江苏省南京市年高二数学暑假作业9导数在函数研究中的应用

PAGEPAGE1高二暑假作业(9)导数在函数研究中的应用考点要求1．理解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；2．掌握利用导数求函数极值与最值的方法．考点梳理1．单调性与导数一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:在某个区间(a，b)内，如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果______，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减；如果______，那么f(x)在这个区间内为常函数．2．极值与导数函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧___________，右侧___________．类似地，f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧_______，右侧_______．我们把a点叫做函数的_______，f(a)叫做函数的________；b点叫做函数的_______，f(b)叫做函数的________．极小值点､极大值点统称为________，极小值和极大值统称为________．极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．3．最值与导数求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤:(1)求函数y＝f(x)在________内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与________的函数值________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个为最小值．考点精练1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调减区间是______________．2．若函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0，1)内有极小值，则b的取值范围为____________．3．函数y＝x(lnx－1)的最小值是____________．4．设函数y＝a(x3－x)的单调递减区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，则a的取值范围是____________．5．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在R上是增函数，则m____________．6．函数f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则a的取值范围是____________．7．设函数f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－2x＋5，若对任意x∈[－1，2]都有f(x)＜m，则实数m的取值范围是____________．8．若a＝eq\f(ln3,3)，b＝eq\f(ln5,5)，c＝eq\f(ln8,8)，则a，b，c的大小关系为____________．(用“＞”表示)9．若函数f(x)＝lnx－eq\f(c,x)在[1，e]上的最小值为eq\f(3,2)，则c＝____________．10．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极大值5，其导函数y＝f′(x)的图象如图，经过点(1，0)､(2，0)，求:(1)x0的值；(2)a，b，c的值11．已知函数f(x)＝2lnx＋eq\f(1,2)(x－a)2(a为常数)，当x＝1时，f(x)取得极值．(1)求a的值，并写出f(x)的单调增区间；(2)若关于x的方程f(x)＝b在(0，3]上有且只有一解，求实数b的取值范围．12．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm．(1)某广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值?(2)某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

第9课时导数在函数研究中的应用1．(0，2)提示：f'(x)＝3x2－6x，令f'(x)＜0，即3x2－6x＜0，解得0＜x＜2．2．0＜b＜13．－1提示：y′＝lnx，令y′＝0，得x＝1，∴f(x)min＝f(1)＝－1．4．(0，＋∞)提示：y′＝a(3x2－1)＜0的解集是(eq－\f(\r(3),3),\f(\r(3),3))，∴a＞0．5．[2，4]提示：f'(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，则f'(x)≥0在R6．(－∞，0)提示：f'(x)＝3ax2＋1＝0有两个不等实数根．7．(7，＋∞)提示：m＞f(x)max，利用导数求f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－2x＋5在[－1，2]上的最大值为7．8．a＞b＞c提示：构造函数y＝eq\f(lnx,x)(x＞0)，则y′＝eq\f(1－lnx,x2)，令y′＝0，得x＝e，且当x∈(e，＋∞)时，y′＜0，即函数在(e，＋∞)上为减函数．∵e＜3＜5＜8，∴a＞b＞c．9．－eq\r(e)提示：f'(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(c,x2)＝eq\f(x＋c,x2)，令f'(x)＝0，得x＝－c，下面讨论－c与[1，e]的关系即可．10．解：(1)由函数f'(x)图象可知：f(x)在(－∞，1)上递增，在(1，2)上递减，所以f(x)在x＝1处取得极大值，所以x0＝1．(2)由(1)知f(1)＝5，即a＋b＋c＝5，①又f'(x)＝3ax2＋2bx＋c，则3ax2＋2bx＋c＝0的两根为1和2，所以－eq\f(2b,3a)＝3，②eq\f(c,3a)＝2，③由①②③解得a＝2，b＝－9，c＝12．11．解：(1)由f(x)＝2lnx＋eq\f(1,2)(x－a)2，得f'(x)＝eq\f(2,x)＋(x－a)＝eq\f(x2－ax＋2,x)，由题意，f'(1)＝0，∴a＝3，∴f'(x)＝eq\f(x2－3x＋2,x)＝eq\f((x－2)(x－1),x)．令f'(x)＞0，得0＜x＜1或x＞2，∴f(x)的单调递增区间是(0，1)和(2，＋∞)．(2)问题等价于：当函数y＝f(x)，x∈(0，3]与函数y＝b图象只有一个交点时，求b的取值范围．由f(x)＝2lnx＋eq\f(1,2)(x－3)2，f'(x)＝eq\f((x－2)(x－1),x)，列表如下：x(0，1)1(1，2)2(2，3)3f'(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增f(3)当x＝1时，函数f(x)取极大值f(1)＝2；当x＝2时，函数f(x)取极小值f(2)＝2ln2＋eq\f(1,2)；当x→0时，f(x)→－∞，当x＝3时，f(3)＝2ln3．由于2ln3＞2，即f(3)＞f(1)，数形结合得出结论：当b＜2ln2＋eq\f(1,2)或2＜b≤2ln3时，方程f(x)＝b在(0，3]上有且只有一解．12．解：(1)S＝602－4x2－(60－2x)2＝240x－8x2(0＜x＜30)，所以x＝15cm时侧面积最大．(2)V＝(eq\r(2)x)2×eq\f(\r(2),2)×(60－2x)＝