合作对策模型

合作对策模型第一页，共十页，2022年，8月28日例7

有三个位于某河流同旁的城镇城1、城2、城3(如图）三城镇的污水必须经过处理后方能排入河中，他们既可以单独建立污水处理厂，也可以通过管道输送联合建厂。为了讨论方便起见，我们再假设污水只能由上游往下游。用Q表示污水量，单位为米3/秒，L表示管道长度，单位为公里，则有经验公式：建厂费用C1=730Q0.712（万元）管道费用C2=6.6Q0.51L(万元）已知三城镇的污水量分别为：Q1=5米3/秒，Q2=3米3/秒，Q3=5米3/秒，问：三城镇应怎样处理污水方可使总开支最少？每一城镇负担的费用应各为多少？

城一城二城三

38公里

20公里第二页，共十页，2022年，8月28日分析本问题中三城镇处理污水可以有五种方案：

(1)每城镇各建一个处理厂（单干）。

(2)城1,城2合建一个,城3单独建一个(1、2城合作建于城2处)。

(3)城2,城3合建一个,城1单独建一个(2、3城合作建于城3处)。

(4)城3,城1合建一个,城2单独建一个(1、3城合作建于城3处)。

(5)三城合建一个污水处理厂（建于城3处）城一城二城三

38公里

20公里

容易计算：方案总投资(：万元)

1

6200

2

5800

3

5950

4

6230

5

5560以三城合作总投资为最少第三页，共十页，2022年，8月28日费用怎么分摊呢？建厂费用按三城污水量之比5：3：5分摊，管道是为城1、城2建的，应由两城协商分摊。

城一城二城三

38公里

20公里建厂处同意城3意见，由城2→城3的管道费用可按污水量之比5：3：5分摊，但城1→城2的管道费用应由城1承担。

分摊方案有道理，但得作一番“可行性论证”，

城1的“可行性论证”：联合建厂费：（万元）城1负担：（万元）城1→城2管道费：（万元）全部由城1负担城2→城3管道费：（万元）城1负担：（万元）城1的总负担：约为2457万元城1自己建厂费用：2300万元合作后城1费用增加！差点做了冤大头！！！第四页，共十页，2022年，8月28日怎样找出一个合理的分摊原则，以保证合作的实现呢？

N人合作对策模型设有一个n人的集合I={1,2,…,n}，其元素是某一合作的可能参加者。

(1)对于每一子集SI，对应地可以确定一个实数V(S)，此数的实际意义为如果S中的人参加此项合作，则此合作的总获利数为V(S)，十分明显，V(S)是定义于I的一切子集上的一个集合函数。根据本问题的实际背景，还应要求V(S)满足以下性质:

=0（没有人参加合作则合作获利不能实现）对一切满足的S1、S2成立具有这种性质的集合函数V（S）称为I的特征函数。第五页，共十页，2022年，8月28日

(2)定义合作结果V（S）的分配为，其中表示第i人在这种合作下分配到的获利。显然，不同的合作应有不同的分配，问题归结为找出一个合理的分配原则来，被称为合作对策1953年Shapley采用逻辑建模方法研究了这一问题。首先，他归纳出了几条合理分配原则应当满足的基本性质（用公理形式表示），进而证明满足这些基本性质的合作对策是唯一存在的，从而妥善地解决了问题。是否存在合理分配原则第六页，共十页，2022年，8月28日Shapley提出了以下公理：

设V是I上的特征函数，是合作对策，则有公理1合作获利对每人的分配与此人的标号无关。

公理2，即每人分配数的总和等于总获利数。公理3若对所有包含的i的子集S有：V(S-{i})=V(S)，

=0。即若第i人在他参加的任一合作中均不作出任何贡献，则他不应从合作中获利公理4若此n个人同时进行两项互不影响的合作，则两项合作的分配也应互不影响，每人的分配额即两项合作单独进行时应分配数的和。

第七页，共十页，2022年，8月28日利用上述公理可以证明满足公理1~4的是唯一存在的(证明略)存在的公式吗Shapley指出，可按下列公式给出：

(11.1)i=1,…,n

Si是I中包含i的一切子集所成的集合，

|S|表示集合S中的元素个数，而

(11.2)

可视为i在合作S中所作的贡献W(|S|)可看作这种贡献的权因子第八页，共十页，2022年，8月28日合作的获利真的不少于他单干时的获利吗对每一i∈I，有

求证:证明:|S|=K时，包含i的子集S共有个

即个

故

=1/n

从而

又根据性质，有

故有

第九页，共十页，2022年，8月28日城1获利=67+130=197（万元）承担总费用：2300-197=2103（万元）1300670W(|S|)[V(S)-V(S-{I})]1/31/61/61/3W(|S|)3221|S|39004000V(S)-V(S-{I})250000V(S-{I})64004000V(S){1，2，3}{1，3}{1，2}{1}S城一城二城三

38公里

20公里建厂处解决三城镇污水处理问题城1究竟应当承担多少费用首