弹塑性力学讲义四

第七章轴的扭转Prof.WangJX第七章轴的扭转圆轴的弹性扭转非圆截面杆件的弹性扭转圆轴的弹塑性扭转非圆截面杆件的弹塑性扭转Prof,WangJX§7－1圆轴的弹性扭转应力分量：xyzoMtrxyoyxbtzxtzytRrProf,WangJX应力分量：xyoyxbtzxtzytRr平衡微分方程应力边界条件：侧面：端面：FxFyM用应力表示的相容方程：弹性解：2.应变分量：2.位移分量：位移分量：位移条件：（1）坐标原点固定：（2）原点的单元固定：Prof,WangJXxyzoMtr位移分量：（1）坐标原点固定：（2）原点的单元固定：过原点沿z向的线段在xoz、zoy面内不转动：过原点沿x向的线段在xoy面内不转动：刚体位移为零。单位长度的相对扭转角平截面假设设xyuvuqq'qrxyAProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity§7－2非圆截面面杆件的的弹性扭扭转一、应力力分量yxoyxbtzxtzyr平衡微分分方程xyzoMProf,WangJX用应力表表示的相相容方程程：用扭转应应力函数数表示的的相容方方程。边界条件件：侧面：xodydxNds侧面边界界条件：多连域：端面：xyoyxqRrFxFyMdxdyAB二、应应变分量量：三、位移移分量：：不计刚体体位移q为单位长度度的相对对扭转角角wProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity解题步骤骤：（1）确定扭扭转应力力函数：：（2）确定应应力函数数中的待待定常数数：（3）确定应应力分量量：（5）确定单单位长度度的扭转转角及位位移分量量：wxy0AiAabcdFxFy多连体：：例题1：椭圆截截面杆的的扭转oabxy解：满足：M端面边界界条件：：例题1：椭圆截截面杆的的扭转解：应力分量量：oabxyM单位长度度的扭转转角：位移分量量：扭杆的横横截面不不再保持持为平面面，而翘翘曲为曲曲面。oabxyMProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity例题2：空心圆圆轴的扭扭转oabxy解：满足：M端面边界界条件：：四、弹性性扭转的的薄膜比比拟比拟：两个概念念完全不不同的问问题，如如果数学学表达式式相同，，可借助助比较直直观的简简单问题题讨论复复杂的抽抽象的问问题。薄膜在均均匀压力力作用下下的垂度度与等截截面扭杆杆问题的的应力函函数在数数学上是是相似的的，故可可用比拟拟方法求求扭转问问题的解解答。（2）边界形形状与扭扭杆横截截面相同同。（1）薄膜均均匀张在在水平边边界上。。（3）给薄膜膜施加均均匀压力力。q薄膜上上的点点产生生垂度度薄膜具具有柔柔顺性性薄膜只只受表表面张张力作作用z(x,y)Prof,WangJXqz(x,y)公式推推导：：（1）建立立坐标标系：：xyoxzo（2）取微微元体体：dxdy薄膜单单位长长度上上的张张力：：TTdxTdyTdyTdxzz'abqTdyTdyabProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityqz(x,y)xyoxzodxdy薄膜在在周边边上的的挠度度：TdxTdyTdyTdxzz'abqTdyTdyab薄膜与与支承承面间间体积积的2倍：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（1）薄膜膜的垂垂度对对应扭扭转应应力函函数，，薄膜膜与支支承面面体积积的2倍对应应扭矩矩。讨论：：（2）薄膜膜在y方向斜斜率对对应扭扭杆在在同一一点处处x方向的的剪应应力。。薄膜膜在x方向斜斜率对对应扭扭杆在在同一一点处处y方向的的剪应应力的的大小小。扭杆横横截面面上某某一点点沿任任意方方向的的剪应应力，，等于于薄膜膜对应应点处处沿垂垂直方方向的的斜率率。最大剪剪应力力对应应于薄薄膜斜斜率最最大处处。剪应力力t等于j的梯度度的模模，方方向沿沿j=const曲线（（薄膜膜中的的等高高线））的切切线方方向。。j的等值值线称称剪应应力迹迹线。。最大剪剪应力力产生生于j的梯度度最大大处（（薄膜膜中等等高线线密度度最大大处））。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（3）剪应应力环环量定定理：：在扭转转应力力函数数的闭闭合曲曲线上上，剪剪应力力沿其其迹线线的回回路积积分（（剪应应力环环量））与所所围面面积成成正比比。Adst证明：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（4）利用用薄膜膜比拟拟不仅仅可用用实验验方法法模拟拟扭转转问题题，而而且有有助于于寻找找应力力函数数，分分析扭扭杆内内的应应力分分布情情况，，找出出最大大剪应应力的的位置置。例题3：矩形形截面面杆的的扭转转解：abxyzxa>>bxzz(y)应力函函数：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityabxyzxxzz(y)应力函函数：：MProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityabxy应力函函数：：应力分分量：：M一般情情况：：12345100.1410.2080.22290.2630.2810.2910.3120.3330.3330.3120.2910.2820.2670.246Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity五、薄薄壁杆杆件的的扭转转1.开口薄薄壁杆杆件biaiM第i个长条条：（薄膜膜比拟拟）Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity2.闭口薄薄壁杆杆件外边界界：dsMxydhayxq无重刚性平板内边界界：取：A：杆壁中中心线线包围围的面面积最大剪剪应力力发生生在壁壁厚最最小处处。剪应力力环量量定理理：dsMxydqhayx等厚薄薄壁杆杆件：：S：杆壁中中心线线全长长Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity剪力流流S1、S2、S3：剪应力力t1、t2、t3作用线全长3.具有两个内边界界的闭口薄壁杆杆件A1d3A2d1qh2h1h3t1t2剪应力环量定理理：d2t3A1d3qh23.具有两个内边界界的闭口薄壁杆杆件A2d1d2h1h3t1t2t3解答：§7－3圆轴的弹塑性扭扭转理想弹塑性材料料：gt1.弹性极限扭矩xyzoMtrtsxyoMeR弹性解：屈服条件：Prof,WangJX2.弹塑性阶段tsxyoMeRxyoMpRtsrpProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity3.塑性极限扭矩xyoMpRtsrpxyoMlRtsProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity4.残余应力：当扭矩加至Mp后再卸载至零，，在圆轴中产生生的应力。Mp:卸去的应力：（（按弹性计算算）残余应力：rtrRrpProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity§7－4非圆截面杆件的的弹塑性扭转一、弹性解Prof,WangJX二、全塑性解塑性应力函数平衡方程：屈服条件：Tresca：Mises：全塑性条件下构构件内应力函数数应满足的基本本方程边界条件：侧面上无面力：：端面上：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity讨论：对于理想弹塑性性材料，剪切屈屈服极限k为常数，|gradp|=k表明：应力函数数p所代表的曲面斜斜率为常数。p(x,y)是一个等倾斜面面构成的多面体体，其坡度为k.所有p(x,y)的等值线是相互互平行的，且与与截面的周边界界平行。截面上的总剪应应力t与p(x,y)的等值线相切。。塑性极限扭矩Ml是塑性应力函数数所代表曲面所所界体积的2倍。Nadai:沙堆比拟法。Prof,WangJXNadai沙堆比拟法：作一个形状与杆杆件截面相同的的底板。在底板上堆放干干沙，直至不能能再增加为止。。沙子的内摩擦系系数为常数，沙沙堆表面为斜率率为常数的曲面面－－等倾面。。wW：沙堆任意点的高高度aa：沙子的内摩擦角角1kProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityNadai沙堆比拟法：wWa1k比拟条件：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity例题1：圆轴的扭转的的塑性极限载荷荷RRha例题2：矩形截面杆扭扭转的塑性极限限载荷a/2haa/2b-aba45o正方形：例题3：空心圆截面杆杆扭转的塑性极极限载荷oab比拟：沙堆外表表面为等倾面，，内边界处高度度为常量－－截截锥体habh'a三、弹塑性解弹性区：塑性区：边界条件：侧面上无面力：：交界线上：Nadai薄膜屋顶比拟法：在一平板上开一一个形状与杆件件截面相同的孔孔。在孔上张紧一薄薄膜。在薄膜受压力作作用的上面，用用透明材料作一一与沙堆比拟形形成的表面相一一致的等倾顶盖盖（屋顶）P=0：膜水平1kP＞0：膜向上弯曲，弹弹性变形膜刚接触屋顶：：弹性极限状态态，截面开始屈屈服。膜接触屋顶：弹弹塑性状态，相相贴部分薄膜