人教B版（2022）高中数学选择性必修第二册4.2.5　正态分布word含答案

正态分布课后篇巩固提升基础达标练1.正态曲线关于y轴对称,当且仅当它所对应的随机变量的期望为() D.不确定解析因为X=μ为其对称轴,所以μ=0.答案C2.设X~N(10,,则D(X)等于() 解析因为X~N(10,,所以D(X)=.答案B3.(多选)设两个正态分布N(μ1,σ12)(σ1>0)和N(μ2,σ22)(σ2>0)的密度函数曲线如图所示,A.μ1<μ2 B.μ1>μ2C.σ1<σ2 D.σ1>σ2解析μ是期望,σ2是方差,μ是密度函数图像的对称轴与x轴交点的位置,所以μ1<μ2.图像越“瘦高”,数据越集中,σ2越小,所以σ1<σ2.故选AC.答案AC4.若随机变量X~N(μ,σ2),则Y=aX+b服从()(aμ,σ2) (0,1)μa(aμ+b,a2σ2)解析因为X~N(μ,σ2),所以E(X)=μ,D(X)=σ2.所以E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=aμ+b,D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a2σ2.从而Y~N(aμ+b,a2σ2).答案D5.为弘扬我国优秀的传统文化,市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试,经过大数据分析,发现本次听写测试成绩服从正态分布N(78,16).试根据正态分布的相关知识估计测试成绩大于90的学生所占的百分比为() % 解析由题意,μ=78,σ=4,在区间[66,90]的概率为,成绩大于90的学生所占的百分比为12=%,故选A答案A6.已知正态分布N(μ,σ2)的密度曲线是f(x)=12πσe-(x①对任意x∈R,f(μ+x)=f(μ-x)成立;②如果随机变量X服从N(μ,σ2),且F(x)=P(X<x),那么F(x)是R上的增函数;③如果随机变量X服从N(108,100),那么X的期望是108,标准差是100;④随机变量X服从N(μ,σ2),P(X<1)=12,P(X≥2)=p,则P(0<X<2)=1-2p其中,真命题的序号是.

解析如果随机变量X服从N(108,100),那么X的期望是108,标准差是10,故③是假命题,其余都是真命题.答案①②④7.灯泡厂生产的某种灯泡的寿命为X(单位:小时),已知X~N(1000,302),要使这种灯泡的平均寿命为1000小时的概率约为%,问灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上?解因为X~N(1000,302),所以μ=1000,σ=30.所以P(1000-3×30≤X≤1000+3×30)=P(910≤X≤1090)≈%.所以灯泡的最低寿命应控制在910小时以上.8.在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布N(90,100).(1)试求考生成绩X位于区间[70,110]内的概率;(2)若这次考试共有2000名考生参加,试估计成绩在[80,100]内的考生大约有多少人?解因为X~N(90,100),所以μ=90,σ=100=10.(1)由于正态分布N(μ,σ2)在区间[μ-2σ,μ+2σ]内取值的概率约是,而在该正态分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考生成绩X位于区间[70,110]内的概率约为.(2)由于μ=90,σ=10,所以μ-σ=90-10=80,μ+σ=90+10=100.由于正态分布N(μ,σ2)在区间[μ-σ,μ+σ]内取值的概率约为,所以考生成绩X位于区间[80,100]内的概率约是.一共有2000名考生,成绩在[80,100]内的概率约为,所以在这2000名考生中,成绩在[80,100]内的人数大约为2000×=1366.能力提升练1.(2022天津南开中学高二期末)设随机变量X~N(3,,P(X<4)=,则P(X≤2)=() 解析由于P(X<4)=,故P(X≥4)=,则P(X≤2)=P(X≥4)=,故选A.答案A2.(2022山东高三期末)已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=,则P(-2<ξ<1)=() 解析由题意可知μ=1,正态分布曲线关于x=1对称,P(ξ≥4)=1-P(ξ<4)=,根据对称性可知,P(ξ≤-2)=P(ξ≥4)=,P(-2<ξ<1)=(ξ≤-2)=故选C.答案C3.(多选)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,δ12),N(μ2,δ22),其正态分布的密度曲线如图所示,A.甲类水果的平均质量μ1=kgB.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小D.乙类水果的质量服从正态分布的参数δ2=解析由图像可知,甲类水果的平均质量μ1=kg,乙类水果的平均质量μ2=kg,故A,C正确;甲图像比乙图像更高瘦,所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右,故B正确;乙类水果的质量服从的正态分布的最大值为,即12πδ2=,δ2≠,故选ABC.答案ABC4.(2022山东高三月考)某班有48名学生,一次考试后的数学成绩服从正态分布(注:P(μ-σ,μ+σ)=,平均分为110,标准差为10,理论上说在110分到120分的人数是() 解析∵数学成绩近似地服从正态分布N(110,102),P(|X-u|<σ)=,∴P(|X-110|<10)=,根据正态曲线的对称性知,位于110分到120分之间的概率是位于100分到120分之间的概率的一半,∴理论上说在110分到120分的人数是12××48≈16故选B.答案B5.(2022陕西高三月考)若随机变量ξ服从正态分布N(9,16),则μ+σ=,P(-3<ξ≤13)=.

参考数据:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=7,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=5,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=3.解析依题意,ξ~N(9,42),其中μ=9,σ=4,∴μ+σ=13,故P(-3<ξ≤13)=P(μ-3σ<ξ≤μ+σ)=P=0.997答案136.(2022广东高三开学考试)研究某市农科奇观的某种作物,其单株生长果实个数x服从正态分布N(90,σ2),且P(x<70)=,从中随机抽取10株,果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X,假设X服从二项分布,则X的方差为.

解析因为x~N(90,σ2),所以P(90≤x≤110)=12-P(x>110),而P(x>110)=P(x<70)=所以P(90≤x≤110)=,而X~B(10,,所以D(X)=10××=.答案7.(2022海南枫叶国际学校高二期末)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,试用所学知识说明上述监控生产过程方法的合理性.附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=4,416≈2.解(1)由题可知尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为4,则落在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为4=6,因为P(X=0)=C160×4)0×416≈所以P(X≥1)=1-P(X=0)=8,又因为X~B(16,6),所以E(X)=16×6=6.(2)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有8,发生的概率很小.因此一旦发生这种状况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.8.(2022山东夏津第一中学高三月考)2022年6月25日,《固体废物污染环境防治法(修订草案)》初次提请全国人大常委会审议,草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定.草案提出,国家推行生活垃圾分类制度.为了了解人民群众对垃圾分类的认识,某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查,每一位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的1000人的得分(满分:100分)数据,统计结果如表所示:得分[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数2515020025022510050(1)由频数分布表可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ,210),μ近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表),请利用正态分布的知识求P(36<Z<;(2)在(1)的条件下,市环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费,得分低于μ的可以获赠1次随机话费;②每次获赠的随机话费和对应的概率为:获赠的随机话费/元2040概率21现市民小王要参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X的分布列及数学期望.附:①210≈;②若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=6,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=5,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=4.解(1)根据题中所给的统计表,结合题中所给的条件,可以求得μ=35×+45×+55×+65×+75×+85×+95×=65.又36≈65-2210,≈65+210,所以P(36<Z<=12×5+12×6=(2)根据题意可以得出所得话费的可能值有20,40,60,80元,得20元的情况为低于平均值,概率P=12×23=13,得40元的情况有一次机会获得40元,两次机会获得2个20元,概率P=12×13+12×23×23=718,得60元的情况为两次机会,一次40元,一次所以变量X的分布列为X20406080P1721所以E(X)=20×13+40×718+60×29+80×1素养培优练(2022山东高考模拟)2022年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布,旨在保障全民阅读权利,培养全民阅读习惯,提高全民阅读能力,推动文明城市和文化强市建设.某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况,随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位:小时)并绘制如图所示的频率分布直方图.(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表);(2)由直方图可以认为,目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算:若X~N(μ,σ2),令Y=X-μσ,则Y~N(0,1),且P(X≤a)=PY≤a-μσ.利用直方图得到的正态分布,②从该高校的学生中随机抽取20名,记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数,求P(Z≥2)(结果精确到1)以及Z的数学期望.参考数据:178≈403,419≈6.若Y~N(0,1),则P(Y≤解(1)x=6