中考数学二轮培优专题精讲 第10讲 最值问题之三角形三边关系 (含详解)

第10讲最值问题之三角形三边关系模型讲解问题：在直线l上找一点P，使得SKIPIF1<0的值最大解析：连接AB，并延长与1交点即为点P.证明：如图，根据△ABPSKIPIF1<0三边关系，BPSKIPIF1<0-APSKIPIF1<0<AB，即PSKIPIF1<0B-PSKIPIF1<0A<PB-PA【例题讲解】例题1、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为____________.【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，SKIPIF1<0∠MON=90°，AB=2SKIPIF1<0OE=AE=SKIPIF1<0AB=1，SKIPIF1<0BC=1，四边形ABCD是矩形，SKIPIF1<0AD=BC=1，SKIPIF1<0DE=SKIPIF1<0，根据三角形的三边关系，OD<OE+DE，SKIPIF1<0当OD过点E时最大，最大值为SKIPIF1<0+1.故答案为：SKIPIF1<0+1.【总结】1、我们如何知道是哪个三角形呢？我们利用三角形三边关系来解题，但这个构造出来的三角形是有条件的，即“这个三角形有两条边为定值，另外一边为需要我们求的那条边”。【巩固练习】1、如图，∠MON=90°，边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为____________.2、在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是___________________.3、如右图，正六边形ABCDEF的边长为2，两顶点A、B分别在x轴和y轴上运动，则顶点D到原点O的距离的最大值和最小值的乘积为___________________.4、如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限.其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm（1）若OB=6cm.①求点C的坐标；②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值=_____________cm.5、如图，抛物线SKIPIF1<0经过△ABC的三个顶点，已知BC//x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=SKIPIF1<0BC，且AC=BC.（1）求抛物线的解析式；（2）若Q为直线AB上一点，点D为抛物线与x轴的另一个交点，求|QC-QD|的取值范围.

模型讲解如图，在⊙O外有一点P，在圆上找一点Q，使得PQ最短在⊙O上任取一点Q，连接QO和OP，在△OQP中，根据三角形三边关系，0Q+QP>OPSKIPIF1<0OP=0QSKIPIF1<0+QSKIPIF1<0P，且OQ=0QSKIPIF1<0SKIPIF1<00Q+QP>0QSKIPIF1<0+QSKIPIF1<0PSKIPIF1<0QP>QSKIPIF1<0P所以连接OP，与圆的交点即为所求点Q，此时PQ最短.【另外三种情况】点P在圆外，PQ最长点P在圆内，PQ最长点P在圆内，PQ最短【总结】可见，点与圆的最值问题在本质上仍然是利用了三角形三边关系。【例题讲解】例题1、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EBSKIPIF1<0F，连接BSKIPIF1<0D，则BSKIPIF1<0D的最小值是___________.【解析】如图，根据已知条件，在△EBSKIPIF1<0D中，我们发现，EBSKIPIF1<0为定值2，ED根据勾股定理计算可得也为定值SKIPIF1<0，而BSKIPIF1<0D即为要我们求的那条边，所以我们就知道，△EB'D就是我们要找的三角形，SKIPIF1<0BSKIPIF1<0D≤ED-EBSKIPIF1<0SKIPIF1<0当BSKIPIF1<0在ED上时，BSKIPIF1<0D最小SKIPIF1<0BSKIPIF1<0D的最小值为SKIPIF1<0-2【巩固练习】1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是_______________.2、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1-a，0），C（1+a，0）（a>0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值_______________.3、如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是_____________.4、如图，已知直线y=SKIPIF1<0x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB.则△PAB面积的最大值是________________.5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△BSKIPIF1<0CP，连接BSKIPIF1<0A，则BSKIPIF1<0A长度的最小值是________________.6、如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=3SKIPIF1<0，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△ASKIPIF1<0MN，连接ASKIPIF1<0C，则ASKIPIF1<0C长度的最小值是____________.7、如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是____________.8、如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为______________.9、如图，边长为1的正方形ABCD中，以A为圆心，1为半径作SKIPIF1<0，将一块直角三角板的直角顶点P放置在SKIPIF1<0（不包括端点B、D）上滑动，一条直角边通过顶点A，另一条直角边与边BC相交于点Q，连接PC，则△CPQ周长的最小值为____________.10、问题情境：如图1，P是⊙0外的一点，直线PO分别交⊙0于点A、B，则PA是点P到⊙0上的点的最短距离.（1）探究：如图2，在⊙0上任取一点C（不为点A、B重合），连接PC、OC.试证明：PA<PC.（2）直接运用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是SKIPIF1<0上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是______________.（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△ASKIPIF1<0MN，连接ASKIPIF1<0C，请求出ASKIPIF1<0B长度的最小值.解：由折叠知ASKIPIF1<0M=AM，又M是AD的中点，可得MA=MASKIPIF1<0=MD，故点ASKIPIF1<0在以AD为直径的圆上.（请继续完成解题过程）（4）综合应用：①如图5，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是__________.②如图6，平面直角坐标系中，分别以点A（-2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于________________.

1.解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，∵△ABC是等边三角形，∴CD＝×2＝，∵∠MON＝90°，∴OD＝AB＝×2＝1，由图可知，当点O、C、D三点共线时点C到点O的距离最大，最大值为+1．故答案为：+1．2.解：如图，取CA的中点D，连接OD、BD，则OD＝CD＝AC＝×4＝2，由勾股定理得，BD＝＝2，当O、D、B三点共线时点B到原点的距离最大，所以，点B到原点的最大距离是2+2．故答案为：2+2．3.解：当O、D、AB中点共线时，OD有最大值和最小值，如图，BD＝2，BK＝1，∴DK＝＝，OK＝BK＝1，∴OD的最大值为：1+，同理，把图象沿AB边翻折180°得最小值为：1+﹣1×2＝﹣1，∴顶点D到原点O的距离的最大值和最小值的乘积为：（+1）（﹣1）＝12．故答案为：12．4.解：（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：在Rt△AOB中，AB＝12，OB＝6，则BC＝6，∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，又∵∠CBA＝60°，∴∠CBD＝60°，∠BCD＝30°，∴BD＝3，CD＝3，所以点C的坐标为（﹣3，9）；②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：AO＝12×cos∠BAO＝12×cos30°＝6．∴A'O＝6﹣x，B'O＝6+x，A'B'＝AB＝12在△A'OB'中，由勾股定理得，（6﹣x）2+（6+x）2＝122，解得：x＝6（﹣1），∴滑动的距离为6（﹣1）；（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，如图3：则OE＝﹣x，OD＝y，∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠DCB+∠BCE＝90°，∴∠ACE＝∠DCB，又∵∠AEC＝∠BDC＝90°，∴△ACE∽△BCD，∴，即，∴y＝﹣x，OC2＝x2+y2＝x2+（﹣x）2＝4x2，∴取AB中点D，连接CD，OD，则CD与OD之和大于或等于CO，当且仅当C，D，O三点共线时取等号，此时CO＝CD+OD＝6+6＝12，故答案为：12．5.解：（1）∵OA＝BC，AC＝BC∴设OA＝3k，AC＝BC＝5k（k＞0）∴OC＝∵当x＝0时，y＝ax2﹣10ax+c＝c∴C（0，c），即OC＝c＝4k∴k＝∴A（﹣，0）B（，c）∵抛物线经过点A、B∴解得：∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+8（2）如图2，在x轴上截取AE＝AC，连接QE∵AC＝BC∴∠CAB＝∠CBA∵CB∥x轴∴∠CBA＝∠BAD∴∠CAB＝∠BAD在△ACQ与△AEQ中∴△ACQ≌△AEQ（SAS）∴QC＝QE∴|QC﹣QD|＝|QE﹣QD|≤DE∵y＝0时，﹣x2+x+8＝0，解得：x1＝﹣6，x2＝16∴A（﹣6，0），D（16，0）∴AE＝AC＝＝10∴DE＝AD﹣AE＝AD﹣AC＝16﹣（﹣6）﹣10＝12∴0≤|QC﹣QD|≤121.解：如图1，取BC的中点E，连接AE，交半圆于P'，在半圆上取一点P，连接AP，EP，在△AEP中，AP+EP＞AE，即：AP'是AP的最小值，∵AE＝，P'E＝1，∴AP'＝﹣1；故答案为：﹣1；2.解：∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），∴AB＝1﹣（1﹣a）＝a，CA＝a+1﹣1＝a，∴AB＝AC，∵∠BPC＝90°，∴PA＝AB＝AC＝a，如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，∵A（1，0），D（4，4），∴AD＝5，∴AP′＝5+1＝6，∴a的最大值为6．故答案为6．3.解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠C＝90°，∵∠OP1B＝90°，∴OP1∥AC∵AO＝OB，∴P1C＝P1B，∴OP1＝AC＝4，∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1＝1，如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，P2Q2最大值＝5+3＝8，∴PQ长的最大值与最小值的和是9．故答案为：9．4.解：过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM＝×OA×BC，∴5×CM＝16，∴CM＝，∴圆C上点到直线y＝x﹣3的最小距离是﹣1＝，∴△PAB面积的最小值是×5×＝，故答案是：．5.解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC＝＝＝4，由轴对称的性质可知：BC＝CB′＝3，当A、B′、C三点在一条直线上时，B′A有最小值，∴B′Amin＝AC﹣B′C＝4﹣3＝1．故答案为：1．6.解：如图，连接MC；过点M作ME⊥CD，交CD的延长线于点E；∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝4，∵点M为AD的中点，∠BCD＝30°，∴DM＝MA＝2，∠MDE＝∠BCD＝30°，∴ME＝DM＝1，DE＝，∴CE＝CD+DE＝4，由勾股定理得：CM2＝ME2+CE2，∴CM＝7；由翻折变换的性质得：MA′＝MA＝2，显然，当折线MA′C与线段MC重合时，线段A′C的长度最短，此时A′C＝7﹣2＝5，故答案为5．7.解：作A点关于直线DC的对称点A′，连接BD，DA′，可得A′A⊥DC，则∠BAA′＝90°，故∠A′＝30°，则∠ABA′＝60°，∠ADN＝∠A′DN＝60°，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，∴∠ADB+∠ADA′＝180°，∴A′，D，B在一条直线上，由题意可得出：此时P与D重合，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，∵菱形ABCD中，∠A＝60°，∴AB＝AD，则△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝AD＝3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE＝1，DF＝2，∴PE+PF的最小值是3．故答案为：3．8.解：∵EF＝2，点G为EF的中点，∴DG＝1，∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；∵AB＝2，AD＝3，∴AA′＝4，∴A′D＝5，∴A′G＝A′D﹣DG＝5﹣1＝4；∴PA+PG的最小值为4；故答案为4．9.解：△CPQ的周长＝PQ+QC+CP＝BQ+QC+CP＝BC+PC＝1+PC；又∵PC≥AC﹣PA＝﹣1，∴△CPQ