人教版数学九年级下册28.2-解直角三角形及其应用专题训练（Word版含解析）

人教版数学九年级下册解直角三角形及其应用专题训练一、选择题在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，则cosB的值是

(

)A.3 B.13 C.33 如果一个等腰三角形的底角为30°，腰长为6 cm，那么这个三角形的面积为(    )A.4.5 cm2 B.93cm2小明沿着坡角为30°的山坡向上走，他走了1000m，则他升高了(    )A.2005m B.500m C.5003m如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC=25，则此斜坡的水平距离AC为A.75m

B.50m

C.30m

D.12m如图，从地面B处测得热气球A的仰角为45°，从地面C处测得热气球A的仰角为30°.若BC为240 m，则热气球A的高度为

(

)A.120 m

B.120(3−1)m

C.240 m如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD.若cos∠BDC=35，则BC的长是

(

)A.4 cm

B.6 cm

C.8 cm

D.10 cm如图，某海监船以20nmile/h的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1h到达B处，测得岛屿P在其北偏西30∘方向，保持航向不变又航行2h到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为(

)A.40nmile

B.60nmile

C.203nmile

如图是横断面为梯形的河坝，根据图中数据，若AB=(9+43)m，则斜坡BC的坡比等于

(

)A.1:2

B.3:2

C.3:1

在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=4，欲求∠A的值，最适宜的做法是

(

)A.计算tanA的值求出

B.计算sinA的值求出

C.计算cosA的值求出

D.先根据sinB求出∠B，再利用90°−∠B求出如下图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(B,C，D，E均在同一平面内).已知斜坡CD的坡度(或坡比)i=4:3，且点C到水平面的距离CF为8米，在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为(

)(参考数据：sin24°=0.41，cos24°=0.91，tan24°=0.45)A.21.7米 B.224米 C.274米 D.28.8米如图，大楼AB的右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B、C、E在同一水平直线上).已知AB=80 m，DE=10 m，则障碍物B、C两点间的距离是

(

)A.50 m

B.(70−103)m

C.(70+10如图，锐角△ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB、AC于D、E两点，且S△ADE：S四边形BCED=1：2，则cos∠BAC的值是A.12

B.13

C.22如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则△PQD的面积为(    )．A.11313

B.152

C.1如图直线y=12x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D(3,0)向以P为圆心，12AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为

(A.543

B.5

C.25二、填空题在△ABC中，若∠B=45°，AB=102，AC=55，则△ABC的面积是______．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则CD的长为______米．(结果保留根号)在Rt△ABC中，∠C=90°，已知BC=12，AC=43，解这个直角三角形．求得AB=_______，∠B=_______，∠A=_______．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A、B在同一水平面上)为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为______米．如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=34，点D是AC边上的动点(不与点C重合)，过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为

．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，AD=BC=10，sin∠ADC=45，则tanB的值为_______．

三、计算题如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin∠A=25，求BC的长和tan∠B的值．

如图，在平行四边形ABCD中，E为AD边上一点，BE平分∠ABC，连接CE，已知DE=6，CE=8，AE=10．

(1)求AB的长；

(2)求平行四边形ABCD的面积；

(3)求cos∠AEB．

为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向(30+303)km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由(结果保留根号)．

如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．

(1)连接AD，求∠OAD；

(2)点F在BC上，∠CDF=45°，DF交AB于点N.若DE=3，求FN的长．

四、解答题（本大题共1小题，共分）如图，直线y=−x+4与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在x轴负半轴上，且OA=12OB，抛物线y=ax2+bx+4经过A，B，C三点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值．

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查三角函数的定义和等腰三角形的性质．作BC边上的高，利用等腰三角形的性质得BD的长，再利用三角函数定义求解．

【解答】

解：过点A作AD⊥BC于D．

∵在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，

∴BD=DC=1，

∴cosB=BDAB=13．

故选B．

【解析】【分析】

本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的面积，锐角三角函数的定义有关知识，作底边上的高．运用等腰三角形的性质及三角函数定义分别求三角形的高和底边长，代入公式计算求解．

【解答】

解：如图，作底边上的高AD，

∠B=30°，AB=6cm，AD为高，

则AD=ABsinB=ABsin30°=6×12=3cm，

BD=ABcosB=ABcos30°=6×32=33cm，

∴BC=2BD=63cm，

S△ABC【解析】【试题解析】解：设他升高了xm，

∵山坡的坡角为30°，

∴x=12×1000=500(m)，

故选：B．

根据坡角的概念，直角三角形的性质计算即可．

4.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．

【解答】

解：∵∠BCA=90°，tan∠BAC=25，BC=30m，

∴tan∠BAC=25=BCAC=30AC，【解析】【分析】

本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点A作AD⊥BC于点D，设AD=x米，根据正确的定义用x分别表示出BD、CD，根据题意列出方程，解方程得到答案．

【解答】

解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，

由题意知，∠B=45°，∠C=30°，BC=240米，

设AD=x米，

∵∠B=45°，

BD=AD=x米，

在Rt△ADC中，tanC=ADCD，

∴CD=ADtanC=3x，

由BC=BD+CD可得，x+3x=240，

解得：x=1203−120【解析】【分析】

本题考查解直角三角形和线段垂直平分线的性质，解题的关键是由AB的垂直平分线MN交AC于D，AC=8 cm，得BD=AD，在Rt△BCD 中，cos∠BDC=35，得到CD8−CD=35，解之即可得到BC的长．

【解答】

解：∵∠C=90°，AC=8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，

∴BD=AD，

∴CD+BD=8(cm)．

∵cos∠BDC=CDBD=35，

∴CD8−CD=35，【解析】【分析】

本题考查了解直角三角形的应用−方位角问题，首先证明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题．

【解答】

解：在Rt△PAB中，

∵∠APB=30°，

∴PB=2AB，

由题意BC=2AB，

∴PB=BC，

∴∠C=∠CPB，

∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°，

∴∠C=30°，

∴PC=2PA，

∵PA=AB·tan60°，

∴PC=2×20×3=403(nmile)．

故选D．

【解析】【分析】

本题主要考查的是勾股定理，解直角三角形的应用的有关知识，过点D作DF⊥AB于F，得到四边形CDFE是矩形，求出EF，DF，然后利用勾股定理求出AF，进而求出BE，最后求解斜坡BC的坡比即可．

【解答】

解：过点D作DF⊥AB于F，

则四边形CDFE是矩形，

∴DF=CE=4m，EF=CD=5m，

又AD=42m，

∴AF=(42)2−42=4m，

∴BE=AB−AF−EF=9+43−4−5=43m，

∴斜坡【解析】【分析】

本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦、余弦和正切的定义．根据cosA=ACAB=34即可得出答案．

【解答】

解：∵在Rt△ABC中，∵∠C=90∘，AB=4，AC=3，

∴cosA=ACAB=34′【解析】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，

在Rt△CDF中，∵CFDF=43，CF=8，

∴DF=6，

∵四边形BMFC是矩形，

∴BM=CF=8，BC=MF=20，EM=MF+DF+DE=66，

在Rt△AEM中，tan24°=AMEM，

∴0.45=8+AB66，

∴AB=21.7(米)，

故选：A．

作BM⊥ED交ED的延长线于M，首先在Rt△CDF中，求出DF，再根据tan24°=AMEM【解析】【分析】

本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H.通过解直角△AFD得到DF的长度；通过解直角△DCE得到CE的长度，则BC=BE−CE．【解答】

解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．

则DE=BF=CH=10m，

在直角△ADF中，∵AF=80m−10m=70m，∠ADF=45°，

∴DF=AF=70m．

在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，

∴CE=DE/tan30°=1033=103(m)，

12.【答案】D

【解析】解：连接CD．

∵∠ADE=∠ACB，∠DAE=∠CAB，

∴△ADE∽△ACB．

∵S△ADE：S四边形BCED=1：2，

∴S△ADE：S△ACB=1：3，

∴AD：AC=3：3，

∴cos∠BAC=3：3．

故选：D．

要求∠BAC的余弦值就要构建直角三角形找出相应的边的比例关系，那么可连接CD，通过AD和AC的比例关系来求∠BAC的余弦值．AD，AC的比例关系可通过【解析】【分析】

本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形面积公式，锐角三角函数，求出HQ的长是本题的关键．

过点D作DN⊥AC于N，过Q作QH⊥AC于H，由折叠的性质可得AQ=QD，AP=PD，由勾股定理可求AQ的长，由锐角三角函数分别求出AP，HQ的长，即可由S△PQD=S△APQ=12×AP×HQ求解．

【解答】

解：过点D作DN⊥AC于N，过Q作QH⊥AC于H，

∵点D是BC中点，

∴BD=3，

∵将△ABC折叠，

∴AQ=QD，AP=PD，

∵AB=9，BC=6，∠B=90°，

∴AC=AB2+BC2=81+36=313，

∵sinC=DNCD=ABAC=9313，

∴DN=91313，

∵cosC=CNCD=BCAC=6313，

∴CN=61313，

∴AN=3313【解析】【分析】

本题考查圆的切线的性质，勾股定理，三角形全等，直线与坐标轴的交点．解题的关键是掌握圆的切线的性质．连接DP，根据直线y=12x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，求得AB的长，即可得出⊙P的半径，证△PED≌△PFD，可得四边形PEDF面积=2S△PED=2×12PE×DE【解答】

解：如图，连接DP，

∵直线y=12x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，

当x=0时，y=1，当y=0时，x=−2，

∴A(−2,0)，B(0,1)，

∴AB=22+12=5，

∵过点D(3,0)向以P为圆心，12AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，

∴DE=DF，PE⊥DE，

∵PE=PF，PD=PD，

∴△PED≌△PFD(SSS)，

∵⊙P的半径为52，

∴DE=PD2−(52)2，

当DP⊥AP时，DP最小，此时

15.【答案】75或25

【解析】【试题解析】

【分析】

本题考查了勾股定理以及三角形的面积，求出AD，BC的长度是解题的关键．

过点A作AD⊥BC，垂足为D，通过勾股定理可求出AD，BD，CD的长，进而可得出BC的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积．

【解答】

解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．

在Rt△ABD中，AD=22AB=10，BD=AD=10；

在Rt△ACD中，AD=10，AC=55，

∴CD=AC2−AD2=5，

∴BC=BD+CD=15或BC=BD−CD=5，

∴S△ABC=1【解析】解：在Rt△CMB中，∵∠CMB=90°，MB=AM+AB=12米，∠MBC=30°，

∴CM=MB⋅tan30°=12×33=43，

在Rt△ADM中，∵∠AMD=90°，∠MAD=45°，

∴∠MAD=∠MDA=45°，

∴MD=AM=4米，

∴CD=CM−DM=(43−4)米，

故答案为：43−4．

在Rt△CMB中求出CM，在Rt△ADM中求出DM即可解决问题．

本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于基础题中考常考题型．【解析】【分析】

此题考查了解直角三角形，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．在直角三角形ABC中，由BC与AC的值，利用勾股定理求出AB的值即可．

【解答】

解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=43，

∴根据勾股定理得：AB=BC2+AC2=122+432=83，

则sin∠A=BCAB【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，

∴tanα=ACAB，

∴AB=ACtanα=800tanα(米)．

故答案为：800tanα．

在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据【解析】【分析】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．

可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出△BED的面积即可解决问题．

【解答】解：在Rt△CDE中，tanC=DECE=34，故可设DE=3a，则CE=4a，

∴CD=5a=x，∴a=x5，∴DE=35x，CE=45x，

∴BE=10−45x

∵点F是BD的中点，【解析】【分析】

本题考查的是锐角三角函数，解直角三角形。

根据AD，sin∠ADC=45，求出AC，再根据AC和BC，求出答案。

【解答】

∵AD=10，sin∠ADC=45，

∴AC=8，

在RtΔABC中，∵AC=8，BC=10，

∴tanB=ACBC=45．

故答案为45。

21.【答案】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，【解析】在直角三角形ABC中，根据sinA的值及AB的长，利用锐角三角函数定义求出BC的长，再利用勾股定理求出AC的长，利用锐角三角函数定义即可求出tanB的值．

此题属于解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

22.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，

∴∠AEB=∠CBE，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE=10，

(2)∵四边形ABCD是平行四边形．

∴CD=AB=10，

在△CED中，CD=10，DE=6，CE=8，

∴ED2+CE2=CD2，

∴∠CED=90°．

∴CE⊥AD，

∴平行四边形ABCD的面积=AD⋅CE=(10+6)×8=128；

(3)∵四边形ABCD是平行四边形．

∴BC//AD，BC=AD，

∴∠BCE=∠CED=90°，AD=16【解析】(1)由平行四边形的性质及角平分线的定义可得出AB=AE，进而再利用题中数据即可求解结论；

(2)易证△CED为直角三角形，则CE⊥AD，基础CE为平行四边形的高，利用平行四边形的面积公式计算即可；

(3)易证∠BCE=90°，求cos∠AEB的值可转化为求cos∠EBC的值，利用勾股定理求出BE的长即可．

本题主要考查平行四边形的性质、平行四边形的面积公式运用、解直角三角形的有关知识及角平分线的性质等问题，应熟练掌握．

23.【答案】解：作BD⊥AC于D．

依题意得，

∠BAE=45°，∠ABC=105°，∠CAE=15°，

∴∠BAC=30°，

∴∠ACB=45°．

在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠ACB=45°，

∴∠CBD=45°，

∴∠CBD=∠DCB，

∴BD=CD，

设BD=x，则CD=x，

在Rt△ABD中，∠BAC=30°，

∴AB=2BD=2x，tan30°=BDAD，

∴33=xAD，

∴AD=3x，

在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠DCB=45°，

∴sin∠DCB=BDBC=22，

∴BC=2x，

∵CD+AD=30+303，

∴x+3x=30+303，

∴x=30，

【解析】过点B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中证得BD=CD，设BD=x，则CD=x，在Rt△ABD中，∠BAC=30°，利用三角函数定义表示出AD的长，在Rt△BDC中，利用三角函数表示出CD的长，由AD+CD=AC列出方程问题得解．

本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．

24.【答案】解：(1)如图1，连接OD，

∵是⊙的直径，于点

∴AB垂直平分CD，

∵M是OA的中点，

∴OM=12OA=12OD，

∴cos∠DOM=OMOD=12，

∴∠DOM=60°，

∵AO=OD，

∴△OAD是等边三角形，

∴∠OAD=60°；

(2)如图2，连接CF，CN，

∵OA⊥CD于点M，

∴点M是CD的中点，

∴AB垂直平分CD，

∴NC=ND，

∵∠CDF=45°，

∴