回归分析与协方差分析

回归分析与协方差分析第一页，共五十页，2022年，8月28日内容§9.1一元线性回归

第二页，共五十页，2022年，8月28日学习目标散点图,回归系数,正规方程,经验回归方程；回归平方和,剩余平方和,相关系数,显著性检验.第三页，共五十页，2022年，8月28日不确定关系人的身高体重农作物的单位面积产量施肥量

§9.1一元线性回归1.一元线性回归的基本概念第四页，共五十页，2022年，8月28日

线性模型例为了研究弹簧悬挂不同重量(单位：克力)x时长度(单位：厘米)y的关系。通过试验得到一组数据。重量xi51015202530长度yj7.258.128.959.9010.9011.80把这些数据点(xi,yj)画在xoy坐标系中，图形称为散点图。第五页，共五十页，2022年，8月28日******L散点图记L为第六页，共五十页，2022年，8月28日进行n次独立试验，测得数据如下：第七页，共五十页，2022年，8月28日我们的问题是，如何根据这些观测值用“最佳的”形式来表达变量Y与X之间的相关关系？

一般而言，在变量x取值以后，若Y所取的值服从N(α+βx,σ2)分布，当α、β及σ2未知时，根据样本(x1,Y1),(x2,Y2),…,(xn,Yn)的观测值(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)对未知参数α、β及σ2所作的估计与检验称为一元线性回归分析，而α称为截距，β称为回归系数，

E(Y)＝α+βx

称为回归方程。第八页，共五十页，2022年，8月28日由回归方程可以推出

根据样本及其观测值可以得到α、β及σ2的估计量及估计值

得到回归方程的估计式或经验回归方程第九页，共五十页，2022年，8月28日最常用的是最小二乘法，即求出

第十页，共五十页，2022年，8月28日的值最小，所求出的a称为经验截距，简称为截距，b称为经验回归系数，简称为回归系数，而

第十一页，共五十页，2022年，8月28日2.总体中未知参数的估计根据最小二乘法的要求由

第十二页，共五十页，2022年，8月28日得到一元线性回归的正规方程组第十三页，共五十页，2022年，8月28日并求出第十四页，共五十页，2022年，8月28日建立一元线性回归方程的具体步骤：

第十五页，共五十页，2022年，8月28日(3)计算b和a，写出一元线性回归方程。

与上述a和b相对应的Q的数值又记作SSE，称为剩余平方和。将a、b和SSE以及和看作是统计量，它们的表达式分别为第十六页，共五十页，2022年，8月28日

这些统计量之间以及它们与总体参数之间有以下的内在联系：第十七页，共五十页，2022年，8月28日第十八页，共五十页，2022年，8月28日①为提高a的估计精度，最理想的选择是使＝0，其绝对值越小越好；②为提高b的估计精度，应该使lxx

取较大的数值，x1、x2、…、xn越分散越好；③观测值的个数n不能太小。第十九页，共五十页，2022年，8月28日3.线性回归方程的显著性检验

因此，必须对回归方程的拟合情况或效果作显著性检验。其理论基础就是总平方和的分解，即第二十页，共五十页，2022年，8月28日第二十一页，共五十页，2022年，8月28日第二十二页，共五十页，2022年，8月28日表示n个y1、y2、…、yn与之间的差异，当各个yi已知时，它是一个定值，称为总平方和，记作SST。第二十三页，共五十页，2022年，8月28日通过回归已经达到了最小值，称为剩余平方和，记作SSE。称为回归平方和，记作SSR。第二十四页，共五十页，2022年，8月28日

因此，SST＝SSE+SSR。

如果SSR的数值较大，SSE的数值便比较小，说明回归的效果好；如果SSR的数值较小，SSE的数值便比较大，说明回归的效果差。第二十五页，共五十页，2022年，8月28日第二十六页，共五十页，2022年，8月28日第二十七页，共五十页，2022年，8月28日

如果|r|较大，SSE的数值便比较小，说明回归的效果好或者说x与Y的线性关系密切；如果|r|较小，SSE的数值便比较大，说明回归的效果差或者说x与Y的线性关系不密切；因此称r为x与Y的观测值的相关系数。又由r及回归系数的计算公式

第二十八页，共五十页，2022年，8月28日

可以推出：r>0时b>0，x增加时Y的观测值呈增加的趋势；r<0时b<0，x增加时Y的观测值呈减少的趋势。因此r>0时称x与Y正相关，r<0时称x与Y负相关。

综上所述，如果设H0为β＝0，也就是假设x与Y不是线性关系，则可以用以下三种实质相同的方法检验线性回归方程的显著性，且当检验的结果显著时x与Y的线性关系显著，回归方程可供应用；当检验的结果不显著时x与Y的线性关系不显著，回归方程不可应用。

第二十九页，共五十页，2022年，8月28日⑴F检验法：

当H0为真时，

且SSR与SSE相互独立；因此，当H0为真时，

当F≥F1-α(1,n-2)时应该放弃原假设H0。第三十页，共五十页，2022年，8月28日(2)t检验法：

当H0为真时，

当|t|≥t1-0.5α(n-2)时应该放弃原假设H0。第三十一页，共五十页，2022年，8月28日(3)r检验法：根据x与Y的观测值的相关系数

可以推出当H0为真时，第三十二页，共五十页，2022年，8月28日当F≥F1-α(1,n-2)或|r|≥rα(n-2)时应该放弃原假设H0，式中的

可由r检验用表中查出。

因此，r常常用来表示x与Y的线性关系在x与Y的全部关系中所占的百分比，又称为x与Y的观测值的决定系数。第三十三页，共五十页，2022年，8月28日4.利用回归方程进行点预测和区间预测

若线性回归作显著性检验的结果是放弃H0，也就是放弃回归系数β＝0的假设，便可以利用回归方程进行点预测和区间预测，这是人们关注线性回归的主要原因之一。⑴当x＝x0时，

Y0的观测值y0的点预测是无偏的。

第三十四页，共五十页，2022年，8月28日⑵当x＝x0时，用适合不等式P{Y0∈(G,H)}≥1-α的统计量G和H所确定的随机区间(G,H)预测Y0的取值范围称为区间预测，而(G,H)称为Y0的1-α预测区间。

若Y0与样本中的各Yi相互独立，则根据Z＝Y0-(a+bx0)服从正态分布，E(Z)＝0，

Z与SSE相互独立，第三十五页，共五十页，2022年，8月28日可以导出

因此，Y0的1-α预测区间为

a+bx0±Δ(x0)，第三十六页，共五十页，2022年，8月28日例1.1《吸附方程》某种物质在不同温度下可以吸附另一种物质，如果温度x(单位：℃)与吸附重量Y(单位：mg)的观测值如下表所示：

温度x1.51.82.43.03.53.94.44.85.0

重量y4.85.77.08.310.912.413.113.615.3

试求线性回归方程并用三种方法作显著性检验，若x0＝2，求Y0的0.95预测区间。

解：根据上述观测值得到n＝9，第三十七页，共五十页，2022年，8月28日第三十八页，共五十页，2022年，8月28日所求的线性回归方程为

第三十九页，共五十页，2022年，8月28日显著性检验方法⑴F检验法：SST＝lyy＝114.516，SSR＝blxy＝112.485，SSE＝SST-blxy＝2.031，n-2＝7，F0.99(1,7)＝12.2，

所以回归方程极显著；第四十页，共五十页，2022年，8月28日

⑵t检验法：

所以回归方程极显著；

第四十一页，共五十页，2022年，8月28日(3)r检验法：

所以回归方程极显著.

第四十二页，共五十页，2022年，8月28日Y0的0.95预测区间为(4.09,8.15)。

这说明当温度为2时，应该预测吸附另一种物质的重量在4.09至8.15之间，并且预测100次将有95次是正确的。第四十三页，共五十页，2022年，8月28日

例1.2《植物保护》一些夏季害虫的盛发期与春季温度有关，现有1956-1964年间3月下旬至4月中旬旬平均温度的累计数x和一代三化螟蛾盛发期Y(以5月10日为0)的观测值如下：

温度x

35.5

34.131.7

40.336.840.2

31.739.244.2盛发期y12169273

13

9

-1试求线性回归方程并用三种方法作显著性检验，若x0＝40，求Y0的0.95预测区间。第四十四页，共五十页，2022年，8月28日解：根据上述观测值得到n＝9，

第四十五页，共五十页，2022年，8月28日所求的线性回归方程为

第四十六页，共五十页，2022年，8月28日显著性检验方法⑴F检验法：SST＝lyy＝249.5556，SSR＝blxy＝174.8886，SSE＝SST-blxy＝74.6670，n-2＝7，F0.99(1,7)＝12.2，

所以回归方程