江苏省无锡市惠山区2026届九年级中考一模数学试卷（含解析）

江苏无锡市惠山区2026年春学期九年级教学质量监测数学试题一、单选题1．计算的结果是（

）A． B．3 C． D．72．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．3．函数中自变量的取值范围是（

）A． B． C． D．4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．正方形 D．正五边形5．甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选拔赛中，每人射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别是，则射击成绩最稳定的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点，是凸透镜的焦点，，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．7．我国古代数学著作《九章算术》中有一道“假田”问题．具体如下：今有田亩租赁，出租第一年3亩收1钱；第二年4亩收1钱；第三年5亩收1钱．三年共收得地租100钱．问租赁田多少亩？若设租赁田亩，则可列方程为（

）A． B．C． D．8．如图，是的直径．，是上的两点，连接，若，则的度数为（

）A． B． C． D．9．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值为（

）A． B． C．6 D．1110．已知是的函数，是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为．若存在常数，使得，则称此函数为“k-利普希兹条件函数”．下列四个结论：其中正确的是（

）①函数是“3-利普希兹条件函数”；②函数是“5-利普希兹条件函数”；③若函数是“2026-利普希兹条件函数”，则的最大值为2026；④已知函数，当时，此函数是“k-利普希兹条件函数”恒成立，则的最小值为11．A．①②③ B．①③ C．②④ D．①③④二、填空题11．3的相反数是_______．12．据网络平台统计，截至年月日，某市春节档电影观影人次突破，将数据用科学记数法表示为______．13．因式分解：_____．14．用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是______．15．请写出的一个同类二次根式_______．16．如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，作于点交于点，若，，则的长为________．17．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，若直线把分成面积相等的两部分，则的值为___________．18．如图，在中，，点在线段上（不与，重合），，交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点，则与的数量关系为______：若（为常数），则_____（用含的代数式表示）．三、解答题19．解方程或解不等式组．(1)解方程：(2)解不等式组：20．先化简，再求值：，其中．21．如图，点、、、在同一条直线上，，，(1)求证：；(2)若，，求的度数．22．三个外观完全相同的细口瓶中分别装有一种无色溶液，记为、、．(1)若从中任选一种溶液，则选中溶液的概率为______．(2)已知、混合后溶液会变红色，、混合后溶液也会变为红色，、混合后溶液不变色．现从、、三种溶液中随机选择两种在烧杯中混合，请用“树状图”或“列表”的方法，求混合后烧杯中溶液颜色为红色的概率．23．睡眠状况对青少年的成长影响很大．为此，某校学生健康成长中心的工作人员，随机选取部分学生开展了一次问卷调查活动，并根据调查结果制成以下尚不完整的统计图：调查问卷你每天的睡眠时长大约（

）A．少于B．（含不含)C．(含不含)D．不少于(1)在这次调查中，一共抽取了_______名学生；(2)补全条形统计图，并写出_______；(3)若该校共有2000名学生，估计该校每天睡眠时长少于的学生有多少名？24．如图，是的直径，点是圆外一点，连接分别交于点，．(1)求证：；(2)若，求的长．25．如图，在中，，．(1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点，使得点到的距离相等，且满足：（不写作法，保留作图痕迹）(2)设直线与交于，若，则的长为________．（如需草图，请用备用图）26．根据以下素材，完成问题：【素材1】图1是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为，斜坡长为．【素材2】图2中的矩形为一辆大巴车的侧面示意图，车长为，车高为．【素材3】图3是素材1中的斜坡局部示意图，素材2中的大巴车停在该斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为，且．【素材4】小李驾驶一辆轿车跟随大巴车行驶，他的眼睛到斜坡的距离为．(1)问题1：如图1，求；(2)问题2：如图3，当点与指示牌底端在同一条直线上，试求小李距大巴车尾的距离．27．已知二次函数的图象经过点，，顶点为点，与轴交于点．(1)求该二次函数的表达式；(2)点和是该二次函数图象上的两点，当时，试比较与的大小，并说明理由；(3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，记点关于直线的对称点为．当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．28．如图1，在中，，，，分别是，边上的动点，将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，，其中点始终落在边上．(1)如图2，当点恰好落在直线上，且时，求的长；(2)如图3，当点与点重合时，求的值；(3)当直角三角形时，求的值．参考答案1．B解：．故选：B．2．C解：A．和不是同类项，不能合并，故选项A错误；B．和不是同类项，不能合并，故选项B错误；C．，故选项C正确；D．，故选项D错误．3．C解：由题意得，，解得．故选：C．4．C解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；D、正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．5．D解：∵甲、乙、丙、丁的方差分别为，且，∴丁的方差最小，∴成绩最稳定的是丁．6．B解：∵，∴，，∴．7．A解：根据题意，得．8．D解：连接，∵是的直径，∴，∵，∴，∴．9．B解：设点的坐标为，∵点在反比例函数的图象上，∴，∵轴，∴，，∴，∵反比例函数图象位于第二、四象限，∴，即，∵点在第二象限，∴，即，∴，即，解得．10．D解：设是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为判断结论①：已知函数，∴，，∴．∵，满足，此时，∴函数是“3-利普希兹条件函数”，结论①正确；

判断结论②：

对于函数，∴，，∴，当时，，，而，不满足，∴函数不是“5-利普希兹条件函数”，结论②错误；判断结论③：

已知函数是“2026-利普希兹条件函数”，∴，∴．∵函数是“2026-利普希兹条件函数”，∴，即．由于，∴，两边同时除以可得，则m的最大值为2026，结论③正确；判断结论④：

已知函数，当时，∴，，∴，整理，得，∵，∴，∴，即，∴，满足，则k的最小值为11，结论④正确．综上，正确的是①③④，答案选D．11．解：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是．12．解：将用科学记数法表示：．13．解：．14．解：设底面圆的半径为，根据题意可得：，解得：，∴底面圆的半径为，故答案为：．15．（答案不唯一）【详解】的一个同类二次根式为2（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）16．6解：∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∵，即，∴，∴，即，又∵，在与中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，则的长为6．17．0.6解：∵直线，∴，∴直线恒过定点．∵直线，把分成面积相等的两部分，∴直线过线段的中点．∵，∴直线过点．把点代入，得，解得．18．解：，设，则，在中，，，，，，，，；作，交于点J，交于点K，，，，，，，，，，，，即，，，，即，，，，，，，，，，，设，则，解得：（不合题意舍去），故．19．(1)(2)（1）解：，，解得；（2）解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为：．20．；解：，由，则原式．21．(1)见解析(2)（1）证明：∵∴，即∵，∴（2）∵，，∴，∵，∴22．(1)(2)（1）解：从、、中任选一种溶液，则选中溶液的概率为，故答案为：．（2）解：列出从、、三种溶液中随机选择两种的所有等可能结果如下：由表可知，所有等可能的结果共有种，其中混合后溶液颜色为红色的结果有种，混合后烧杯中溶液颜色为红色的概率是．23．(1)(2)补全条形统计图见解析，(3)该校每天睡眠时长少于的学生约为200名．（1）解：（名），则一共抽取了40名学生；（2）解：B组的人数为：（名），，则；补全条形图如下：（3）解：（人）答：该校每天睡眠时长少于的学生约为200名．24．(1)证明见解析(2)（1）证明：∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴；（2）解:连接．由（1）知，∴，∴是等腰三角形，∵是的直径，∴．∴，．由（1）知，又知，∴，∴，即，∴．25．(1)作图见解析(2)（1）解：如图，即为所求.（2）解：如图2，记的交点为，连接，过作于，由作图可得：，，而，∴，∴，∵，．∴，为等边三角形，，∴，，，∴，∵，，∴是的垂直平分线，∴，∴，∴，设，∴，，，∴，解得：（负根舍去），∴.26．(1)(2)（1）解：由题意得：在中，为，斜坡长为，，；（2）解：如图，作交延长线于点O，作于点T，交于点R，则四边形为矩形，四边形为矩形，，，，，，解得：，，，，，，，，，解得：，经检验，是原方程的解，．27．(1)(2)当时，；当时，；当时，(3)和（1）解：∵二次函数的图象经过点，，∴，即，解得，∴该二次函数的表达式为；（2）解：∵点和是二次函数图象上的两点，∴，，∴，结合，分三种情况讨论：①当，即时，；②当，即时，；③当，即时，；（3）解：∵抛物线与轴交于点，顶点为点，∴，，设直线的解析式为，将，代入得，解得，∴直线解析式为，∵点是直线上的动点，∴设，∵、关于直线对称，∴垂直平分，又，∴，∴到的平移规律，与到的平移规律完全一致，设到中点的横坐标变化为，则纵坐标变化为，∴，如图，中点在对称轴上，且，∴为直角三角形，∴，∵，，，∴，整理得，∵点和点重合时无法构成平行四边形，故，∴两边同时除以，得，∴，设，则，，化简得，，∴，若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，分以下三种情况讨论：①以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点，∴横坐标相等，得，解得，纵坐标相等，得，解得，∴；②以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点，∴横坐标相等，得，解得，纵坐标相等，得，解得，∴此情况不成立；③以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点，∴横坐标相等，得，解得，纵坐标相等，得，解得，∴；综上，点的坐标为和．28．(1)(2)(3)或（1）解：∵在中，，，∴，，∴，∵将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，，∴，，，∴，∴，∴，如图，作交于点，则，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵在中，，∴设，则，如图，连接，作交于点，，∵，∴设，则，∴，∴，，由勾股定理可得：，∵将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，，点与点重合，∴点、关于对称，∴，∴，解得：，∴，，∴；（3