高考数学一轮复习讲义微专题02充分条件与必要条件(含详解)

PAGE1-微专题02充分条件与必要条件一、基础知识1、定义：（1）对于两个条件SKIPIF1<0，如果命题“若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0”是真命题，则称条件SKIPIF1<0能够推出条件SKIPIF1<0，记为SKIPIF1<0，（2）充分条件与必要条件：如果条件SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则称条件SKIPIF1<0是条件SKIPIF1<0的充分条件；称条件SKIPIF1<0是条件SKIPIF1<0的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判断时既要判断“若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0”的真假，也要判断“若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）SKIPIF1<0能推出SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0推不出SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要条件（2）SKIPIF1<0推不出SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0能推出SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分条件（3）SKIPIF1<0能推出SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0能推出SKIPIF1<0，记为SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充要条件，也称SKIPIF1<0等价（4）SKIPIF1<0推不出SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0推不出SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的既不充分也不必要条件4、如何判断两个条件的充分必要关系（1）通过命题手段，将两个条件用“若……，则……”组成命题，通过判断命题的真假来判断出条件能否相互推出，进而确定充分必要关系。例如SKIPIF1<0，构造命题：“若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0”为真命题，所以SKIPIF1<0，但“若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0”为假命题（SKIPIF1<0还有可能为SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0不能推出SKIPIF1<0；综上，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要条件（2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系①充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。在逻辑中充分也是类似的含义，是指仅由SKIPIF1<0就可以得到结论SKIPIF1<0，而不需要再添加任何说明与补充。以上题为例，对于条件SKIPIF1<0，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到SKIPIF1<0所以可以说SKIPIF1<0对SKIPIF1<0是“充分的”，而反观SKIPIF1<0对SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，要想得到SKIPIF1<0，还要补充一个前提：SKIPIF1<0不能取SKIPIF1<0，那既然还要补充，则说明是“不充分的”②必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官”，何谓“必要”？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”体现的就是“没它不行，但是仅有它也未必行”的含义。仍以上题为例：如果SKIPIF1<0不成立，那么SKIPIF1<0必然不为1，但是仅靠SKIPIF1<0想得到SKIPIF1<0也是远远不够的，还需要更多的补充条件，所以仅仅是“必要的”（3）运用集合作为工具先看一个问题：已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0,那么条件“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的什么条件？由SKIPIF1<0SKIPIF1<0可得到：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0推不出SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”充分不必要条件。通过这个问题可以看出，如果两个集合存在包含关系，那么其对应条件之间也存在特定的充分必要关系。在求解时可以将满足条件的元素构成对应集合，判断出两个集合间的包含关系，进而就可确定条件间的关系了。相关结论如下：①SKIPIF1<0SKIPIF1<0：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要条件，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分条件②SKIPIF1<0：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分条件③SKIPIF1<0：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充要条件此方法适用范围较广，尤其涉及到单变量取值范围的条件时，不管是判断充分必要关系还是利用关系解参数范围，都可将问题转化为集合的包含问题，进而快捷求解。例如在SKIPIF1<0中，满足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0取值集合为SKIPIF1<0，而满足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0取值集合为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，进而判断出SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要条件5、关于“SKIPIF1<0”的充分必要关系：可从命题的角度进行判断。例如：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要条件，则命题“若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0”为真命题，根据四类命题的真假关系，可得其逆否命题“若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0”也为真命题。所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要条件二、典型例题：例1：已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件思路：考虑利用集合求解：分别解不等式得到对应集合。SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，进而SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要条件答案：C例2：已知SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件思路：本题若觉得不方便从条件中直接找到联系，可先从一个条件入手推出其等价条件，再进行判断，比如“SKIPIF1<0”等价于SKIPIF1<0，所以只需判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系即可。根据SKIPIF1<0的单调性可得：如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，但是若SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0大于零的前提下，才有SKIPIF1<0，而题目中仅说明SKIPIF1<0。所以不能推出。综上可判断SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要条件答案：C小炼有话说：（1）如果所给条件不方便直接判断，那么可以寻找它们的等价条件（充要条件），再进行判断即可（2）在SKIPIF1<0推SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0是条件，表达式成立要求SKIPIF1<0，但是在SKIPIF1<0推SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是条件，且对SKIPIF1<0取值没有特殊要求，所以SKIPIF1<0，那么作为结论的SKIPIF1<0就不一定有意义了。在涉及到变量取值时要首先分清谁是条件，谁是结论。作为条件的一方默认式子有意义，所以会对变量取值有一定的影响。例3：已知SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要条件，则SKIPIF1<0的取值范围是_____思路：设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要条件，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，利用数轴可而判断出SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例4：下面四个条件中，使SKIPIF1<0成立的充分而不必要的条件是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：求SKIPIF1<0的充分不必要条件，则这个条件能够推出SKIPIF1<0，且不能被SKIPIF1<0推出。可以考虑验证四个选项。A选项SKIPIF1<0可以推出SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0不一定能够得到SKIPIF1<0（比如SKIPIF1<0），所以A符合条件。对于B，C两个选项均不能推出A，所以直接否定。而D选项虽然可以得到SKIPIF1<0，但是SKIPIF1<0也能推出SKIPIF1<0，所以D是A的充要条件，不符题意答案：A例5：（浙江温州中学高二期中考试）设集合SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 思路：先解出两个解集：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的解集与SKIPIF1<0的取值有关：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，观察条件，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0成立；若SKIPIF1<0，则通过数轴观察区间可得SKIPIF1<0的取值为多个（比如SKIPIF1<0），所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要条件答案：A例6：对于函数SKIPIF1<0，“SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0轴对称”是“SKIPIF1<0是奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 思路：如果SKIPIF1<0是奇函数，图像关于原点对称，则SKIPIF1<0中SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0轴下方的部分沿SKIPIF1<0轴对称翻上来，恰好图像关于SKIPIF1<0轴对称，但SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0轴对称未必能得到SKIPIF1<0是奇函数（例如SKIPIF1<0），所以“SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0轴对称”是“SKIPIF1<0是奇函数”的必要不充分条件答案：B例7：已知SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 思路一：可以考虑利用特殊值来进行判断。比如考虑左SKIPIF1<0右，可以举出反例SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0不成立，所以左边无法得到右边。而右SKIPIF1<0左能够成立，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分条件思路二：本题也可以运用集合的思想，将SKIPIF1<0视为一个点的坐标SKIPIF1<0，则条件所对应的集合为SKIPIF1<0，作出两个集合在坐标系中的区域，观察两个区域可得SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分条件答案：B例8（菏泽高三期中考试）：设条件SKIPIF1<0：实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0；条件SKIPIF1<0：实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分条件，则实数SKIPIF1<0的取值范围是_________思路：本题如果先将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0写出，再利用条件关系运算，尽管可行，但SKIPIF1<0，SKIPIF1<0容易书写错误。所以优先考虑使用原条件。“SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分条件”等价于“SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分条件”，而SKIPIF1<0为两个不等式，所以考虑求出解集再利用集合关系求解。解：设SKIPIF1<0，可解得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0可解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分条件SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分条件SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例9：数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“数列SKIPIF1<0成等差数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 思路：当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成等差数列。所以“SKIPIF1<0”是“数列SKIPIF1<0成等差数列”的充分条件。另一方面，如果SKIPIF1<0成等差数列，则SKIPIF1<0成等差数列，所以有SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，经检验，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0利用数学归纳法可证得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0也为等差数列（公差为0），所以SKIPIF1<0符合题意。从而由“数列SKIPIF1<0成等差数列”无法推出“SKIPIF1<0”，所以“SKIPIF1<0”是“数列SKIPIF1<0成等差数列”的不必要条件答案:A例10：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 思路：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。故由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0能否推出SKIPIF1<0，可考虑寻找各自等价条件：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，通过数形结合可以得到符合SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的集合是SKIPIF1<0的SKIPIF1<0集合的子集。所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分条件答案：B三、近年模拟题题目精选1、（，江西赣州高三摸底考试）若SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、（南昌一模，3）设SKIPIF1<0为向量，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、若SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0成立”是“SKIPIF1<0成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、（，北京）设SKIPIF1<0是公比为SKIPIF1<0的等比数列，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0为递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5、（上海13校联考，15）集合SKIPIF1<0，若“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分条件，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<06、（，福建）“对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7、（北京朝阳一模，5）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8、（湖北黄冈月考，4）已知条件SKIPIF1<0，条件SKIPIF1<0：直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件9、(陕西五校二模，1）命题SKIPIF1<0且满足SKIPIF1<0.命题SKIPIF1<0且满足SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10、（北京理科）设SKIPIF1<0是两个不同的平面，SKIPIF1<0是直线且SKIPIF1<0．则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11、（2016，上海交大附中期中）条件“对任意SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件习题答案：1、答案：B解析：从集合的角度来看，满足SKIPIF1<0条件的SKIPIF1<0取值范围是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以可知“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分条件2、答案：C解析：SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，从而等价于SKIPIF1<03、答案：C解析：由不等式性质可知：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，反之若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<04、答案：D解析：若SKIPIF1<0的项均为负项，则“SKIPIF1<0”，“SKIPIF1<0为递增数列”之间无法相互推出，所以两条件既不充分也不必要5、答案：B解析：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，由数轴可得：SKIPIF1<0即可6、答案：B解析：左侧条件中恒成立不等式可