对数以及对数函数学习教案1人教课标版实用学习教案

对数与对数函数

授课目的：掌握对数运算（高考要求）及对数函数的有关看法（高考要求）.

授课重难点：熟悉对数的运算，掌握对数函数图像性质及其应用。

授课过程：一.知识要点：.对数看法（）对数的定义：若是anba0,a1，那么叫做以为底的对数，记做logaNba0,a1，由定义知负数和没有对数。平时以为底的对数叫做常用对数，记做lgNlog10N。以无理数＝为底的对数叫做自然对数。记做lnNlogeN。（）对数的运算性质：logaMNlogaMlogaN,logaMlogaMlogaN.NlogaMnnlogaM,logambnnlogab,M,N,a,b,n,m0,a1m（）对数的恒等式：

loga10,logaa1,alogaNN,alogbNNlogbalogbNlogab1,logablogbclogac,a,b,c,N0,a,b1logaN,logbalogba.对数函数：

（）.定义：形如a(>≠)的函数叫做对数函数。

（）.对数函数的图象与性质：

><<

图

象

性（）定义域：（，＋∞），值域为

质（）过点（）与（）（）0x10x1>时a0x1<<a0x10x10x1（）在（，＋∞）上是增函数在（，＋∞）上是减函数

对数函数a(>≠)与指数函数x(>≠)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的对应法规是互逆的，其图象关于对称。

（）.对数有关的大小比较的基本思路：）利用函数的单调性，）作差或作商法，）利用中间量。）化同底或化同指数。）放缩法。

二.基础练习：.若∈( ),则＜＜.已知3a,且11，则的值是15ab12.已知［( )］，那么x2等于4.已知＜＜＞＞，则1,logab,logb1的大小关系是logablogb1loga1bbbb.函数（）1（x23x2x23x4）的定义域为［，）∪（，）x.设( )2x,则(x)f(2)的定义域为( )∪( )2x2x.函数( )的值域是,则的取值范围是≤.已知函数(）的定义域是［，］，求( )的定义域.解∵( )的定义域是［，］，即≤≤,∴1≤≤.2∴函数( )中1≤≤.即2≤≤,∴2≤≤.2故函数( )的定义域为［2，］

三.例题精讲：

题型：对数运算.

例计算：（）log23(23)（）(2)2·(lg2)2lg21;（）13248245.2493解（）方法一log23(23),则(3)31（3）,∴.23方法二log3(23)log21(3).23log2323（）原式2（2）(lg2)22lg212( )22(2).（）原式1（）42111( )4×3lg21( )51111(×)11.23223222222222题型：对数函数性质及应用.

例比较以下各组数的大小.（）2与6;（）1.10.7与;35（）已知1＜1＜1,比较,2a,2c的大小关系.222解（）∵2＜,6＞,∴2＜6.3535( )方法一∵＜＜＜,log0.71.1log0.71.2,11,log0.71.1log0.71.2即由换底公式可得1.10.7＜.方法二作出与的图象.以下列图两图象与订交可知1.10.7＜.( )∵log1x为减函数，且log1blog1alog1c,2222∴＞＞,而是增函数，∴＞＞.变式：（全国卷Ⅱ理）设alog3,blog23,clog32，则abclog32log22log23bclog23log22log33log3ababc例.已知函数（）( )在区间（∞,3］上是单调递减函数.求实数的取值范围.解令( ),则( )（a）a2,24由以上知(）的图象关于直线a对称且此抛物线张口向上.2由于函数( )( )的底数＞,在区间（∞3］上是减函数，

因此( )在区间（∞3］上也是单调减函数，且( )＞.∴13a，即a2232g(13)0(13)2a(13)a0解得3≤＜.故的取值范围是{3≤＜}.例.已知函数( )x1( )( ).1

（）求( )的定义域；（）求( )的值域.

x10①,x1解（）( )有意义时，有x10②,px0③,

由①、②得＞,由③得＜,由于函数的定义域为非空数集，故＞( )的定义域是( ).（）( )［( )( )］［（p1）(p1)2］(＜＜),24①当＜p1＜，即＞时，＜(p1)2(p1)2(p1)2,2244∴(xp1)2(p1)2≤( ).24②当p1≤，即＜≤时，2∵＜(p1)2(p1)22(p1),∴(xp1)2(p1)2＜( ).2424综合①②可知：当＞时，( )的值域是（∞( )］;

当＜≤时，函数( )的值域是(∞( )).

题型：综合应用.

例.已知函数( )(＞≠)，若是关于任意∈［，∞）都有( )≥成立，试求的取值范围.

解当＞时，关于任意∈［，∞），都有( )＞.因此，( )( ),而( )在［，∞）上为增函数，∴关于任意∈［，∞），有( )≥.，要使( )≥关于任意∈［，∞）都成立.

只要≥即可，∴＜≤.

当＜＜时，关于∈［，∞），有( )＜,

( )( ).

∴（）在［，∞）上为增函数.

( )( )≥.

因此，要使( )1,即1≤,∴1≤＜.aa3综上，使( )≥对任意∈［，∞）都成立的取值范围是(，］∪［1，）.3例.已知函数a2( )在(∞)上是增函数，求的取值范围.解由于( )在(∞］上是减函数，在［,∞)上是增函数，要使a2( )在(∞)第一必有＜＜,即＜＜或＜＜,且有(2)0,得≥1.a2,4综上，得1≤＜或＜＜.4例.已知函数( )xbb

(＞,且≠，＞).

（）求( )的定义域；（）谈论( )的奇偶性；（）谈论(）的单调性.解（）由xbxb＞( )( )＞.解得( )的定义域为（∞）∪(∞).（）∵（）(xb)loga(xb)loga(xb)1f(x),∴（）为奇函数.xbxbxb（）令（）xb，则( )2b.它在（∞）和(∞)上是减函数.∴当＜＜时，( )xbxb在（∞）和(∞)上是增函数；当＞时，( )在（∞）和(∞)上是减函数.例.设∈，且≠,定义在区间（）内的函数( )lg1ax是奇函数.12x( )的单调性.

解（）( )1ax(＜＜)12x对任意∈( )f(x)f(x)，①,1axlg12x1ax0，①式即为lg，12x②12x1ax1ax12x,也即,12x1ax此式对任意∈( )都成立相当于,由于≠,因此，

代入②式，得

12x＞,12x

即

1＜＜2

1,2

此式对任意∈

( )

都成立相当于

1≤＜≤2

1,2

因此的取值范围是（

,1］.

2（）设任意的∈

( )

，且＜,

由∈（，

1］，

2得1≤＜＜＜≤1,22

因此＜＜＜＜,

从而( )( )12x2lg12x1lg(12x2)(12x1)lg2x212x1(12x2)(1lg10.12x1)

因此( )在（)内是减函数，拥有单调性.

能力测试题

.化简求值.（）71;482（）( )·;（）( )·( ).解( )原式7712133.422log2log222484842222（）原式( ).

（）原式(lg2lg2lg3lg3)3lg25lg35.lg32lg3)·(3lg2·42lg22lg36lg2

15321..计算(2)3log32144.函数( )|x2|1的定义域为［，∞）.log2(x1).函数( )1g(x22x)的定义域为（，）或（，）；9x2.若函数( )(＞,且≠)的图象过两点（，）和（，），则.设＞,函数( )在区间［,2a］上的最大值与最小值之差为1，则2.函数1( )的递加区间是（∞）2.函数（）（）在［，］上的最大值和最小值之和为，则12.已知( )( ),则x.y.若函数(·)的定义域为，则实数的取值范围为≤

三、解答题

.已知函数( )( )(＞),若函数( )图象上任意一点关于原点对称点的轨迹恰好是函

数( )的图象.

（）写出函数( )的剖析式；

（）当∈［，）时总有( )( )≥成立，求的取值范围.

解（）设（，）为( )图象上任意一点，则（，）是点关于原点的对称点，

∵（，）在( )的图象上，∴（），即( )( ).（）( )( )≥,即x1≥.1x设（）1x∈［，），由题意知，只要（）≥即可.1x∵（）在［，）上是增函数，∴（）（）.故≤即为所求.

.已知过原点的一条直线与函数的图象交于、两点，分别过、作轴的平行线与函数的

图象交于、两点.

（）证明:

（）当平行于轴时，求点的坐标.

（）证明设点、的横坐标分别为、,

由题设知＞＞,则点、的纵坐标分别为、.

由于、在过点的直线上，因此log8x1log8x2x1x2点、的坐标分别为( )、( ),由于log8x1,log2x13log8x1,log82x1x1的斜率为k2log2x23log8x2,由此可知,即、、在同素来线上.x2x2（）解由于平行于轴，知，即得1,3代入，得,由于＞,知≠,故,,解得3,于是点的坐标为（3，3).

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