f（π，5））．因此f（x＋eq\f(π,3））＝f（x），故函数的最小正周期为T＝eq\f（π,3).（2）令g（x)＝asinx＋btanx，则f(x)＝g(x）＋2018。因为g(－x)＝asin（－x）＋btan(－x）＝－(asinx＋btanx）＝－g（x)，所以g(x)是奇函数．因为f（2019)＝g（2019)＋2018＝－1,所以g(2019）＝－2019，则g（－2019)＝2019，故f(－2019)＝g(－2019）＋2018＝2019＋2018＝4037。[归纳提升]与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性：(1）一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ）的最小正周期为T＝eq\f(π,|ω|),常常利用此公式来求与正切函数有关函数的周期．（2)函数y＝tanx是奇函数，其图象关于原点对称．若函数y＝tan(ωx＋φ）是奇函数，则φ＝eq\f（kπ，2）(k∈Z）．【对点练习】❸（1)函数f(x)＝eq\f(tanx，1＋cosx）(A）A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数(2）若函数y＝3tan(ωx＋eq\f（π，6)）的最小正周期是eq\f(π，2），则ω＝__±2__。误区警示错用正切函数的对称中心例4下列是函数f(x)＝2tan(3x＋eq\f(π，6))＋1图象的一个对称中心的是__③④__。①（eq\f（π,9),0）；②（－eq\f（π,18）,0）；③(eq\f(π，9),1）;④（－eq\f（π，18），1）．［错解]令3x＋eq\f（π,6)＝kπ（k∈Z)，解得x＝eq\f（kπ，3)－eq\f(π,18)(k∈Z)．所以当k＝0时，x＝－eq\f（π,18）.因为f(x)＝2tan(3x＋eq\f(π,6））＋1的图象是由f(x)＝2tan（3x＋eq\f（π，6））的图象向上平移1个单位长度得到的,所以函数f（x）＝2tan（3x＋eq\f(π，6))＋1的图象的一个对称中心可以是（－eq\f(π，18)，1），故填④.[错因分析］误把正切函数的对称中心认为只有（kπ，0)(k∈Z）．［正解］令3x＋eq\f(π，6）＝eq\f(kπ，2）(k∈Z)，解得x＝－eq\f(π,18)＋eq\f（kπ,6)(k∈Z)．所以当k＝0时，x＝－eq\f（π，18).因为f(x）＝2tan(3x＋eq\f（π,6))＋1的图象是由f(x)＝2tan(3x＋eq\f(π,6）)的图象向上平移1个单位长度得到的，所以函数f(x)＝2tan（3x＋eq\f(π,6）)＋1的图象的一个对称中心可以是(－eq\f（π,18),1)．同理，当k＝1时,x＝eq\f(π，9),从而得另一个对称中心可以是(eq\f（π，9)，1),故填③④。[方法点拨］正切函数图象的对称中心为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(kπ，2)，0))（k∈Z）．学科素养数形结合思想—利用图象解三角不等式例5观察正切曲线，解不等式tanx>1.［思路分析]先确定在一个周期eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π，2)，\f(π,2））)内的x值的范围，再写出不等式的解集．[解析］函数y＝tanx在区间eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（π,2)，\f(π,2））)内的图象如图所示．作直线y＝1，则在eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f（π，2)))内,当tanx〉1时，有eq\f(π，4)<x<eq\f（π，2),又函数y＝tanx的周期为π，则tanx>1的解集是eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（π,4）＋kπ<x<\f（π，2)＋kπ，k∈Z））））.［归纳提升］解形如tanx>a的不等式的步骤eq\x(作图象）→eq\x(作在－\f（π,2）,\f(π，2）上的正切函数图象）↓eq\x(求界点）→eq\x(求在－\f（π，2)，\f(π,2）上使tanx＝a成立的x值)↓eq\x（求范围）→eq\x(求在－\f（π，2),\f（π,2）上使tanx〉a成立的x的范围）↓eq\x(写出解集）→eq\x（根据正切函数的周期性，写出解集)课堂检测·固双基1．（2019·福建龙岩期中)函数y＝tan（x＋eq\f（π,3))的定义域是（A）A．｛x∈R|x≠kπ＋eq\f(π,6），k∈Z｝B．｛x∈R|x≠kπ－eq\f（π，6）,k∈Z｝C．{x∈R|x≠2kπ＋eq\f（π,6)，k∈Z}D．{x∈R｜x≠2kπ－eq\f(π,6),k∈Z｝［解析]由正切函数的定义域可得，x＋eq\f（π,3）≠eq\f（π,2）＋kπ，k∈Z，∴x≠eq\f(π，6）＋kπ,k∈Z。故函数的定义域为{x∈R|x≠eq\f(π,6）＋kπ，k∈Z}．2．下列各式中正确的是(D)A．tan735°〉tan800° B．tan1〉－tan2C．taneq\f(5π,7）<taneq\f(4π,7） D．taneq\f（9π，8）<taneq\f（π，7)［解析］taneq\f（9π，8）＝tan(π＋eq