新教材2021-2022学年高一数学北师大版必修第一册学案第6章442分层随机抽样的均值与方差43百分位数word版含解析

4.2分层随机抽样的均值与方差4.3百分位数学习目标核心素养1．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差．(难点、重点)2．结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．(难点、重点)1．通过计算分层随机抽样的样本的均值和方差，培养数学运算素养．2．通过学习分层随机抽样的样本均值和样本方差的意义，培养数据分析素养.1．分层随机抽样的均值和方差的计算公式是什么？2．百分位数的概念是什么？如何求解？有何意义？3．什么是四分位数？1．分层随机抽样的均值设样本中不同层的平均数和相应权重分别为eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，…，eq\x\to(xn)和w1，w2,…，wn，则这个样本的平均数为w1eq\x\to(x)1＋w2eq\x\to(x)2＋…＋wneq\x\to(xn).为了简化表示，引进求和符号，记作w1eq\x\to(x)1＋w2eq\x\to(x)2＋…＋wneq\x\to(x)n＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))wieq\x\to(x)i.2．分层随机抽样的方差设样本中不同层的平均数分别为eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，…，eq\x\to(x)n，方差分别为seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，…，seq\o\al(2,n)，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))wi[seq\o\al(2,i)＋(eq\x\to(xi)－eq\x\to(x))2]，其中eq\x\to(x)为样本平均数．3．百分位数(1)定义：一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0,1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.(2)常用的百分位数：①四分位数：25%,50%,75%，②其它常用的百分位数：1%,5%,10%,90%,95%,99%.(3)计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下：第1步，按照从小到大排列原始数据；第2步，计算i＝np；第3步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．(1)甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是eq\f(80＋82,2)＝81分吗？方差是eq\f(2＋4,2)＝3吗？为什么？(2)“这次数学测试成绩的70%分位数是85分”这句话是什么意思？[提示](1)不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的．(2)有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分．1.下列一组数据的25%分位数是()2．1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6.A．3.2 B．3.0C．4.4 D．2.5A[把该组数据按照由小到大排列，可得：2.1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6.由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是25%分位数．]2.某单位共有员工100人，其中年轻人有20人，平均年薪为5万元，中年人有80人，平均年薪为8万元，则该单位员工的平均年薪为()A．5万元 B．8万元C．6.5万元 D．7.4万元D[由题意可知eq\x\to(x)＝eq\f(20,100)×5＋eq\f(80,100)×8＝7.4(万元)．]类型1分层随机抽样的均值与方差【例1】工厂为了解每个工人对某零件的日加工量，统计员分别从两车间抽取了甲、乙两人日加工量的两个样本．抽到甲的一个样本容量为10，样本平均数为5，方差为1；乙的一个样本容量为12，样本平均数为6，方差为2.现将这两组样本合在一起，求合在一起后的样本的平均数与方差．[解]设抽到甲的一个样本数据为x1，x2，…，x10；乙的一个样本数据为y1，y2，…，y12，由题意知eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xi＝5，方差s2＝eq\f(1,10)eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))(xi－5)2＝1，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,12)eq\o(∑,\s\up6(12),\s\do4(i＝1))yi＝6，方差t2＝eq\f(1,12)eq\o(∑,\s\up6(12),\s\do4(i＝1))(yi－6)2＝2，则合在一起后的样本容量为22，w甲＝eq\f(10,22)，w乙＝eq\f(12,22)样本平均数为eq\o(a,\s\up6(－))＝w甲eq\o(x,\s\up6(－))＋w乙eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(10,22)×5＋eq\f(12,22)×6≈5.55，样本方差为b2＝w甲[s2＋(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(a,\s\up6(－)))2]＋w乙[t2＋(eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(a,\s\up6(－)))2]＝eq\f(10,22)[1＋(5－5.55)2]＋eq\f(12,22)[2＋(6－5.55)2]≈1.79.求分层随机抽样背景下的样本平均数、方差设样本中不同分层的平均数、方差和相应权重分别为eq\o(x,\s\up6(－))1，eq\o(x,\s\up6(－))2，…，eq\o(x,\s\up6(－))n、seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，…，seq\o\al(2,n)和w1，w2，…，wn，则样本平均数eq\o(a,\s\up6(－))＝w1eq\o(x,\s\up6(－))1＋w2eq\o(x,\s\up6(－))2＋…＋wneq\o(x,\s\up6(－))n＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))ieq\o(x,\s\up6(－))i.样本方差s2＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))i[seq\o\al(2,i)＋(eq\o(x,\s\up6(－))i－eq\o(a,\s\up6(－)))2]．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．在某学校为了调查高一年级学生每周的锻炼时间(单位：h)时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本均值与样本方差．[解]由题意知，甲同学抽取的样本容量m＝10，样本平均值为eq\o(x,\s\up6(－))＝5，样本方差为s2＝9；乙同学抽取的样本容量n＝8，样本平均值为eq\o(y,\s\up6(－))＝6，样本方差t2＝16.故合在一起后的样本平均值为w甲eq\o(x,\s\up6(－))＋w乙eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(10,18)×5＋eq\f(8,18)×6≈5.44.样本方差为w甲[s2＋(5－5.44)2]＋w乙[t2＋(6－5.44)2]＝eq\f(10,18)[9＋0.442]＋eq\f(8,18)[16＋0.562]≈12.36.类型2百分位数的计算【例2】从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5，8．5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.(1)分别求出这组数据的25%,75%,95%分位数．(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．(3)若用25%,50%,95%分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．[解](1)将所有数据从小到大排列，得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，因为共有12个数据，所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4，则25%分位数是eq\f(8.0＋8.3,2)＝8.15，75%分位数是eq\f(8.6＋8.9,2)＝8.75，95%分位数是第12个数据为9.9.(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则15%分位数是第2个数据为7.9.即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9.(3)由(1)可知样本数据的25%分位数是8.15g,50%分位数为8.5g,95%分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15g的珍珠为次品，质量大于8.15g且小于或等于8.5g的珍珠为合格品，质量大于8.5g且小于等于9.9的珍珠为优等品，质量大于9.9g的珍珠为特优品．百分位数的计算问题，先理解清楚百分位数的概念，再利用百分位数求解步骤逐步计算即可．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：成绩(单位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111分别求这些运动员成绩的中位数，25%分位数和75%分位数．[解]这组数据有17个数，17×25%＝4.25,17×75%＝12.75，这组数据的中位数是x9＝1.70，25%分位数是x5＝1.60,75%分位数是x13＝1.75.类型3百分位数的综合应用【例3】某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式．(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值．(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．[解](1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；当200<x≤400时，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60；当x>400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.所以y与x之间的函数解析式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5x，0≤x≤200，,0.8x－60，200<x≤400，,x－140，x>400.))(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%，结合频率分布直方图可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.001×100＋2×100b＋0.003×100＝0.8，,100a＋0.0005×100＝0.2，))解得a＝0.0015，b＝0.0020.(3)设75%分位数为m，因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，用电量不超过400千瓦时的占80%，所以75%分位数为m在[300,400)内，所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，解得m＝375千瓦时，即用电量的75%分位数为375千瓦时．(变设问)根据本例(2)中求得的数据计算用电量的15%分位数．[解]设15%分位数为x，因为用电量低于100千瓦时的所占比例为0.001×100＝10%，用电量不超过200千瓦时的占30%，所以15%分位数为x在[100,200)内，所以0.1＋(x－100)×0.002＝0.15，解得x＝125千瓦时，即用电量的15%分位数为125千瓦时．根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得．eq\a\vs4\al([跟进训练])3．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．(1)求x；(2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)；(3)以下是参赛的10人的成绩：90,96,97,95,92,92,98,88,96,99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“中国梦”的伟大构想的认知程度，并谈谈你的感想．[解](1)第一组频率为0.01×5＝0.05，所以x＝eq\f(5,0.05)＝100.(2)由题图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%，所以抽取的x人的年龄的50%分位数在[30,35)内，由30＋5×eq\f(0.50－0.40,0.70－0.40)＝eq\f(95,3)≈32，所以抽取的x人的年龄的50%分位数为32.(3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列：88,90,92,92,95,96,96,97,98,99，计算10×20%＝2，所以这10人成绩的20%分位数为eq\f(90＋92,2)＝91，这10人成绩的平均数为eq\f(1,10)(88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99)＝94.3.评价：从百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高．感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可.1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一组样本数据各不相等，则75%分位数大于25%分位数．()(2)计算分层随机抽样的均值与方差时，必须已知各层的权重．()(3)若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.()[提示](1)正确．(2)正确．(3)错误．若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据小于或等于23.[答案](1)√(2)√(3)×2．临近学期结束，某中学要对本校高中部一线任课教师进行“评教评学”调査，经调査，高一年级80名一线任课教师好评