2020-2021高中数学人教版第一册学案：1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册学案：1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定含解析1．5.2全称量词命题和存在量词命题的否定［目标］1。能正确的对全称量词命题和存在量词命题进行否定;2。知道全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．[重点]能够正确对全称量词命题和存在量词命题进行否定．［难点]全称量词命题和存在量词命题的否定在形式上的变化．知识点一全称量词命题的否定［填一填］[答一答］1．全称量词命题的否定一定是存在量词命题吗?提示：是，因为全称量词的否定一定是存在量词，所以全称量词命题的否定一定是存在量词命题．2．用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？提示:不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．知识点二存在量词命题的否定[填一填][答一答]3．为什么存在量词命题的否定一定是全称量词命题？提示:因为对“有的”，“存在一个”，“至少一个”等词语的否定是“都没有”，“都不存在”，“全都不”等，所以存在量词命题的否定一定是全称量词命题．4．“一般命题的否定”与“全称量词命题和存在量词命题的否定”有什么区别与联系？提示：(1）一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；全称量词命题和存在量词命题的否定要在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性,即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．(2）与一般命题的否定相同,全称量词命题和存在量词命题的否定的关键也是对关键词的否定．因此,对全称量词命题和存在量词命题的否定,应根据命题所叙述的对象的特征，挖掘其中的量词．全称量词命题的否定与全称量词命题的真假性相反；存在量词命题的否定与存在量词命题的真假性相反．类型一全称量词命题的否定【例1】（1)命题“对任意x∈R,都有x2≥0"的否定为（)A．对任意x∈R,都有x2〈0B．不存在x∈R，使得x2〈0C．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2，0）≥0D．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0）<0（2)命题“∀x∈R，｜x｜＋x2≥0”的否定是________．［解析］（1)全称量词命题的否定是存在量词命题．“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R,使得xeq\o\al(2,0）<0”，故选D.(2)全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“∃x0∈R，|x0|＋xeq\o\al（2，0)〈0”．[答案](1）D（2）∃x0∈R，｜x0｜＋xeq\o\al（2,0）<0全称量词命题的否定形式与判断真假的方法：1求全称量词命题的否定命题,先将全称量词调整为存在量词，再对性质px否定为綈px。2若全称量词命题为真命题，其否定命题就是假命题；若全称量词命题为假命题,其否定命题就是真命题。[变式训练1］(1）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p:∀x∈A，2x∈B，则（C）A．綈p：∃x∈A,2x∈B B．綈p：∃x∉A,2x∈BC．綈p:∃x∈A，2x∉B D．綈p：∀x∉A，2x∉B(2)命题“∀x〉0，eq\f(x,x－1)〉0”的否定是(B)A．∃x0>0,eq\f（x0，x0－1）≤0 B．∃x0〉0，0≤x0≤1C．∀x>0，eq\f(x,x－1)≤0 D．∀x〈0，0≤x≤1解析:（1）全称量词命题的否定是存在量词命题，将“∀”改为“∃",“2x∈B”否定为“2x∉B”，即綈p:∃x∈A,2x∉B。（2)∵eq\f（x,x－1）>0，∴x<0或x〉1，∴命题“∀x>0，eq\f（x，x－1)>0”的否定是“∃x0〉0,0≤x0≤1”，故选B.类型二存在量词命题的否定及真假判定【例2】写出下列存在量词命题p的否定綈p，并判断綈p的真假．(1）p:∃x0<0，x0＋eq\f（1，x0）＋2<0。(2)p：有一个质数含有三个正因数．(3)p：存在实数m0，x2＋x＋m0＝0的两根都是正数．[解]（1）綈p:∀x〈0，x＋eq\f（1，x)＋2≥0。当x＝－2，x＋eq\f(1,x）＋2〈0,所以綈p是假命题．（2）綈p：每一个质数都不含有三个正因数,綈p是真命题．(3)綈p:对任意实数m，x2＋x＋m＝0的两根不都是正数．假设x2＋x＋m＝0的两根x1，x2都是正数,则必须eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（Δ≥0,，x1＋x2>0，，x1x2〉0，))即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(1－4m≥0，，－1〉0，,m>0，)）此不等式组无解，所以不存在实数m0，使x2＋x＋m0＝0的两根都是正数，命题p为假命题，所以綈p为真命题．存在量词命题的否定形式与判断真假的方法:1求存在量词命题的否定命题,先将存在量词调整为全称量词，再对性质px否定为綈px。2由于命题与命题的否定一真一假，所以如果判断一个命题的真假困难时,那么可以转化为判断命题的否定的真假从而进行判断。［变式训练2］写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．（1)有些实数的绝对值是正数;(2）某些平行四边形是菱形；（3）∃x0，y0∈Z，使得eq\r(2)x0＋y0＝3。解：(1）命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数"．它为假命题．（2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于四条边相等的平行四边形是菱形，因此命题的否定是假命题．(3）命题的否定是“∀x，y∈Z，eq\r（2）x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时,eq\r（2)x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．若全称量词命题为假命题,通常转化为其否定命题——存在量词命题为真命题解决,同理，若存在量词命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称量词命题为真命题解决。[变式训练3］若命题“∀1≤x≤2，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方"为真命题，求实数m的取值范围．解:当1≤x≤2时,1＋m≤x＋m≤2＋m，因为y＝x＋m图象在x轴上方，所以m＋1>0，即m>－1。类型四素养提升对全称量词命题和存在量词命题的否定不完全【例4】已知命题p：存在一个实数x0，使得xeq\o\al（2,0)－x0－2<0，写出綈p.【错解一】綈p：存在一个实数x0，使得xeq\o\al（2，0)－x0－2≥0.【错解二】綈p：对任意的实数x,都有x2－x－2<0.【错因分析】该命题是存在量词命题，其否定应是全称量词命题,但错解一得到的綈p仍是存在量词命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定．错解二只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．【正解】綈p：对任意的实数x,都有x2－x－2≥0.【解后反思】对含有量词的命题进行否定时，(1）牢记全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，注意不能只否定结论,而忘记了对量词的否定；也不能只否定量词，而忘记了对结论的否定．（2）牢记命题的否定与原命题的真假性相反，可以以此检验命题的否定是否正确．[变式训练4]已知命题p：∀x1,x2∈R，［f（x2)－f(x1)]（x2－x1)≥0，则綈p是（C）A．∃x1，x2∈R,[f(x2）－f(x1）](x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，［f（x2）－f(x1)]（x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，［f（x2）－f(x1)]（x2－x1）<0D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f（x1）］（x2－x1)<0解析:利用全称量词命题的否定是存在量词命题求解．命题p的否定为“∃x1，x2∈R，[f(x2)－f（x1）］(x2－x1)<0”．1．命题：“∀x∈R，都有x2－x＋1〉0”的否定是(C）A．∀x∈R，都有x2－x＋1≤0B．∃x0∈R，使xeq\o\al(2,0）－x0＋1>0C．∃x0∈R，使xeq\o\al(2，0）－x0＋1≤0D．以上均不正确解析：原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题,故选C.解析：原命题为存在量词命题，其否定为全称量词命题．3．命题“∀x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是∃x∈R，3x2－2x＋1≤0。4．命题p:∃x0∈R,xeq\o\al(2,0）＋2x0＋5〈0是存在量词命题(填“全称量词命题”或“存在量词命题"），它是假命题（填“真”或“假”），它的否定为綈p：∀x∈R,x2＋2x＋5≥0.解析：命题p：∃x0∈R，xeq\o\al（2，0）＋2x0＋5<0是存在量词命题．因为x2＋2x＋5＝（x＋1）2＋4〉0恒成立，所以命题p为假命题．命题p的否定为：∀x∈R,x2＋2x＋5≥0.5．写出下列命题p的否定綈p，并判断命题綈p的真假．(1)p：∀x∈R，x2＋x＋1〉0.（2）p：∃x0,y0∈R，eq\r（x0－12)＋（y0＋1）2＝0。解:（1）綈p:∃x0∈R,xeq\o\al（2,0)＋x0＋1≤0。由于x2＋x＋1＝(x＋eq\f（1,2）)2＋eq\f（3,4）≥eq\f(3，4），所以綈p为假命题．(2）綈p：∀x,y∈R，eq\r(x－12)＋（y＋1)2≠0。当x＝－y＝1时，eq\r(x－12)＋(y＋1）2＝0，所以綈p为假命题．--本课须掌握的两大问题1．对全称量词命题的否定以及特点的理解：(1)全称量词命题的否定实际上是对量词“所有”否定为“并非所有”，所以全称量词命题的否定的等价形式就是存在量词命题,将全称量词调整为存在量词，就要对p(x)进行否定，这是叙述命题的需要,不能认为对全称量词命题进行“两次否定”，否则就是“双重否定即肯定”,所以含有一个量词的命题的否定仍是一次否定．(2)对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般要改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定命题．2．对存在量词命题的否定以及特点的