新高考数学二轮复习解析几何专题讲与练第7讲弦长与面积最值问题(教师版)

ii）设SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入椭圆SKIPIF1<0的方程，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为直线与SKIPIF1<0轴交点的坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，将代入椭圆SKIPIF1<0的方程，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由①②可知SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当且仅当时，即SKIPIF1<0时取得最大值，由（i）知，面积为，所以面积的最大值为SKIPIF1<0．【5-7】已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，过右焦点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，当SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0时，坐标原点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程（2）若SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的四点，已知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，且SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0面积的最小值解：（1）SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）由（1）可得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立方程可得：SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0整理后可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0①设SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0替换①中的可得：设，可得SKIPIF1<0时，【5-9】（2019全国卷2理）已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−SKIPIF1<0.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.解析：（1）由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为．由SKIPIF1<0得．记，则SKIPIF1<0．于是直线SKIPIF1<0的斜率为，方程为SKIPIF1<0．由得．①设，则和是方程①的解，故，由此得．从而直线的斜率为．所以，即是直角三角形．（ii）由（i）得，，所以△PQG的面积SKIPIF1<0．设t=k+SKIPIF1<0，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．因为在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．因此，△PQG面积的最大值为SKIPIF1<0．【例5-10】直角坐标系SKIPIF1<0中，直线SKIPIF1<0的参数方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数），以坐标原点SKIPIF1<0为极点，SKIPIF1<0轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆SKIPIF1<0的极坐标方程为SKIPIF1<0，其左焦点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上．（1）若直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0的值；（2）求椭圆SKIPIF1<0的内接矩形面积的最大值．解析：（1）将SKIPIF1<0代入ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，得x2＋3y2＝48，即SKIPIF1<0，因为c2＝48－16＝32，所以F的坐标为（SKIPIF1<0，0），又因为F在直线l上，所以SKIPIF1<0．把直线l的参数方程SKIPIF1<0代入x2＋3y2＝48，化简得t2－4t－8＝0，所以t1＋t2＝4，t1t2＝－8，所以SKIPIF1<0．（2）由椭圆C的方程SKIPIF1<0，可设椭圆C上在第一象限内的任意一点M的坐标为（SKIPIF1<0，4sinθ）（SKIPIF1<0），所以内接矩形的面积SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，面积S取得最大值SKIPIF1<0．类型六：抛物线中的面积最值问题【例6-1】（2014新课标2）设SKIPIF1<0为抛物线C：SKIPIF1<0的焦点，过SKIPIF1<0且倾斜角为30°的直线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为坐标原点，则△SKIPIF1<0的面积为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0解析：易知抛物线中SKIPIF1<0，焦点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代人抛物线方程SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由物线的定义可得弦长SKIPIF1<0，结合图像可得SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0．【例6-2】抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线为SKIPIF1<0，经过SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线与抛物线在SKIPIF1<0轴上方的部分相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.8解析：【几何法】由题，直线倾斜角为SKIPIF1<0，从而得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0【解析法】由抛物线方程可得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，联立方程：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0【例6-3】设抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线与抛物线相交于SKIPIF1<0两点，与抛物线的准线相交于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积之比SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0解析：由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0过SKIPIF1<0分别引准线的垂线SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，联立方程：SKIPIF1<0消元可得：SKIPIF1<0整理后可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【例6-4】已知SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的焦点，点SKIPIF1<0在该抛物线上且位于SKIPIF1<0轴的两侧，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0面积之和的最小值是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0解析：设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，消元后可得：SKIPIF1<0，等号成立当且仅当SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.【例6-5】已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上异于顶点的两动点，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在什么位置时，SKIPIF1<0的面积最小？最小值是多少？解：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0、SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称时SKIPIF1<0面积最小，最小面积为SKIPIF1<0.【例6-6】（2019全国卷3理）已知曲线C：y=SKIPIF1<0，D为直线y=SKIPIF1<0上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，SKIPIF1<0)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.解析：（1）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0，所以切线DA的斜率为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.整理得SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0.故直线AB的方程为SKIPIF1<0.所以直线AB过定点SKIPIF1<0.（2）由（1）得直线AB的方程为SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0分别为点D，E到直线AB的距离，则SKIPIF1<0.因此，四边形ADBE的面积SKIPIF1<0.设M为线段AB的中点，则SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0.解得t=0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0=0时，S=3；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.因此，四边形ADBE的面积为3或SKIPIF1<0.【例6-7】【2019年高考浙江卷】如图，已知点SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得SKIPIF1<0的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0．（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求SKIPIF1<0的最小值及此时点G的坐标．解析：（1）由题意得SKIPIF1<0，即p=2.所以，抛物线的准线方程为x=−1.（2）设SKIPIF1<0，重心SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.由于直线AB过F，故直线AB方程为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又由于SKIPIF1<0及重心G在x轴上，故SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.所以，直线AC方程为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.由于Q在焦点F的右侧，故SKIPIF1<0.从而SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则m>0，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，此时G（2，0）．类型七：组合图形中的面积最值问题【例7-1】（2016·新课标1，20）设圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0轴不重合，SKIPIF1<0交圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0． （1）证明SKIPIF1<0为定值，并写出点SKIPIF1<0的轨迹方程； （2）设点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，过SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0垂直的直线与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，求四边形SKIPIF1<0面积的取值范围．解析：（1）圆A整理为SKIPIF1<0，A坐标SKIPIF1<0，如图，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0根据椭圆定义为一个椭圆，方程为SKIPIF1<0，(SKIPIF1<0)；（2）SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则圆心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【例7-2】【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：SKIPIF1<0就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过SKIPIF1<0；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）A．① B．②C．①② D．①②③解析：由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0可取的整数有0，−1，1，从而曲线SKIPIF1<0恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，1)，(−1，0)，(−1，1)，共6个整点，结论①正确.由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0上任意一点到原点的距离都不超过SKIPIF1<0.结论②正确.如图所示，易知SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，很明显“心形”区域的面积大于SKIPIF1<0，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.故选C.【例7-3】已知圆SKIPIF1<0,若椭圆SKIPIF1<0的右顶点为圆SKIPIF1<0的圆心,离心率为SKIPIF1<0.（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）若存在直线SKIPIF1<0,使得直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0分别交于SKIPIF1<0两点,与圆SKIPIF1<0分别交于SKIPIF1<0两点,点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上,且SKIPIF1<0,求圆SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0的取值范围.解析：（1）设椭圆的焦距为2c,因为SKIPIF1<0所以椭圆的方程为SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0,联立方程得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0则SKIPIF1<0又点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0显然,若点SKIPIF1<0也在线段SKIPIF1<0上,则由对称性可知,直线SKIPIF1<0就是y轴,与已知矛盾,所以要使SKIPIF1<0,只要SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<03,又显然SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.综上,圆SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.【例7-4】（2015湖北）一种作图工具如图1所示．SKIPIF1<0是滑槽SKIPIF1<0的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕SKIPIF1<0转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0所在的直线为SKIPIF1<0轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C的方程；（2）设动直线SKIPIF1<0与两定直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别交于SKIPIF1<0两点．若直线SKIPIF1<0总与曲线SKIPIF1<0有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．解析：（1）设点SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．由于当点SKIPIF1<0不动时，点SKIPIF1<0也不动，所以SKIPIF1<0不恒等于0，于是SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即所求的曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．当直线SKIPIF1<0的斜率存在时，设直线SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．因为直线SKIPIF1<0总与椭圆SKIPIF1<0有且只有一个公共点，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．①又由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0；同理可得SKIPIF1<0．由原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．②将①代入②得，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．因SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号．所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8．

练习：1、（2018·新课标Ⅲ，理6）直线SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0面积的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0解析：由直线SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，∴圆心到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的取值范围为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.2、已知SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上一动点,SKIPIF1<0是圆C：SKIPIF1<0的两条切线,SKIPIF1<0是切点,若四边形SKIPIF1<0的最小面积是2,则SKIPIF1<0的值为________解析：圆SKIPIF1<0的方程可化为SKIPIF1<0,因为四边形SKIPIF1<0的最小面积是SKIPIF1<0,且此时切线长为SKIPIF1<0,故圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0．3、（2014新课标2）设SKIPIF1<0为抛物线C：SKIPIF1<0的焦点，过SKIPIF1<0且倾斜角为30°的直线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为坐标原点，则△SKIPIF1<0的面积为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0解析：易知抛物线中SKIPIF1<0，焦点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代人抛物线方程SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由物线的定义可得弦长SKIPIF1<0，结合图象可得SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0．4、（2013新课标1）为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（）A． B． C． D．解析：∵SKIPIF1<0，由抛物线的定义可得SKIPIF1<0点的坐标SKIPIF1<0，∴的面积为SKIPIF1<0．5、（2017江苏）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，双曲线SKIPIF1<0的右准线与它的两条渐近线分别交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其焦点是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0的面积是．解析：由题意，右准线的方程为SKIPIF1<0，渐近线的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．6、(2016天津)已知双曲线SKIPIF1<0，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点，四边形的SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则双曲线的方程为A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0解析：不妨设SKIPIF1<0在第一象限，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故所求的双曲线方程为SKIPIF1<0，选D．7、(2014江苏)如图，为了保护河上古桥，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解析：（1）如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy．由条件知A(0,60)，C(170,0)，直线BC的斜率kBC=－tan∠BCO=－SKIPIF1<0.又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB=SKIPIF1<0.设点B的坐标为(a,b)，则kBC=SKIPIF1<0kAB=SKIPIF1<0解得a=80，b=120.所以BC=SKIPIF1<0.因此新桥BC的长是150m.（2）设保护区的边界圆M的半径为rm，OM=dm，(0≤d≤60).由条件知，直线BC的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即SKIPIF1<0.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0故当d=10时,SKIPIF1<0最大，即圆面积最大.所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大.解法二:（1）如图，延长OA,CB交于点F.因为tan∠BCO=SKIPIF1<0.所以sin∠FCO=SKIPIF1<0，cos∠FCO=SKIPIF1<0．因为OA=60,OC=170，所以OF=OCtan∠FCO=SKIPIF1<0.CF=SKIPIF1<0,从而SKIPIF1<0.因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==SKIPIF1<0，又因为AB⊥BC，所以BF=AFcos∠AFB==SKIPIF1<0，从而BC=CF－BF=150.因此新桥BC的长是150m.（2）设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD=rm，OM=dm(0≤d≤60).因为OA⊥OC，所以sin∠CFO=cos∠FCO，故由(1)知，sin∠CFO=SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0故当d=10时,SKIPIF1<0最大，即圆面积最大.所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大.8、如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0：的左、右焦点，过点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别作倾斜角都为SKIPIF1<0的两条直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，分别交椭圆SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0坐标为（0,1）.（1）求此椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）当SKIPIF1<0变化时，讨论线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0长度之间的关系，并给出证明；（3）当SKIPIF1<0变化时，求四边形SKIPIF1<0面积的最大值及对应的SKIPIF1<0值．解（1）由已知，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∴椭圆SKIPIF1<0的标准方程为：SKIPIF1<0（2）设SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0同理可证SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0,所以，四边形SKIPIF1<0是平行四边形,即SKIPIF1<0（3）由（2）知SKIPIF1<0点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离是SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取得最大值）所以。四边形SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<09、已知椭圆SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0．（1）求椭圆C的方程；（2）过点SKIPIF1<0的直线l交椭圆C于A，B两点，当SKIPIF1<0取得最大值时，求SKIPIF1<0的面积．解析：（1）由题意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.所以椭圆SKIPIF1<0.（2）当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴重合时，不妨取SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0；当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴不重合时，设直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最大值SKIPIF1<0.此时直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0.10、如图,已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,其左右焦点为SKIPIF1<0及SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0的直线交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点,线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的中垂线与SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴分别交于SKIPIF1<0两点,且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0构成等差数列.（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）记△SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0,△SKIPIF1<0（SKIPIF1<0