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文档简介

函数的综合问题第一页,共二十七页,2022年,8月28日第二页,共二十七页,2022年,8月28日1.了解简单的分段函数,并能简单应用.2.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.3.会运用函数图象理解和研究函数的性质.第三页,共二十七页,2022年,8月28日第四页,共二十七页,2022年,8月28日基础梳理

1.分段函数是指在定义域的不同子集上解析式不同的函数,如函数f(x)=就是一个简单的分段函数.在求分段函数的值f(x0)时,一定首先要判断x0属于定义域的哪个子集,然后再代相应的解析式;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各解析式的取值范围的并集.

2.奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.

3.抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题是函数内容的难点之一,其性质常常是隐而不漏,但一般情况下大多是以常见函数为背景,通过代数表述给出函数性质.第五页,共二十七页,2022年,8月28日4.奇偶性与单调性的综合是重点问题.例如:设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,若x1<0且x1+x2>0,则(

)A.f(-x1)>f(-x2)B.f(-x1)=f(-x2)C.f(-x1)<f(-x2)D.f(-x1)与f(-x2)大小不确定解析:x2>-x1>0,f(x)是R上的偶函数,∴f(-x1)=f(x1).又f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴f(-x2)=f(x2)<f(-x1).答案:A第六页,共二十七页,2022年,8月28日思考应用

1.有同学认为分段函数f(x)=是两个函数,这种看法正确吗?解析:

这种看法不正确.尽管看起来分段函数由多个解析式构成,但它实际上是一个函数,不是多个函数,它的图象是唯一确定的,但图象由多段组成的.处理分段函数的有关问题时,必须根据不同的区间来选择相对应的函数解析式,这是解答分段函数问题的要点.第七页,共二十七页,2022年,8月28日2.设函数f(x)在区间(a,b)上是增函数,在区间[b,c)上也是增函数,能说函数f(x)在区间(a,c)上是增函数吗?解析:若函数f(x)在区间(a,c)上的图象是连续不断的一条曲线,则函数f(x)在区间(a,c)上是增函数.否则,可能出现如图情况,此时,函数f(x)在区间(a,c)上不是增函数.第八页,共二十七页,2022年,8月28日3.我们知道,奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.若函数f(x)的图象既关于原点对称,又关于y轴对称,这样的函数存在并且唯一吗?解析:这样的函数是存在的,如函数f(x)=0.但并不唯一,如函数f(x)=0(-1<x<1),函数f(x)=0(-2<x<2)等,这样的函数在每个点处的函数值都是0,但定义域可以是关于原点对称的任意一个数集.第九页,共二十七页,2022年,8月28日自测自评第十页,共二十七页,2022年,8月28日2.设函数f(x)对任意x、y满足:f(x+y)=f(x)+f(y),且f(2)=4,则f(-1)的值为(

)A.-2

B.±

C.±1

D.23.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使f(x)<0的x的取值范围是(

)A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,2)A

D

第十一页,共二十七页,2022年,8月28日第十二页,共二十七页,2022年,8月28日求分段函数的解析式如下图,直角梯形OABC位于直线x=t(0≤t≤5)右侧的图形的面积为f(t),试求函数f(t)的解析式.第十三页,共二十七页,2022年,8月28日跟踪训练1.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(

)第十四页,共二十七页,2022年,8月28日解析:法一:特殊取值法,若x=56,y=5,排除C、D,若x=57,y=6,排除A,选B.法二:设x=10m+α(0≤α≤9),0≤α≤6时,答案:B第十五页,共二十七页,2022年,8月28日根据分段函数求值或求范围设集合A=函数f(x)=,若x0∈A,且f[f(x0)]∈A,则x0的取值范围是(

)第十六页,共二十七页,2022年,8月28日点评:与分段函数结合考查简单不等式的求解等问题是高考命题的一个方向,这种题型具有一定的难度,值得同学们注意.处理要点是将分段函数的解析式适当的放入对应的不等式中.第十七页,共二十七页,2022年,8月28日跟踪训练

2.已知函数

.其中f1(x)=+1,f2(x)=-2x+2.若x0∈,x1=f(x0),f(x1)=x0,求x0的值第十八页,共二十七页,2022年,8月28日研究抽象函数的性质设f(x)定义于实数集上,当x>0时,f(x)>1,且对于任意实数x、y,有f(x

+y)=f(x)·f(y),求证:f(x)在R上为增函数.证明:由f(x

+y)=f(x)·f(y)中取x

=y

=0,得f(0)=f2(0),若f(0)=0,令x>0,y=0,则f(x)=0,与f(x)>1矛盾.∴f(0)≠0,即有f(0)=1.当x>0时,f(x)>1>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>1>0,第十九页,共二十七页,2022年,8月28日而f(x)·f(-x)=f(0)=1,∴f(x)=>0.又当x

=0时,f(0)=1>0,∴x∈R,f(x)>0.设-∞<x1<x2<+∞,则x2-x1>0,f(x2-x1)>1.∴f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)f(x2-x1)>f(x1).∴y

=f(x)在R上为增函数.点评:抽象函数所满足的关系式,应看作给定的运算法则,而变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联.第二十页,共二十七页,2022年,8月28日跟踪训练3.已知函数f(x)(x∈R,x≠0)对任意不等于零实数x1、x2

都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),试判断函数f(x)的奇偶性.解析:取x1=-1,x2=1得:f(-1)=f(-1)+f(1),∴f(1)=0.又取x1=x2=-1得:f(1)=f(-1)+f(-1),∴f(-1)=0.再取x1=x,x2=-1则有f(-x)=f(x)+f(-1),即f(-x)=f(x),∵f(x)的定义域关于原点对称,∴f(x)为偶函数.第二十一页,共二十七页,2022年,8月28日第二十二页,共二十七页,2022年,8月28日一、选择填空题1.如果f(x)是定义在R上的偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,那么下述式子中正确的是(

)B

第二十三页,共二十七页,2022年,8月28日2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为(

)A.-1

B.0C.1D.2解析:∵f(x)为R上奇函数,∴f(0)=0.∵f(x+2)=-f(x),∴f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=-f(0)=0.答案:B第二十四页,共二十七页,2022年,8月28日第二十五页,共二十七页,2022年,8月28日1.函数是数学的核心内容,构造函数是应用函数知识的

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