高二数学科必修三（人教A版本）《概率》《几何概型》 教学设计

教学设计方案课程《几何概型》课程标准课堂学习是数学学习的主战场。课堂中教师通过讲解、分解教材中的数学思想和进行数学技能地训练，使高中学生学习所得到丰富的数学知识，教师组织的科研活动，使教材中的数学概念、定理、原理得到最大程度的理解、挖掘。教学内容分析《几何概型》是高二数学科必修三（人教A版本）第三章《概率》的第3节。几何概型是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。几何概型的基本特点是：在每次随机试验中，不同的试验结果有无限多个，即基本事件有无限个；在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件是等可能的。几何概型与古典概型的区别在于，几何概型是无限个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限个。本案从两者的比较入手，通过分析两个简单的几何概型的例子入手引出几何概型的计算方法。教学目标知识目标：①通过探究，让学生理解几何概型试验的基本特征，并与古典概型相区别；②理解并掌握几何概型的定义；③会求简单的几何概型试验的概率。过程目标：①经历从具体到抽象、特殊到一般的思维过程，体会数学建模的一般方法；②通过问题求解，领会将实际问题或一般数学问题转化为几何问题的解题策。情感目标：①在实际问题数学化的过程中感受数学与现实世界的联系；②在探索交流活动中感受合作的乐趣，提高学习的兴。学习目标对几何概型概念的理解和公式的运用，以及对几何概率模型中基本事件的确定，几何“测度”的选择。学情分析1．学生已有知识与能力：从认知角度看，学生已经学习了概率统计的基本知识、古典概型及其求法，具备了相应的知识积累。从能力角度看，理科重点班学生分析实际问题的能力还是比较好的，但思维的深刻性还需进一步培养和加强。2．学生非智力因素对学习的影响分析：从情感角度看，作为理科重点班，绝大部分学生有积极学习的态度，基本能适应以问题探究为主导策略的“20+20”3．存在困难及问题：重点班学生有些“自我感觉良好”的想法，常轻视基本知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写；对难题感兴趣，但思维跳跃较大，数学逻辑关系不严谨。4．应对策略：基于本节课的特点，运用“问题探究式”的教学方法，借助多媒体创设情境，设置问题组，促使学生积极思考、自主探究、合作交流，归纳概括几何概型的概念及公式；通过实际问题的解决，激发学生的学习兴趣，让每一个学生充分参与到学习活动中来，突出学生的主体地位，突显“20+20”重点、难点重点：几何概型概念的理解和公式的运用；难点：几何概率模型中基本事件的确定，几何“测度”的选择.教与学的媒体选择PPT课件、电脑激光笔、实物投影、黑板、粉笔、直尺等。课程实施类型√新授课本节课以直观观察为主线，采用“引导发现、归纳猜想”为主的教学方法；以“课题性问题和导向性问题解决”作为教学路径，利用多媒体辅助教学手段。备注教学活动步骤序号名称课堂教学环节/学习活动环节长度1问题引入引例：北京奥运会圆满闭幕，某玩具厂商为推销其生产的福娃玩具，举办一次有奖活动：顾客随意掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可获得一套福娃玩具，问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少？变式：厂商为了增强活动的趣味性，改变活动方式，设立了一个可以自由转动的转盘（如图1）转盘被等分成8个扇形区域.顾客随意转动转盘，如果转盘停止转动时，指针正好指向阴影区域，顾客则可获得一套福娃玩具.问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少？提问：为什么会想到用面积之比来解决问题的呢？这样做有什么理论依据吗？提问：这个问题是古典概型吗？引入课题概念：通过提问，引导学生回顾古典概型的特点。发现这个问题虽然貌似古典概型，但是非古典概型，从而引入几何概型的概念.预设6分钟2概念形成记引例变式中的事件为“指针指向阴影区域”，为“转盘的所有区域”，我们需要一个量，来度量事件和。这就得到了概率公式，象这种每个事件发生的概率只与构在该事件区域的面积成比的概率模型称为几何概率模型.小结提问：几何概型与古典概型有什么区别与联系？预设5分钟3探索归纳问题1

取一根长为4米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不少于1米的概率是多少？问题2

在一个装有500纯净水的容器里，因不小心混入了一个感冒病毒，从中任取2水，则含有感冒病毒的概率是多少？小结提问：回忆引例变式、问题1、2，它们分别用了哪些量来度量概率呢？预设5分钟4巩固深化练习1

如图2,设为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与连结，求弦长超过半径的概率？小结提问：为什么这道题可以用弧长、角度、面积等不同的几何度量去求解？练习2如图7,在面积为的边上任取一点，求的面积小于的概率.变式1

如图8,向面积为的内任投一点，求的面积小于的概率.变式2

如图9,向体积为的三棱锥内任投一点，求三棱锥的体积小于的概率.教师深入到学生的交流中去，指出同学们在解决问题的过程中所出现的错误和注意事项。预设22分钟5课堂小结（1）阅读课本几何概型的定义、公式及例题。（2）以问题形式让学生自己总结：这节课你学到了什么？通过这节课你掌握了哪些方法解决问题？预设2分钟6课外作业课本习题3.3A组2、3题教学活动详情教学活动活动目标让学生在实际问题数学化的过程中感受数学与现实世界的联系；在探索交流活动中感受合作的乐趣，提高学习的兴。解决问题通过探究，让学生理解几何概型试验的基本特征，并与古典概型相区别；理解并掌握几何概型的定义；会求简单的几何概型试验的概率。技术资源PPT课件、电脑激光笔、实物投影等。应用这些技术资源进行教学可以促进学生学习方式的改变，提升教学能力，增加教学容量，优化课堂教学。常规资源黑板、粉笔、直尺等活动概述1．问题引入（预设6分钟）引例

北京奥运会圆满闭幕，某玩具厂商为推销其生产的福娃玩具，举办一次有奖活动：顾客随意掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可获得一套福娃玩具，问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少？变式

厂商为了增强活动的趣味性，改变活动方式，设立了一个可以自由转动的转盘（如图1）转盘被等分成8个扇形区域.顾客随意转动转盘，如果转盘停止转动时，指针正好指向阴影区域，顾客则可获得一套福娃玩具.问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少？（设计意图：1．以实际问题引发学生的学习兴趣和求知欲望；2．以此为铺垫，通过具体问题情境引入课题；3．简单直观，符合学生的思维习惯和认知规律.）预设互动设置：学生根据日常生活经验很容易回答：“由面积比计算出概率为1/4.”提问：为什么会想到用面积之比来解决问题的呢？这样做有什么理论依据吗？

学生思考，回答：“上一节刚学习的古典概型的概率就是由事件所包含的基本事件数占试验的基本事件总数的比例来解决的，所以联想到用面积的比例来解决.”提问：这个问题是古典概型吗？引入课题概念：通过提问，引导学生回顾古典概型的特点。发现这个问题虽然貌似古典概型，但是非古典概型，从而引入几何概型的概念.2．概念形成（预设5分钟）记引例变式中的事件为“指针指向阴影区域”，为“转盘的所有区域”，我们需要一个量，来度量事件和。这就得到了概率公式，象这种每个事件发生的概率只与构在该事件区域的面积成比的概率模型称为几何概率模型.小结提问：几何概型与古典概型有什么区别与联系？3.探索归纳（预设5分钟）问题1

取一根长为4米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不少于1米的概率是多少？问题2

在一个装有500纯净水的容器里，因不小心混入了一个感冒病毒，从中任取2水，则含有感冒病毒的概率是多少？小结提问：回忆引例变式、问题1、2，它们分别用了哪些量来度量概率呢？（设计意图：1．让学生分别体会用体积、长度之比来度量概率，加深学生对几何概型概念的理解；2．抓住问题的实质，物化为点，找出临界状态，这是解决几何概型问题的第一个关键.）4．巩固深化练习1

如图2,设为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与连结，求弦长超过半径的概率？（预设10分钟）由学生讨论解答.预期思路1：(见图3)先找临界状态，即弦长等于半径时所取的点的位置.找到两个位置，使得和是两个全等的正三角形.即在取点时弦长刚好等于半径；而在和两段劣弧上取点时弦长小于半径；在这段优弧上取点时，弦长超过半径。因此问题转化为弧长之比.预期思路2：（见图4）也可以转化为角度之比.预期思路3：（见图5）也可以转化为面积之比.小结提问：为什么这道题可以用弧长、角度、面积等不同的几何度量去求解？（设计意图：加深学生对几何概型的理解，从而抓住解决几何概型问题的实质.）练习2如图7,在面积为的边上任取一点，求的面积小于的概率.（预设12分钟）变式1

如图8,向面积为的内任投一点，求的面积小于的概率.变式2

如图9,向体积为的三棱锥内任投一点，求三棱锥的体积小于的概率.（设计意图：通过这3个问题的对比，加深学生对几何度量选取的理解，关键是判断在何处取点.几何度量的正确选择是解决几何概型问题的第二个关键.）5．课堂小结（预设2分钟）（1）阅读课本几何概型的定义、公式及例题。（2）以问题形式让学生自己总结：这节课你学到了什么？通过这节课你掌握了哪些方法解决问题？6．课外作业课本习题3.3A组2、3题教与学的策略本节课以直观观察为主线，采用“引导发现、归纳猜想”为主的教学方法；以“课题性问题和导向性问题解决”作为教学路径，利用多媒体辅助教学手段。反馈评价本小节是继古典概型后对另一常见概型的学习，对全面系统地掌握概率知识，对于学生辩证思想的进一步形成具有良好的作用，所以课堂上的需要学生做好对古典概型与几何概型的归纳与区别，故在学习完几何概型的相关内容后设计了针对性的区分练习，加深类比思想的渗透。同时学生的认识需要一个循序渐近的过程，所以也设计了构建一维、二维、三维的几何模型的概率问题，符合学生认知的特点。此外学生在学习的过程中容易理解的是概率用几何图形的相应长度、面积、体积去解决，容易误解的地方有两处：一是转盘游戏中的基本事件是什么，易误解为基本事件只有两个，即转动转盘指针落在B区域和N区域，所以借助试验使学生清晰基本事件有无限个，即转动转盘指针落在转盘某一位置。二是在巩固深化练习2与变式训练中学生对“临界状态”的选择理解得不够透彻。我认为本节课做得比较成功的有：通过具体的问题情境引入，容易激发学生的学习兴趣和求知欲；通过与古典概型对比，产生矛盾，促使学生迫切想去探求解决问题的方法；分解难度，将抽象的概念“解剖”，易于理解；问题设置层层递进，由浅入深，有层次、有目标地解决各个难点，符合学生的学习规律；本节课中所体现的类比思想、转化思想等将会对学生的思维发展有所帮助。本节