初中数学几何模型

经典模型系列手册经典模型系列手册~PAGE11~PAGE11~温故而知新熟能生巧~~PAGE10~模型一：手拉手模型—全等等边三角形DODOC ECA B A B均为等边三角形③OE平分AED（易忘）DOODOE CEA BA B等腰RTDOCDOCEODCA BA B③OE平分AED（易忘）O导角核心图形E导角核心图形A B任意等腰三角形D DOBO C COBEA B A结论：①OAC≌OBD;②AEBAOB③OE平分AED（易忘）模型总结：核心图形如右图，核心条件如下：①OAOB，OCOD②模型二：手拉手模型—相似CC CC DA B A B结论：右图OCD∽OABOAC∽OBD且延长AC交BD与点E必有BECBOA非常重要的结论，必须会熟练证明手拉手相似（特殊情况）DODO ECCC DA B A B当AOB90时，除OCD∽OABOAC∽OBD之外还会隐藏BDODOBtanOCDACOCOA满足BDAC,若连结AD、BC,则必有AD2BC2AB2CD2

1ACBD（对角线互相垂直四边形）2模型三：对角互补模型（全等型—90°）AADCAMDCNOE BOE B条件：①AOBDCE90②OC平分AOB

2OC③

1OC22辅助线之一：作垂直，证明CDM≌CENADCOEF条件：①AOBADCOEF②OC平分AOB

B2OC③

1OC22辅助线之二：过点C作CFOC证明ODC≌FEC当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图M M CNEBDO（辅助线之一）①CDCE不变②

2OC（重点）③

1OC2（难点）2请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图ACACEBDF（辅助线之二）①CDCE不变②

2OC（重点）③

1OC2（难点）2请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握AADCOE BOC平分“”互换条件：①AOBDCE90②CDCE结论：①OC平分AOB；②

2OC③

1OC22（全等型—120°）DCDCOEB②OC平分AOB结论：①CDCE；②ODOEOC③

S

3OC24请模仿（全等形—90°）辅助线之一完成证明辅助线之二：在OB上取一点F，使OFOC证明OCF为等边三角形（重要）DCDCOEFB结论：①CDCE；②ODOEOC③

S

3OC24必须熟练，自己独立完成证明当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图CCAOEDFB（辅助线之二）① ② （重点）③ （难点）（全等型—任意角）AD CO E B条件：①AOB2,DCE1802②CDCE结论：①OC平分AOB；②ODOE2OCcossinsincos③S S S 难度较大，记得经常复习当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图A CO BED（辅助线之二）① ② （重点）③ （难点）请思考初始条件的变化，对模型的影响（对角互补模型--相似型）ADADCOEBADCMOEN B如图，若将条件“OC平分AOB”去掉条件：①BE不变，CO，结论中三个条件又该如何变化？tan结论：①tan②tanOE)costan2tan2S 1OC2tan2AADCOEFB证明：过点C作CFOC，交OB于点F∵DCEOCF90∴DCOECF∵∴∴CDOCEF∴CDO∽CEF∴EFCECFtan（关键步）DOCDCO∴结论①得证tan∴EFtan∵(OEEF)cosOC∴结论②得证∴S(CF)2tan2SCOtan2∴tan2∵SSS

1OC2tan2tan∴结论③得证难度非常大，请仔细认真复习对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角互补两点注意：四点共圆和直角三角形斜边中线②初始条件：角平分线与两边相等的区别③常见两种辅助线的作法④注意下图中“OC平分AOB”AADCOE BCDECEDCOACOB相等是如何推导角含半角模型(90°)AD DAF FE

GBE C条件：①正方形ABCD；②EAF45结论：①EFDFBE也可以这样：条件：①正方形ABCD；②EFDFBE口诀：角含半角要旋转角含半角模型(90°)ADADBCF条件：①正方形ABCD；②EAF45结论：①EFDFBE辅助线：ADBADBCFAEBE CF角含半角模型(90°)D E

FAABD E CAA条件：①等腰直角ABC；②DAE45结论：BD2CE2DE2若DAE旋转到ABC外部时A FAFABE

CD BE C结论：BD2CE2DE2仍然成立角含半角模型(90°)变形HGHGD A F HGHGE C B E C条件：①EAF45;结论：AHE为等腰直角三角形（重点/难点）证明：连接AC（方法不唯一）∵,∴∵,∴∴DAACAHAE

∴AHE∽ADC倍长中线类模型FFD A DFFC E

HB E H条件：①矩形ABCD；②BDBE③DFEF结论：AFCF模型提取：①有平行线AD∥BE②平行线间线段有中点DFEF可以构造8字全等ADF≌HEF倍长中线类模型EEA M D A M DEECB C B条件：①平行四边形；ABCD②BC2AB；③AMDM；④CEAD结论：EMD3MEACM构通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化相似三角形360度旋转模型（倍长中线法）C CGD F D FA BA E E条件：①ADE、ABC均为等腰直角②EFCF结论：①DFBF；②DFBF辅助线G，连CGBG为等腰直角突破点：难点：证明BADBCG相似三角形360度旋转模型（补全法）GDFECGDFED FA BA EH条件：①ADE、ABC均为等腰直角②EFCF结论：①DFBF；②DFBF辅助线：构造等腰直角AEG、AHC辅助线思路：将DF与BF转化到CG与EH任意相似直角三角形360度旋转模型（补全法）BECBECHGOADBECA D条件：①OAB∽ODC②BC③EE结论：①AEDE；②AED2ABOBAG到点H、CG任意相似直角三角形360度旋转模型（倍长法）DA DA DBE CBECAM条件：①OAB∽ODC②BC③EE结论：①AEDE；②AED2ABOM，此为难点，将ABO继续转化为证明ABM∽AOD,使用两边成比且夹角等此处难点在证明ABMAOD最短路程模型之一（将军饮马类）APA+PBBPA' APA+PBBPP ABl2l QB'B' PA+PQ+BQA'

BPQBPQlAP+PQ+QBB'A' Pl12l2QAP+PQ+QB\ B两点之间，线段最短”解决特点：①动点在直线上；②起点，终点固定最短路程模型之二（点到直线类）APAAPQ'H PC垂线段最短

OQMB条件：如右图①OC平分AOB②M为OB上一定点POC上动点QOB上动点求：MPPQ最小时，P、Q的位置辅助线：将作Q关于OC对称点Q'，转化PQ'PQ，过点M作MHOAMPPAMPPQ'MH（垂线段最短）最短路程模型之二（点到直线类）l lA定点 P动点P定点PB B

所求点QC条件：如图，点A、B为定点，P为动点P

BP1AP最短2AP作PQ1APB2的垂线与AP的交点为所求（垂线段最短）最短路程模型之二（点到直线类）l lA定点 P动点P定点PB B

所求点QC条件：如图，点A、B为定点，P为动点PBP

2AP最短2AP作PQ1APB2的垂线与AP的交点为所求yAPyAPBOxyAPDEBOCx条件：A(0,4)、B(2,0)，P(0,n)nPB

5PA值最小5x上取点C(,)

OAC55②过点B作BDAC，交y轴于点E为所求③tanEBOtanOAC1，即E(0,1)2最短路程模型之三（旋转类最值模型）BAOAO最小值位置42(OBO旋转ABOOB边，两边之差小于第三边”最大值：OAOB；最小值：OAOB最短路程模型之三（旋转类最值模型）CCBAOP条件：①线段OA4,OB2OOBOC为半径作圆P是两圆所组成圆环内部（含边界）PA106若PA的最小值为1，则OC3若PA的最小值为2，则PC的取值范围是0PC2最短路程模型之三（旋转类最值模型）CCP AOBPA O B条件：①RtOBC，OBC30②OC2;③OA1；④点P为BC上动点3（可与端点重合；⑤C绕点OPA123PA1OBOA2

31如右图,圆的最小半径为O到BC垂线段长最短路程模型之四（动点在圆上）DEDEFPMQOCB条件：以点O为圆心三个圆，OA、OD固定OP绕点O旋转问题：点Q在什么位置时，EPMB最小DQQCQDC三最小最短路程模型之四（动点在圆上） DA P MPC BNEC条件：①正方形ABCD且边长为4；②B的半径为2；③P为B上动点问题：求PD(PC/2)最小值EBEN/2转化为DN长度总结：/2的比值不是随意给出的，而是圆的半径r/BC二倍角模型AA'AA'CBCB条件：ABC中，B2C辅助线：以BC的垂直平分线为对称轴，作点A的对称点A'，连接AA'、BA'、CA'则BA'为ABC的角平分线，那么BAAA'CA'（注意这个结论）此种辅助线的作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，但并不是唯一作法相似三角形模型（基本型）ADEADDADEADEB A字型

B 8字型

B CA字型平行类：DE∥BC结论：ADAEDE(注意对应边要对应)ABACBC20题的第二问也经常会考查“A8型”相似，建立方程。相似三角形模型（斜交型）EEA A AEEEAEE DB CB CB CB C斜交型D

斜交型

斜交型

双垂型条件：如左面两个图AEDACB90结论：AEABACAD条件：如右面两个图ACEABC结论：AC2AEAB第四个图还存在A