专题03旋转的性质

专题03旋转的性质一、方法突破旋转，是三大几何变换中考察最多、难度最大的那个，平移、对称从图像观察角度来说直接显然，对应的结论也很容易用到．而旋转，变换得到的图形相对复杂些，有时候解题的突破口隐藏得更深，导致无从下手．本篇将从基本的性质开始，到一些常见的模型，最后说说关于构造旋转能给我们带来什么，全方位了解旋转在中考题中的考察．一、旋转的基本性质如下图，将△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE．性质一：对应边相等结论：AB=AD，AC=AE．补充：当然还可以得到BC=DE，但这并没有什么用，因为BC与DE并没有特殊位置关系．性质二：对应角相等结论：∠B=∠D，∠C=∠E，∠BAC=∠DAE．补充：如果不是特殊角，此性质并没有什么用，但由性质二可以推性质三．性质三：旋转角都相等结论：∠BAD=∠CAE=∠BFD．补充：∠BAD=∠CAE易证，∠BAD=∠BFD可用“8字”模型证明：∵∠BAD+∠B=∠BFD+∠D，且∠B=∠D，∴∠BAD=∠BFD．且第三组对应边往往用得最多．二、典例精析【中考真题-关于三角形的旋转】（2019·眉山）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在上，则的值为．【分析】对应边相等求线段长，即可得所求角的正切值．由题意得：AD=AB=5，EN=CB=12，∴CD=AC-AD=13-5=8，∴．（2019·内江）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为A．1.6B．1.8C．2D．2.6【分析】利用对应边相等、对应角相等可得特殊图形．由题意得：△ABC≌△ADE，∴AB=AD，又∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=2，又BC=3.6，∴CD=1.6．故选A．（2019·阜新）如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到．若，，则线段的长度为．【分析】连接EC，由题意可得△ACE是等边三角形，∴EC=AC=BC=ED，易证△ECD≌△EAD，∴CD=AD=AB=2，故CD的长为2．（2019·包头）如图，在中，，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的值是．【分析】已知角度，必可求出∠DEC的度数，且应该是个特殊角．由题意得：∠EAC=70°，∴∠AEC=∠ACE=55°，又∠EAD=∠CAB=55°，∴∠CAD=15°，∵∠ACE+∠CAD=∠ADE+∠DEC，∴∠DEC=45°，∴tan∠DEC=1．（2018·镇江）如图，中，，，将绕点按顺时针方向旋转，点对应点落在的延长线上．若，则．【分析】题目给出的正切值，故构造包含的直角三角形．过点C作CH⊥交于点H，则，根据，即，可得：．（2019·山西）如图，在中，，，点为内一点，，，连接，将绕点按逆时针方向旋转，使与重合，点的对应点为点，连接，交于点，则的长为．【分析】特殊特殊度数必然有特殊图形．∵，∴，∴过点A作AH⊥DE交DE于H点，∵AD=6cm，∴cm，cm，∴cm，cm，故CF的长为cm．【中考真题-关于四边形的旋转】（2017·吉林）如图，在矩形中，，．矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形．若点的对应点落在边上，则的长为．【分析】无论图形是什么，抓住旋转的重点来分析．过点作⊥AB交AB于H点，则AH=4，BH=1，∴．（2019·梧州）如图，在菱形中，，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是．【分析】特殊的菱形旋转特殊的角度必然得到其他特殊的图形．连接DE，易证△PDE是等腰直角三角形，∵AB=2，∴，∵，∴，∴，∴．（2018·陇南）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为25，，则的长为A．5B．C．7D．【分析】旋转可以改变图形位置，或许会形成新的特殊图形．易证△ADE≌△ABF，∴正方形ABCD面积为25，所以边长AD=5，又DE=2，∴．故选D．（2019·贺州）如图，正方形的边长为4，点是的中点，平分交于点，将绕点顺时针旋转得，则的长为．【分析】方法较多，举一种与旋转相关的做法．设，，则，∴GF=GA=EA=，∴，∴CF的长为．（2019·营口）如图，是等边三角形，点为边上一点，，以点为顶点作正方形，且，连接，．若将正方形绕点旋转一周，当取最小值时，的长为．【分析】如图，当D、A、E三点共线时，AE最小，过点A作AM⊥BC交BC于M点，∵DM=1，，∴，此时，故AG的长为8．三、中考真题演练1．如图，在中，，．将绕点逆时针方向旋转，得到△，连接．则线段的长为A．1B．C．D．【解答】解：由旋转性质可知，，，则为等腰直角三角形，．故选：．2．如图，在边长为2的正方形中，若将绕点逆时针旋转，使点落在点的位置，连接，过点作，交的延长线于点，则的长为A．B．C．D．【解答】解：分别延长和交于点，由题知，，，，，，，，由题知，是等边三角形，，故选：．3．如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为A．B．C．D．【解答】解：将绕点逆时针旋转得，，，，，．故选：．4．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到△，使点落在边上，连结，则的值为A．B．C．D．【解答】解：，，，，将绕点逆时针旋转得到△，，，，，，，故选：．5．如图，中，，，，将绕原点旋转，则旋转后点的对应点的坐标是A．或B．，或，C．，或，D．或，【解答】解：如图，过点作于，设，则，，，，，，，若将绕原点顺时针旋转，则旋转后点的对应点，，若将绕原点逆时针旋转，则旋转后点的对应点，，故选：．6．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到△，点的对应点在边上（不与点，重合），则的度数为A．B．C．D．【解答】解：将绕点顺时针旋转得到△，，，，是等腰直角三角形，，，，．故选：．7．如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，延长交轴于点．将绕点顺时针旋转得到△，当点的对应点落在上时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为A．，B．，C．，D．，【解答】解：延长交轴于点，延长，由题意的延长线经过点，如图，，，，．由题意：△，，，，，．则，平分，△为等腰三角形．，．，，．．．．，．故选：．8．如图，在四边形中，，，，，将绕点顺时针方向旋转后得△，当恰好经过点时，△为等腰三角形，则A．B．C．D．【解答】解：过作于，则，，设，则，，即，解得：（负值舍去），，，在上取一点，使得，连接，则△，且相似比为，，，，，将绕点顺时针方向旋转后得△，，，，，△△，，，故选：．9．如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是A．B．1C．D．【解答】解：解法一：如图在的下方作等边，作射线．，，，，在和中，，，，，，点在射线上运动（点是定点，是定值），当时，的值最小，最小值，解法二：如图，的上方，作等边，连接，过点作于．，都是等边三角形，，，，，，的值最小时，的值最小，当时，的最小值，的最小值为1．故选：．10．如图，为正方形边上一动点（不与重合），，将绕着点逆时针旋转得到，再将沿直线折叠得到．下列结论：①连接，则；②连接，当、、共线时，；③连接、、，若是等腰三角形，则；④连接，设、交于点，若平分，则是的中点，且，其中正确的个数有个．A．4B．3C．2D．1【解答】解：①如图1中，连接，延长交于．四