导数背景下的恒成立与存在性问题

导数背景下的恒成立与存在性问题—可转化为最值问题一恒成立问题和存在性问题一直是高考中的热门问题，同时学生在理解与掌握的过程中存在一定的困难，经常混淆不清。一般得这两类问题都可以转化为函数最值问题，通过最值之间的比较，从而得出参数的取值范围。下面把问题细分为9个方面，希望对你有所帮助。、若对Vxel，a>f(x)恒成立，则只需a>f(x)^^^即可;若对Vxel，avf⑴恒成立，则只需avf(x)m.n即可.例题1、已知函数f(x)=lnx+三(°vx<3)，若以其图象上任意一点P(x0,*)为切点的切线的斜率…1k<-恒成立，求实数a的取值范围.【解答】Qf'(x)=1—a=二,xx2x2I八、x—a..k=f(x)=0・.・k„1恒成立等价于口„1恒成立2x220即a...(-2x2+x),(分离参数)Q当x°=1时，-2x2+x取得最大值2，1•a..—.2、若女e【,满足不等式a>f⑴，则只需a>f(x)min即可;若女el，满足不等式avf(x)，则只需avf3出饮即可;例题2、已知函数f(x)=ax2+2ax，g(x)=心，若在(0,+8)上至少存在一个实数x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求实数a的取值范围.【解答】由f(x0)>g(%)可得ax02+2ax>%，ex即a>亦’(分离参数)

Q在(。心)上至少存在一个实数七，使得f(%)>g(%)成立，令h⑴=ex,h\x)=："，22),x2+2x(x2+2x)2当xG(0,^2)时，h'(x)v0,即h(x)在(0,^2)递减，当xG(、2+8)时，h'(x)>0，即h(x)在(0,J2)递增，h(x)min=h(而=5；矗"2，.(、质-1)e-2a>2三、若对Vx1,x2el，使得不等式|f(x1)—f(x2)va(a为常数)恒成立，则f(x)max-f(x)minva例题3、已知函数f(x)=aInx+2x2—(a+1)x(1va<e).证明：对于V\,x2eh,a］，恒有If(x1)-f气亦1成立.分析：只需证明If(x)max-f(x)minlv1即可.a,x2—(a+1)x+a(x—a)(x—1)【解答】由题可知，f(x)=+x一(a+1)==，x当xeh,a］时，x—a<0,x—1>0f'(f'(x)>0在xell,a］上恒成立，即f(x)在11,a］上单调递减，f(x).=f(a)=aIna—2a2—af(x)—f(x).=aIna—2a2+二，f(x)=f(1)=—a—1，max212令g(a)=f(x)—f(x).=aIna—^a2+^，(1va<e)，贝gg'(a)=Ina+1—a，令中(a)=g'(a)=Ina+1-a，则中'(a)=--1v0恒成立，a:.中(a)在(1,e］上单调递减，即中(a)v中(1)=0，.•・g\a)v0,即g(a)在(1,e］上单调递减，则g(a)vg(1)=0g(a)min=g(e)=e-2e+2>-1，・•・-1vg(a)<0，即-1vf⑴响-f(x.<0，.•・0<lf(x)m^-f(x)minlv1，・•・对于Vx,xeh,a］，有lf(x)-f(x)l<lf(x)-f(x)lv1，1221maxmin・f(x).=f(a)=aIna—2a2—af(x)—f(x).=aIna—2a2+二，四、若女1，x2e/，满足方程f(气)=g(号，则只需两函数值域交集不空即可.1,L1I、一一x+—(xe0,)例题4、已知函数f(x)=<asin:x-2a+2(a>例题4、已知函数f(x)=<asin:x-2a+2(a>0),若3x,xet),1］，x3x+1使得f(气)=g(x2)成立，试求实数a的取值范围.【分析】判断函数f(x)的单调性，求出函数^^(x)的值域，根据若存在x『x2&0,1］,使得f(明)=g(x2)成立得到，f(x)的值域和g(x)的值域交集不是空集即可得到结论.【解答】当g〈xW1时，f(x)=M~的导数f(x)=4心+1)-；必=杼+4；=心+1)了〉0，2"1GhV)2(eV则此时函数f(x)为增函数，则f(§)<f(x)Wf(1)，即§<f(x)W1，J•—>当0WxW命■时，f(x)=-*+^为减函数，■Ij,一II」则0Wf(x)W*~，即函数f(x)的值域为［0，§u(§，1］函数g(x)=§ax2-2a+2(a>0)，在［0，1］上为增函数，£—j

则g(0)Wg(x)Wg(1),即2-2aWg(x)W2-3"，即g(x)的值域为[2-2a,2-3。]x2e[0,x2e[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立，成]c([0，志]u(§,1])*,2-W"]C([°，*]U(号，1])=0，辰2勇或2-2a>1,即">§或"无解或0〈a〈W",即若[2-2a,2-3"]^([0,f]U(*,1])/0,则土W"W号，故答案为：*WaW号.若存在X1则[2-2a若[2-2a则2-言＜0或五、若对Vxel总3xel使得f(x)=g(x)成立，则只需f(x)值域Jg(x)值域即可.112212例题5、已知函数f(x)=422—,g(x)=x3-3a2x-2a(a>1)对V气et),1]总3x2eb,1]使得f(气)=g(x2)成立，试求实数a的取值范围.【解答】对函数g(x)求导，则g，(x)=3(x2-a2).Qa..1，当xe(0,1)时，gf(x)<3(1-a2)„0,因此当xe(0,1)时，g(x)为减函数，从而当xe[0,1]时有g(x)e[g(1),g(0)],又g(1)=1-2a一3a2,g(0)=-2a,即当xe[0,即当xe[0,1]时有g(x)e[1-2a一3a2,TOC\o"1-5"\h\z任给XG［0,1］,f(X)£［—4,一3］，存在xe［0,1］使得g(x)=f(x),112212J1-2a-3aZ,—4①则［1—2a—3a2,—2a］兰［—4,—3］，即〈,一〔-2a...-3②解①式得a.1或a„-3,解②式得a„2,3又a..1，故a的取值范围内是啜血3.2六、若对Vxel,xel使得不等式f(x)<g(x)恒成立，则只需f(x)<g(x)即可.112212maxmin例题6、已知两个函数f(x)=7x2一28x一c,g(x)=2x3+4x2一40x，若对VxeL3,3〕，xeL3,3〕，12都有不等式f(x「<g(x2)恒成立，求实数c的取值范围.【解答】由二次函数的性质可得f(x)max=f⑵=—28-c，g'(x)=6x2+8x—40=2(x+2)(3x—10)，令g'(x)=0得x=—2和x=?，由xe［—3,3〕可得g(x)在［—3,—2)递增，在(-2,3］上递减，g(—3)=102，g(3)=—30，・•・g(x)min=g(3)=—30，••对Vxg［-3,3〕，xg［-3,3〕，都有不等式f(x)<g(x)恒成立，1212・f(x)<g(x).，即—28—c<—30解得cZ2.七、若对3xel，xel满足不等式f(x)<g(x)，则只需f(x)<g(x)即可.112212minmax例题7、已知两个函数f(x)=x3—3x2—9x+c,g(x)=x2+2x+1，若对3xel—2,6〕，xeL2,6〕，12使得不等式f3)<g3)成立，求实数。的取值范围.12【解答】f'3)=3粗—6X-9=3(X+1)3-3)，令f\x)=0，得X=-1或X=3,由Xe［-2,6］可知f(x)在［-2,-1)和(3,6)上递增，在(-1,3)递减，f(-2)-f(3)=25〉0，・.・f(-2)>f(3)，即f(x)min=f(3)=-27+c，由二次函数的性质可得g(X)在Xe［-2,6］的最大值g(x)max=g(6)=49，••对3xeL2,6］，xeL2,6］，使得不等式f(x)<g(x)成立，TOC\o"1-5"\h\z1212f(x).<g(x)，即-27+c<49，解得c<76.八、若对Vxel，总3xel，使得f(x)>g(x)成立，则只需f(x)>g(x)即可.\o"CurrentDocument"112212minmin例题8、已知两个函数f(x)=X+-+2Inx,g(x)=e2x+e-2x+ex+e-x+k，若对V%e1,4］，总3X2eR，使得f(X1)>gE)成立，求实数上的取值范围.【解答】对于Vxe［1,4］,总3xeR，使得f(x)...g(x)成立0f(x)...g(x)1212minminx2+2x—8(x+4)(x—2)f(X)的定乂域为(0,+8)，f'(X)==——-——-，X2X2令f'(x)=0，得X=-4(舍去)或X=2，X1(1,2)2(2,4)4f(X)—0+f(X)9单调递减f(X)极小值6+2加2单调递增6+2ln4在xe［1，4］上f(x).=f(2)=6+2ln2.设ex+e-x=t，贝e2x+e-2x=12-2，TOC\o"1-5"\h\z一一19设4(t)=g(x)=12+1+k—2(t..2),§(t)=(t+)2+k—(t..2)是单调递增函数,24所以g(x)=Nt)=g(2)=4+k.故4+k„6+2ln2,得k„2+2ln2.九、若对Vxel,总3xel,使得f(x)vg(x)成立，则只需f(x)<g(x)即可.\o"CurrentDocument"112212maxmax例题9、已知两个函数f(x)=—Inx+—x———1,g(x)=—x2+2x+力，若对Vxe(0,2)，\o"CurrentDocument"44xi总3x2e1,2l使得f(xi)Vg(x2)成立，求实数b的取值范围.〜、113x2—4x+3(x—1)(x—3)【解答】f'(x)=-x+4+京='xe(