新教材2021-2022学年人教a版数学必修第二册课时检测643第二课时正弦定理WORD版含解析

课时跟踪检测(十二)正弦定理[A级基础巩固]1．在△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝15°，则c等于()A．1 B.eq\r(2)C．3eq\r(2) D.eq\r(3)解析：选CC＝180°－30°－15°＝135°，c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(3×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝3eq\r(2).故选C.2．在△ABC中，若a＝2，b＝2eq\r(3)，A＝30°，则B为()A．60° B．60°或120°C．30° D．30°或150°解析：选B由正弦定理可知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(2\r(3)×\f(1,2),2)＝eq\f(\r(3),2)，∵B∈(0°，180°)，∴B＝60°或120°.故选B.3．在△ABC中，若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosC,c)，则C的值为()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选B由正弦定理知eq\f(sinA,a)＝eq\f(sinC,c)，∴eq\f(sinC,c)＝eq\f(cosC,c)，∴cosC＝sinC，∴tanC＝1，又∵0°<C<180°，∴C＝45°.故选B.4．在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形解析：选B由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，由a＝bsinA，得sinB＝1，所以B＝eq\f(π,2)，即△ABC为直角三角形．5．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.根据下列条件解三角形，其中有两解的是()A．b＝10，A＝45°，C＝70°B．b＝45，c＝48，B＝60°C．a＝14，b＝16，A＝45°D．a＝7，b＝5，A＝80°解析：选BC选项A：因为A＝45°，C＝70°，所以B＝65°，三角形的三个角是确定的值，故只有一解．选项B：因为sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\f(8\r(3),15)<1，且c>b，所以角C有两解．选项C：因为sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(4\r(2),7)<1，且b>a，所以角B有两解．选项D：因为sinB＝eq\f(bsinA,a)<1，且b<a，所以角B仅有一解．故选B、C.6．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________．解析：由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(1×sin30°,sin45°)＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq\r(7)，b＝2，A＝60°，则sinB＝_______，c＝________．解析：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(b,a)·sinA＝eq\f(2,\r(7))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(21),7).由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得7＝4＋c2－4c×cos60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或－1(舍去)．答案：eq\f(\r(21),7)38．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝eq\r(3)，sinB＝eq\f(1,2)，C＝eq\f(π,6)，则b＝________．解析：在△ABC中，∵sinB＝eq\f(1,2)，0<B<π，∴B＝eq\f(π,6)或B＝eq\f(5,6)π.又∵B＋C<π，C＝eq\f(π,6)，∴B＝eq\f(π,6)，∴A＝π－eq\f(π,6)－eq\f(π,6)＝eq\f(2,3)π.∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴b＝eq\f(asinB,sinA)＝1.答案：19．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R.解：∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)＝2R，∴c＝eq\f(a·sinC,sinA)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq\r(6)，∴2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(10,\f(\r(2),2))＝10eq\r(2)，∴R＝5eq\r(2).10．在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.(1)求角A的大小；(2)求eq\f(bsinB,c)的值．解：(1)由题意知，b2＝ac，a2－c2＝ac－bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(ac＋bc－ac,2bc)＝eq\f(1,2)，∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).(2)由b2＝ac，得eq\f(b,c)＝eq\f(a,b)，∴eq\f(bsinB,c)＝sinB·eq\f(a,b)＝sinB·eq\f(sinA,sinB)＝sinA＝eq\f(\r(3),2).[B级综合运用]11．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶6，则sinB等于()A.eq\f(2\r(14),9) B.eq\f(\r(14),9)C.eq\f(\r(11),5) D.eq\f(2\r(11),5)解析：选A设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.由sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶6及正弦定理，得a∶b∶c＝3∶5∶6，则可设a＝3k，b＝5k，c＝6k，k>0.由余弦定理的推论得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(9k2＋36k2－25k2,2×3k×6k)＝eq\f(5,9)，则sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(2\r(14),9).12．(多选)在△ABC中，若A>B，则下列不等式中一定正确的是()A．sinA>sinB B．cosA<cosBC．sin2A>sin2B D．cos2A<cos2B解析：选ABDA>B⇔a>b⇔sinA>sinB，A正确．由于在(0，π)上，y＝cosx单调递减，∴cosA<cosB，B正确．cos2α＝1－2sin2α.∵sinA>sinB>0，∴sin2A>sin2B，∴cos2A<cos2B，D正确．13．在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，BC边上的高AD＝eq\f(1,3)BC，且AD＝1，则AC＝________，sinA＝________．解析：如图，由AD＝1，B＝eq\f(π,4)，知BD＝1，又AD＝eq\f(1,3)BC＝BD，∴DC＝2，AC＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).由正弦定理知，sin∠BAC＝eq\f(sinB·BC,AC)＝eq\f(\f(\r(2),2),\r(5))×3＝eq\f(3\r(10),10).答案：eq\r(5)eq\f(3\r(10),10)14．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，用正弦定理证明：eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,DC).证明：如图，设∠BAD＝α，∠BDA＝β，则∠CAD＝α，∠CDA＝180°－β.在△ABD和△ACD中分别运用正弦定理，得eq\f(AB,BD)＝eq\f(sinβ,sinα)，eq\f(AC,DC)＝eq\f(sin（180°－β）,sinα).又因为sin(180°－β)＝sinβ，所以eq\f(AB,BD)＝eq\f(AC,DC)，即eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,DC).[C级拓展探究]15．在正弦定理中，设eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝k，试探究常数k与△ABC外接圆的半径R的关系．解：k＝2R.如图①，当A＝90°时，eq\f(a,sinA)＝BC＝2R.如图②，当A是锐角时，连接BO并延长交⊙O于点A′.可知∠BAC＝∠BA′C.且△BCA′是直角三角形，∴sin∠BAC＝sin∠BA′C＝eq\f(BC,BA′)＝eq\f(a,2R)，∴eq\f(a,sin∠BAC)＝eq