新高考数学二轮复习解析几何专题讲与练第22讲切线与切点弦问题(教师版)

第22讲切线与切点弦问题一、问题综述1.切线1）定义：设直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，当直线SKIPIF1<0连续变动时，SKIPIF1<0两点沿着曲线渐渐靠近，一直到SKIPIF1<0重合为一点SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0称为曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线.注：若曲线SKIPIF1<0为二次曲线，记其方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.若方程组SKIPIF1<0有两个不同的解，则直线SKIPIF1<0与二次曲线SKIPIF1<0相交，当这两个交点重合为一点时，就称直线SKIPIF1<0与二次曲线SKIPIF1<0相切，直线SKIPIF1<0就称为二次曲线SKIPIF1<0在这一点处的切线，这一公共点称为切点.2）切线方程：1）过圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的切线方程：SKIPIF1<0；2）过椭圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的切线方程：SKIPIF1<0；3）过双曲线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的切线方程：SKIPIF1<0；4）过抛物线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的切线方程：SKIPIF1<0.注：替换的规则是SKIPIF1<0.2.圆锥曲线的切点弦1）定义：从圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线，那么经过两切点的圆锥曲线的弦叫做切点弦.2）切点弦方程：1）设SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0外一点，则切点弦方程为：SKIPIF1<0；2）设SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0外一点，则切点弦方程：SKIPIF1<0；3）设SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0外一点，则切点弦方程：SKIPIF1<0；4）设SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0外一点，则切点弦切线方程：SKIPIF1<0.注：点SKIPIF1<0与切点弦为圆锥曲线的极点和极线.二、典例分析类型1：过曲线外一点的切线方程【例1】求椭圆SKIPIF1<0两条互相垂直的切线的交点SKIPIF1<0的轨迹方程.解法：（1）当其中一条切线斜率不存在时，交点为SKIPIF1<0中的一个；（2）当两条切线斜率存在时，设点SKIPIF1<0，切线方程为SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0也满足SKIPIF1<0.所以所求点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0.【例2】【2012广东文20】在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的左焦点为SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上.（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）设直线SKIPIF1<0同时与椭圆SKIPIF1<0和抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相切，求直线SKIPIF1<0的方程.解法：（1）因为椭圆SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0代入椭圆SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）直线SKIPIF1<0的斜率显然存在，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0因为直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相切，所以SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0①SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0因为直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0相切，所以SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0②综合①②，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【方法小结】根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式SKIPIF1<0，即可解出切线方程，注意关于SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件.类型2：以曲线上一点为切点的切线方程【例3】如图，设椭圆SKIPIF1<0动直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0只有一个公共点SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在第一象限.（I）已知直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示点SKIPIF1<0的坐标；（II）若过原点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，证明：点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的最大值为SKIPIF1<0.解法：（Ⅰ）解法1：韦达定理设切线SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0,由题意知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在第一象限，所以，SKIPIF1<0.解法2：导数法由点SKIPIF1<0在第一象限及方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两边平方得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又由点SKIPIF1<0在第一象限，SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.解法3：直接利用切线方程设SKIPIF1<0，则切线SKIPIF1<0又SKIPIF1<0联立①②及SKIPIF1<0在第一象限，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（Ⅱ）解法1：直接法由于直线SKIPIF1<0过原点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0垂直，故直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时等号成立.所以，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的最大值为SKIPIF1<0.解法2：参数法设SKIPIF1<0，则切线SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0取到最大值.解法3：等价转化设SKIPIF1<0，则切线SKIPIF1<0设过SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0垂直的直线为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离等于SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0的距离.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（柯西不等式）当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时取到最大值. 【例4】如图，设抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上运动，过SKIPIF1<0作抛物线SKIPIF1<0的两条切线SKIPIF1<0，且与抛物线SKIPIF1<0分别相切于A、B两点.（1）求△SKIPIF1<0的重心SKIPIF1<0的轨迹方程；（2）证明：SKIPIF1<0.解法：（1）（1）设切点SKIPIF1<0，∴切线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0；切线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0.解得：SKIPIF1<0.所以△SKIPIF1<0的重心SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，由点SKIPIF1<0在直线l上运动，从而得到重心SKIPIF1<0的轨迹方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0点在抛物线外，则SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.【方法小结】过曲线上一点的二次曲线的切线方程常用的有两种方法：一种是利用二次方程有等根，用SKIPIF1<0；另一种是用导数的方法.类型3：圆锥曲线切点弦【例5】已知抛物线SKIPIF1<0的焦点与椭圆SKIPIF1<0的上焦点重合，点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上任意一点，过SKIPIF1<0作抛物线SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0.（Ⅰ）求抛物线SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）证明：直线SKIPIF1<0过定点，并求出定点坐标.解析：（Ⅰ）抛物线方程为SKIPIF1<0；（Ⅱ）设点SKIPIF1<0，则抛物线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0.又点SKIPIF1<0在两条切线上，则SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0又点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以直线SKIPIF1<0经过定点SKIPIF1<0.【方法小结】本题实际上涉及圆锥曲线极点极线的一个性质：过圆锥曲线外任一点作直线，交圆锥曲线于两点，若圆锥曲线在点处切线的交点为，则点SKIPIF1<0在一定直线上.三、巩固练习1.已知抛物线SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心为点SKIPIF1<0.点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上一点（异于原点），过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线，交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，若过SKIPIF1<0两点的直线SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程.2.已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0有且只有一个公共点SKIPIF1<0.（Ⅰ）求椭圆SKIPIF1<0的方程及点SKIPIF1<0的坐标；（Ⅱ）设SKIPIF1<0是坐标原点，直线SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0，与椭圆SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0，且与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．证明：存在常数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，并求SKIPIF1<0的值.3.【2015新课标1，理20】在直角坐标系SKIPIF1<0中，曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0(SKIPIF1<0＞0)交与SKIPIF1<0两点.（1）当SKIPIF1<0时，分别求SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0处的切线方程；（2）SKIPIF1<0轴上是否存在点SKIPIF1<0，使得当SKIPIF1<0变动时，总有SKIPIF1<0？说明理由.4.已知椭圆SKIPIF1<0的中心在原点，离心率为SKIPIF1<0，其右焦点是圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圆心．（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（2）如图，过椭圆上且位于SKIPIF1<0轴左侧的一点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线，分别交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．试推断是否存在点，使SKIPIF1<0？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．5.已知椭圆SKIPIF1<0，是直线SKIPIF1<0上一点，由向已知椭圆作两切线，切点分别是SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程，使与两坐标轴围成的三角形面积最小，并求出这个最小值.6.如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为时，SKIPIF1<0，求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线SKIPIF1<0上，其中，点C满足SKIPIF1<0（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：1.设点SKIPIF1<0，切线的斜率为，则切线方程是，由题意得：，整理得：，（*）设.解得：SKIPIF1<0（是方程*的根）.因为，所以，所以，解得：，所以，所以直线的方程.2.（=1\*ROMANI）由已知得，所以，则椭圆E的方程为.由方程组得.=1\*GB3①方程=1\*GB3①的判别式为，由，得，此方程=1\*GB3①的解为，所以椭圆E的方程为.点T坐标为（2,1）.（=2\*ROMANII）由已知可设直线的方程为，有方程组可得所以P点坐标为（），.设点A，B的坐标分别为.由方程组可得SKIPIF1<0.=2\*GB3②方程=2\*GB3②的判别式为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.又由=2\*GB3②得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故存在常数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.3.（1）由题设可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0=SKIPIF1<0处的到数值为SKIPIF1<0，C在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0=-SKIPIF1<0处的导数值为-SKIPIF1<0，C在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故所求切线方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（2）存在符合题意的点，证明如下：设SKIPIF1<0为符合题意得点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0.将SKIPIF1<0代入C得方程整理得SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0=0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角与直线SKIPIF1<0的倾斜角互补，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0符合题意。4.（1）设椭圆方程SKIPIF1<0，半焦距为SKIPIF1<0，因为椭圆的右焦点是圆SKIPIF1<0的圆心，则SKIPIF1<0，因为椭圆的离心率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，故椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）设点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为1，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0．由此可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为方程SKIPIF1<0的两个实根，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因为点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故存在点SKIPIF1<0满足题设条件．5.设SKIPIF1<0，所以切点弦所在直线方程为SKIPIF1<0.所以，则SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，，此时直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0.6.（Ⅰ）证明：由题意设SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以