2021-2022学年陕西省宝鸡市陈仓区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年陕西省宝鸡市陈仓区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题1．（3分）已知＝，则的值为（）A． B． C． D．2．（3分）如图是一个“凹”字形几何体，下列关于该几何体的俯视图画法正确的是（）A． B． C． D．3．（3分）一元二次方程x2+6x﹣5＝0配方后可化为（）A．（x+3）2＝5 B．（x+3）2＝14 C．（x﹣3）2＝5 D．（x﹣3）2＝144．（3分）如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB＝9：25，则AE：EC为（）A．3：5 B．9：25 C．3：2 D．5：35．（3分）已知点A（3，﹣2）在双曲线y＝上，则下列各点也在此双曲线上的是（）A．（1，6） B．（2，3） C．（﹣1，﹣6） D．（﹣2，3）6．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣17．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则OG长度为（）A． B． C． D．8．（3分）若点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0有一个解是0，则m的值为．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2），若点A′（5，6），则A的坐标为．11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为．12．（3分）直线y＝kx与双曲线y＝交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则x1y2﹣3x2y1的值为．13．（3分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点M是AC边上任意一点，连接MB，以MB、MC为邻边作▱MCNB，连接MN，则MN的最小值为．三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）14．（5分）解方程：x2﹣1＝2x+5．15．（5分）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM．请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△DPA∽△ABM．（不写作法，保留作图痕迹）16．（5分）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具，据我市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动车1月份销售150辆，3月份销售216辆，且从1月份到3月份销售量的月平均增长率相同．求该品牌电动自行车销售量的月增长率．17．（5分）已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0，求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．18．（5分）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？19．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．20．（5分）全运会吉祥物以陕西秦岭独有的四个国宝级动物“金丝猴、羚牛、大熊猫、朱鹮”为创意原型，设计了一组幸福快乐、充满活力、精神焕发、积极向上的运动吉祥物形象．现有四张纪念卡片分别绘有吉祥物的图案（如图），纪念卡片背面完全相同，背面朝上，洗匀放好．（1）小丽从四张纪念卡片任意抽取一张，则小丽抽取到的卡片绘有吉祥物“羚羚”的概率为．（2）小明从四张纪念卡片中随机抽取两张卡片，请你用列表法或画树状图法求出小明抽到两张卡片恰好是“羚羚”和“熊熊”的概率．21．（6分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质，其探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图．列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝；描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象请你把图象补充完整．x…﹣3﹣2﹣1﹣123…y…12442m…（2）通过观察图象，写出该函数的两条性质：①；②．（3）若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝．22．（7分）“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．23．（7分）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象分别交于点A（﹣2，m），B（4，n），与y轴交于点C，连接OA，OB．（1）求一次函数y＝﹣x+b和反比例函数y＝（x＞0）的表达式；（2）求△AOB的面积．24．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC、AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F．（1）求证：四边形AEDF是菱形．（2）若AF＝13，AD＝24．求四边形AEDF的面积．25．（8分）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱．某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为每件40元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨2元，月销售量就减少20件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：（1）当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到8000元．（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，则销售定价应为多少元？26．（10分）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．易得：AD＝BD．（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD；（2）如图3，在四边形ABDE中，AB＝10，DE＝2，C为BD边中点．若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．

参考答案一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）已知＝，则的值为（）A． B． C． D．【分析】根据合分比性质，可得答案．解：由合比性质，得＝，则＝＝，故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，利用合比性质是解题关键．2．（3分）如图是一个“凹”字形几何体，下列关于该几何体的俯视图画法正确的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用三视图画法结合俯视图的观察角度得出答案．解：如图所示，其俯视图是：．故选：D．【点评】此题主要考查了作三视图，正确掌握俯视图观察角度是解题关键．3．（3分）一元二次方程x2+6x﹣5＝0配方后可化为（）A．（x+3）2＝5 B．（x+3）2＝14 C．（x﹣3）2＝5 D．（x﹣3）2＝14【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方形式即可．解：∵x2+6x﹣5＝0，∴x2+6x＝5，∴x2+6x+9＝14，∴（x+3）2＝14．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．4．（3分）如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB＝9：25，则AE：EC为（）A．3：5 B．9：25 C．3：2 D．5：3【分析】由DE∥BC，可得△DOE∽△COB，由S△DOE：S△COB＝9：25，可得．又可证△ADE∽△ABC，则，由此得AE：AC的值为3：2．解：∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴＝，∴．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵AC＝AE+EC，∴．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，相似三角形面积比等于相似比的平方．熟练掌握以上考点是正确解题关键．5．（3分）已知点A（3，﹣2）在双曲线y＝上，则下列各点也在此双曲线上的是（）A．（1，6） B．（2，3） C．（﹣1，﹣6） D．（﹣2，3）【分析】求得k的值，然后由给点的横纵坐标相乘，结果是﹣6的，就在此函数图象上．解：∵A（3，﹣2）在双曲线y＝上，∴k＝xy＝3×（﹣2）＝﹣6，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣6的点在函数图象上．A、因为1×6＝6≠k，所以该点不在双曲线y＝上．故A选项不符合题意；B、因为2×3＝6≠k，所以该点不在双曲线y＝上．故B选项不符合题意；C、因为（﹣1）×（﹣6）＝6≠k，所以该点不在双曲线y＝上．故C选项不符合题意；D、因为﹣2×3＝﹣6＝k，所以该点在双曲线y＝上．故D选项符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．6．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【分析】由关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+3＝0有实数根，则a﹣1≠0，且△≥0，即Δ＝22﹣4（a﹣1）×3＝16﹣12a≥0，解不等式得到a的取值范围，最后确定整数a的最大值．解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+3＝0有实数根，∴a﹣1≠0，且△≥0，即Δ＝22﹣4（a﹣1）×3＝16﹣12a≥0，解得a≤，∴a的取值范围为a≤且a≠1，所以整数a的最大值是0．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和不等式的特殊解．7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则OG长度为（）A． B． C． D．【分析】利用等积法可求得DH的长，在Rt△DHB中，利用勾股定理可求得BH，再利用△DOG∽△DHB，利用相似三角形的性质可求得OG的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，BO＝BD＝3，AO＝AC＝4，在Rt△AOB中，可求得AB＝5，∴5DH＝AC•BD，即5DH＝×6×8，解得DH＝，在Rt△BDH中，由勾股定理可得BH＝＝＝，∵∠DOG＝∠DHB，∠ODG＝∠HDB，∴△DOG∽△DHB，∴＝，即＝，解得OG＝，故选：B．【点评】本题主要考查菱形的性质，利用菱形的性质求得边长，进一步求得DH的长是解题的关键，注意等积法的应用．8．（3分）若点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1【分析】根据反比例函数的性质得出反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据点的坐标特点得出即可．解：∵反比例函数的解析式为y＝（a为常数），∴反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，∵点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝（a为常数）的图象上，∴A在第三象限内，B、C在第一象限内，∴y1＜0，0＜y3＜y2，∴y1＜y3＜y2，故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象和性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0有一个解是0，则m的值为﹣2．【分析】把x＝0代入方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．解：把x＝0代入方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0中，得m2﹣4＝0，解得m＝﹣2或2，当m＝2时，原方程二次项系数m﹣2＝0，舍去，故答案是：﹣2．【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2），若点A′（5，6），则A的坐标为（2.5，3）．【分析】利用点B（3，1），B′（6，2）即可得出位似比进而得出A的坐标．解：∵点B（3，1），B′（6，2），点A′（5，6），∴A的坐标为：（2.5，3）．故答案为：（2.5，3）．【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为．【分析】由∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB得AC∥MN∥BD，从而得△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，由相似比，得到MN的长度．解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB，∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，∴，，∴，∴，∴MN＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，旨在判断学生是否对两个常见的相似模型“A型相似”和“8字型相似”能够灵活应用．这里的易错点是在得到第一对三角形的相似比时，学生容易直接使用在第二对相似三角形中，导致失分．12．（3分）直线y＝kx与双曲线y＝交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则x1y2﹣3x2y1的值为4．【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征，两交点坐标关于原点对称，故x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，再代入x1y2﹣3x2y1，由2＝xy得出答案．解：由图象可知点A（x1，y1），B（x2，y2）关于原点对称，即x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，把A（x1，y1）代入双曲线y＝得x1y1＝2，则原式＝x1y2﹣3x2y1，＝﹣x1y1+3x1y1，＝2x1y1，＝4．故答案为4．【点评】本题考查了正比例函数与反比例函数交点坐标的性质，即两交点坐标关于原点对称．13．（3分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点M是AC边上任意一点，连接MB，以MB、MC为邻边作▱MCNB，连接MN，则MN的最小值为．【分析】设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AO和OH长，若MN最小，则MO最小即可，而O点到AC的最短距离为OH长，所以MN最小值是2OH．解：设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，∵四边形MCNB是平行四边形，∴O为BC中点，MN＝2MO．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AO⊥BC．在Rt△AOC中，利用勾股定理可得AO＝＝12．利用面积法：AO×CO＝AC×OH，即12×5＝13×OH，解得OH＝．当MO最小时，则MN就最小，O点到AC的最短距离为OH长，所以当M点与H点重合时，MO最小值为OH长是．所以此时MN最小值为2OH＝．故答案为．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静．三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）14．（5分）解方程：x2﹣1＝2x+5．【分析】先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．解：x2﹣1＝2x+5，x2﹣2x﹣6＝0，∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣6）＝28，∴x＝＝＝1±，∴x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．15．（5分）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM．请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△DPA∽△ABM．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】过D点作DP⊥AM，利用相似三角形的判定解答即可．解：如图所示，点P即为所求：∵DP⊥AM，∴∠APD＝∠ABM＝90°，∵∠BAM+∠PAD＝90°，∠PAD+∠ADP＝90°，∴∠BAM＝∠ADP，∴△DPA∽△ABM．【点评】此题考查作图﹣相似变换，关键是根据相似三角形的判定解答．16．（5分）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具，据我市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动车1月份销售150辆，3月份销售216辆，且从1月份到3月份销售量的月平均增长率相同．求该品牌电动自行车销售量的月增长率．【分析】设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，等量关系为：1月份的销售量×（1+增长率）2＝3月份的销售量，把相关数值代入求解即可．解：设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，根据题意列方程：150（1+x）2＝216，解得：x1＝﹣220%（不合题意，舍去），x2＝20%．答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率是20%．【点评】本题考主要查了一元二次方程的应用．找到关键描述语，找出等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．17．（5分）已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0，求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（m﹣2）2+4，由偶次方的非负性可得出（m﹣2）2≥0，进而可得出（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，再利用“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”即可证出：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．【解答】证明：∵a＝1，b＝m，c＝m﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4．∵（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，∴无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．18．（5分）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？【分析】（1）用发放景点吉祥物的数量除以游客的总数量即可；（2）设纸箱中白球的数量为x，用纸箱中红球的数量除以球的总个数＝0.25列出方程求解即可．解：（1）参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为＝0.25；（2）设纸箱中白球的数量为x，则＝0.25，解得x＝36，经检验x＝36是分式方程的解且符合实际，所以估计纸箱中白球的数量接近36．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．19．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．【分析】根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形．【解答】证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形，演艺圈的三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．20．（5分）全运会吉祥物以陕西秦岭独有的四个国宝级动物“金丝猴、羚牛、大熊猫、朱鹮”为创意原型，设计了一组幸福快乐、充满活力、精神焕发、积极向上的运动吉祥物形象．现有四张纪念卡片分别绘有吉祥物的图案（如图），纪念卡片背面完全相同，背面朝上，洗匀放好．（1）小丽从四张纪念卡片任意抽取一张，则小丽抽取到的卡片绘有吉祥物“羚羚”的概率为．（2）小明从四张纪念卡片中随机抽取两张卡片，请你用列表法或画树状图法求出小明抽到两张卡片恰好是“羚羚”和“熊熊”的概率．【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“羚羚”和“熊熊”的结果数为2，根据概率公式求解可得．解：（1）小丽抽取到的卡片绘有吉祥物“羚羚”的概率为：，故答案为：；（2）画树状图如图：共有12个等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“羚羚”和“熊熊”结果有2个，∴抽到的两张卡片恰好是“羚羚”和“熊熊”概率为：＝．【点评】此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（6分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质，其探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图．列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝1；描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象请你把图象补充完整．x…﹣3﹣2﹣1﹣123…y…12442m…（2）通过观察图象，写出该函数的两条性质：①函数图象关于y轴对称；②函数值y＞0．（3）若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝4．【分析】（1）将x＝2代入求解，根据表格所给点作图．（2）观察图象即可得出函数的性质．（3）求出A，B交点，证明四边形OABC为平行四边形，再根据平行四边形面积＝底×高作答．解：（1）将x＝2代入y＝得y＝1，故答案为：1．（2）①函数图象关于y轴对称，②函数值y＞0，故答案为：函数图象关于y轴对称，函数值y＞0（答案不唯一）．（3）将y＝2代入y＝得x＝1或x＝﹣1，∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，∵AB在直线y＝2上，OC在x轴上，∴AB∥OC，又∵BC∥OA，∴四边形OABC为平行四边形，∴S四边形OABC＝AB•yA＝2×2＝4．故答案为：4．【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题关键是熟练掌握一次函数及反比例函数的性质．22．（7分）“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．【分析】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．通过△CND∽△ANB和△EMF∽△AMB的性质求得x的值，然后结合求得大树的高．解：设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，∴△CND∽△ANB，∴．同理，△EMF∽△AMB，∴．∵EF＝CD，∴，即．解得x＝6.6，∵，∴．解得AB＝9.6．答：大树AB的高度为9.6米．【点评】本题考查相似三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．23．（7分）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象分别交于点A（﹣2，m），B（4，n），与y轴交于点C，连接OA，OB．（1）求一次函数y＝﹣x+b和反比例函数y＝（x＞0）的表达式；（2）求△AOB的面积．【分析】（1）由点A在反比例函数y＝上可得点A坐标，从而求出一次函数解析式，再将点B坐标代入解析式求出点B坐标，进而求解．（2）先通过一次函数解析式求出点C坐标，然后通过S△AOB＝S△AOC+S△BOC求解．解：（1）∵点A在反比例函数y＝上，∴﹣2m＝﹣10，解得m＝5，∴点A坐标为（﹣2，5）．把（﹣2，5）代入y＝﹣x+b得5＝1+b，解得b＝4，∴一次函数表达式为y＝x+4，把B（4，n）代入y＝x+4得n＝﹣2+4＝2，∴点B坐标为（4，2），∵点B在反比例函数y＝图象上，∴k＝4×2＝8，∴反比例函数表达式为y＝．（2）把x＝0代入y＝x+4得y＝4，∴点C坐标为（0，4），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×4×2+×4×4＝12．【点评】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，通过数形结合求解．24．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC、AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F．（1）求证：四边形AEDF是菱形．（2）若AF＝13，AD＝24．求四边形AEDF的面积．【分析】（1）先证明四边形AEDF是平行四边形．再证明∠ADE＝∠BAD．可得EA＝ED．则结论得证；（2）连接EF交AD于点O．求出OE＝OF＝5，则四边形AEDF的面积可求出．【解答】（1）证明：∵AB∥DF，AC∥DE，∴四边形AEDF是平行四边形．∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC．又∵AC∥DE，∴∠ADE＝∠DAC．∴∠ADE＝∠BAD．∴EA＝ED．∴四边形AEDF是菱形．（2）解：连接EF交AD于点O．∵四边形AEDF是菱形，∴EF＝2FO．∴AO＝．∵AD⊥EF．在Rt△AOF中，由勾股定理得OF＝＝＝5．∴OE＝OF＝5．∴四边形AEDF的面积＝＝＝120．【点评】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．25．（8分）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱．某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为每件40元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨2元，月销售量就减少20件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：（1）当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到8000元．（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，则销售定价应为多少元？【分析】（1）设销售单价涨x元，则每件的销售利润为（50+x﹣40）元，月销售量为（500﹣10x）件，利用月销售利润＝每件的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）利用月销售成本＝每件的销售成本×月销售量，可分别求出取各x值的月销售成本，结合月销售成本不超过10000元，即可得出销售定价应为80元．解：（1）设销售单价涨x元，则每件的销售利润为（50+x﹣40）元，月销售量为500﹣20•＝（500﹣10x）件，依题意得：（50+x﹣40）（500﹣10x）＝8000，整理得：x2﹣40x+300＝0，解得：x1＝10，x2＝30．答：当销售单价涨10元或30元时，月销售利润能够达