2023年3月第十四届全国大学生数学竞赛初赛(补赛二 )试题答案解析卷

2023年3月第十四届全国大学生数学竞赛初赛(补赛二)试题卷(非数学类，2023年3月5日)一、 壊空题(本题满分30分，毎小题6分)极限 +32+-+(2n-l)2]= .【解】利用定积分的定义，得lim-!y[l2+32+•••+(2w-l)2]=41im—=4x2dx=?.设函数/(x)在x=l的某一邻域内可微，且满足/(I+x)-3/(1-x)=4+2x+o(x),其中。(x)是当xt0时x的高阶无穷小，则曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程为 .【解】由于/(x)在x=l处可微，因而连续，故对所给等式求极限XT0,可得-2/(1)=4,所以/(1)=-2.仍由所给等式，得/(l+x)_/(l)z/(l_x)_/(1)=,心)x —X X两边取极限xtO,并根据导数的定义，得4.广(1)=2,所以/*(!)=|.因此，曲线y=/(x)在点(!,/(!))处的切线方程为= 即x_2*_5=0.设y=*(x)是初偵间题卩"-2*'-3‘=1,的解则*(乂)= *(0)=0,*(0)=1 【解】对于齐次微分方程y'-2y,-3y=ol其特征方程22-2A-3=0的根为凡=3,石=-1,所以y'-2y'-3y=0的通解为经观察，非齐次微分方程Z-2/-3y=l的一个特解为外=-：•所以，方程的通解为*(*)=Qe”+C.e,-|.又由以0)=0,_/(0)=丨解得，C,=|.C2=0.因此y(x)=|(e3x-l).设可微函数£=z(x,_y)满足/与+/与=2宀又设“=x,卩=丄-丄，exoy yx= 则对函数W=H<U.V).偏导数 【解】由“=X解得= 则对函数W=H<U.V).偏导数 【解】由“=X解得x="，ydwd(\■■=■I—■du伽［z 亠；，且wIdz1\(dzdxdz卽).Iz2duu2z1dudydu)u2所以1(dzdzmv+1—mv1 1(dzdz1=-p■［云+專.(“+】)2尸卩=一7•［瓦,秆夜71?\(dzdzy2}II 点)1 1-貝底与丁丿云瓦)+LK因此票OUL-2v-l设a>0,则均匀曲面x2+y2+z2=a2(x^O.y^0,z>0)的重心坐标为【解】记所给曲面为E,并设E的面密度为常数〃.£的取心坐标为丘云；),由于£的质量:为=吵，所以8 2宀即3=一，妣.设£的外法向最与z轴正向的央角为/.则cos/=-.所以坎峭胛sg号貯d.y号淑2=m根据对称性，三=》=号・因此曲面的車心坐标为(§段)二、(本题满分14分)设函数/•(同=广«£^，正整数〃匕2023,求导数［解】令心=』：誹,则尸⑴=吕，尸⑴=2°23二(拨；)一2.严所以F(0)=r(0)=尸(0)=0. 5分对/(x)=e'F(x)利用Leibniz公式，再代入x=0得广，(0)=广£(-iy"cy⑴=£(T)iC：R*0).*=0欲求F,4,(0),对(\+x2)F'(x)=x2o2S两边求&-】阶导数,并利用Leibniz公式，得(l+x2)F,4,(x)+2(A-l)xF<4n(x)+(^-lX*-2)FU2,(x)=(x2O2,)u代入x=0,并注意到k<n<2023,得F<4,(O)=-(A-IX*-2)FU-2,(O).由此递推,得尸血(°)=…=(-1)"'(2&_1)!尸(0)=0.

R”f(o)=...=(_»(2A)!F'(0)=0.因此，/"'(O)=£(T)""C：F0(O)=0. 5分三、(本题满分14分)设函数/(x)在区间(0,1)内仃定义，lim/(x)=0,且*-*0*r(x)lim =0.证明：lim^i=O.r-*0,r j-*0*r【证】根据题设条件得，对于任意非负整数妇有lim 2—=o.34 4分令*=0」,2,・・m-1,并求和，可得小-倬 /(寺)-碍)lim =limV— =0.，卄x 三 3? 5分因此，有/(x)-/(m=xa(x),K中a(x)是当xW时的无穷小.对上式取极限〃一♦8,并利用条件lim/(.r)=0.得f(x)=xa(x).所以lim/⑴=lima(x)=0. 5分x->0x四、(本题满分14分)设函数/(X)在区间［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且/(0)=0,/(1)=2.证明：存在两两互异的点§gqw(0,l)，使得【证】令F(x)=/(x)-2+x,则F(x)在［0,1］上连续，且F(0)=-2,F(1)=1.根据连续函数介值定理，存在爲妊(0,1)使得烈畐)=0,即/(^)=2-*. 5分在区间［0MJ，哆,1］上分别利用Lagrange中值定理，存在号产(0,&),乌6(&,1)，使得穿咎=，(斜且紗伴*国，备一。 公一1即/'(§)=¥・/«2)=足， 5分4 1-鸟所以因此，存在两两互异的点6(0,1)，使得,(§)/'(£2)JV22. 4分五、(本题满分14分)设/(x)是［-1.1］k的连续的偶函数，计算曲线枳分:/=$味Jdr+/(x)W，其中曲线£为正向圆周x2^y2=-2y.【解】 取圖的圆心角。作参数，则曲线厶：/+顔+1)2=1的参数方程为:x=cos0.v+1=sin。(0£0《2汗).因为dx=-sinQd。，dv=cos^d^.所以/=£* (~sin^)d6?+/(cos0)cosOd0. 4分其中第-•项为/t=『:、如°)$泊0必=一匚(1_$泊0)<10+『(l_sin°)d6=4. 5分第二项为/2=£\f(cosO)cos8d0=j：/(cos0)cos0d0+*/(cos0}cosffd0=£Tf(cos0}cosOd0+匚f(cos(/+/r))cos(r+/r)df=j：f(cos0)cos0d0-£T/(-cos/)coszdz=0,TOC\o"1-5"\h\z因此，原积分/=/,+/2=4. 5分六、（本题满分"分）设函数«）=匚務俨，（3）.证明级数乡中收如且挺炽.【解】