导数题中“任意、存在”型的归纳辨析

导数题中“任意、存在”型的归纳辨析南昌外国语学校梁懿涛导数题是高考题中的常客，而且大都以压轴题的面目出现，所以拿下导数题是迈入高分段的标志。导数题虽年年有，但却悄然之中发生着些改变。这其中，尤以关于“任意”、“存在”的内容最为明显。“任意”、“存在”可以说是导数题最为明显的特色，从早期单一型，发展到现今的混合型。下面对此作一归纳。单一函数单一“任意”型例1.已知函数f(x)=X-ln(x+a)的最小值为0,其中a>0。求a的值；若对任意的XE[0,+8)，有f(x)<kx2成立,求实数k的最小值。解析：(1)fXx)=x+a1，..•f(x)在(-a,1-a)单调递减，在(1-a,+8)单调递增，所f(x)TOC\o"1-5"\h\zx+amin=f(1-a)=0与a=1。(2)设g(x)=kx2-x+ln(x+a)，则问题等价于g(x)>0对xe[0,+8)恒成立，即g(x)>0。因为当k<0时，x—+8时，f(x)T—8，所以k>0。由g'(x)=~山，若一一——>0，x+14k-2k-1、—_’、’、一一2k-1„则当xe(0,―)时，g(x)<0，g(x)单调递减，g(x)<g(0)=0，矛盾。从而―<0，解得4k4k11k>-。即实数k的最小值是go点评：“任意”的意思是不管x取给定集合中的哪一个值，得到的函数值都要满足给定的不等式，它有两种形式：“对任意的xeA，a>(>)f(x)恒成立”等价于“当xeA时，a>(>)f3八获”；“对任意的xeA，a<(<)f(x)恒成立”等价于“当xeA时，a<(<)f(x).”。单一函数单一“存在”型mn例2.已知函数f(x)=alnx+x2(aeR)，若存在xe[1,e]，使得f(x)<(a+2)x成立，求实数a的取值范围。解析：f(x)<(a+2)xna(x-Inx)>x2一2x。，.，xe[1,e]，」.Inx<1<x且等号不能同时取，所以x2—2xx2—2xInx<x，即x-Inx>0，因而a>xe[1e,，令g(x)=xe[1,e]，又x一Inxx一Inxg'(x)=(x_D(x、2~2lnx)，当xe[1,e]时，x—1>0,lnx<1，x+2一2lnx>0，从而g'(x)>0(仅当(x-lnx)2x=1时取等号)，所以g(x)在[1,e]上为增函数，故g(x)的最小值为g⑴=-1，所以a的取值范围是[-1,+8).点评：“存在”的意思是x取遍给定集合中的每一个值，都至少有一个函数值满足给定的不等式，它有两种形式：“存在xeA，使得a>(>)f(x)成立”等价于“当xeA时，a>(>)f⑴皿近”；“存在xeA，使得a<(<)f(x)成立”等价于“当xeA时，a<(<)f3)皿、”。皿单一函数双“任意”型~、1-a1/z例3.设函数f(x)=x2+ax-lnx(aeR)。2当a>1时，讨论函数f(x)的单调性；若对任意ae(2,3)及任意x「x2e[1,2]，恒有ma+ln2>|f(气)-f(x)\成立，求实数m的取值范围。解析：(1)f(x)=(1-a)x+a-1=(1-a)x2+ax-1=[(1-a)x+l](x-1)=(1-a)(x-己)(x-1)，TOC\o"1-5"\h\zxxxx1一一…、(x-1)2-一一1一当——-=1，即a=2时，f(x)=-<0,f(x)在(0,+8)上是减函数；当——-<1，即a>2时，a-1xa-1

…、cc1一一、c1一1一令f(x)<0,得0<x<——-或x>1；令f'(x)>0,得一-<x<1。当——->1,即1vav2时，令a-1a-1a-1”，、八八一1”，、八-1f'(x)v0,得0vxv1或x>——-;令f'(x)>0,得1vxv—a-1a-11综上，当a=2时，f(x)在定义域上是减函数；当a>2时，f(x)在(0,)和(1,+8)单调递减，a-1,11、八1、在(一,1)上单调递增；当1vav2时，f(x)在(0,1)和(一-,+8)单调递减，在(1,一)上单调递a-1a-1a-1(2)由(1)知，当ae(2,3)时，f(x)在［1,2］上单调递减，当x=1时，f(x)有最大值，当x=2时，a31maa31ma+In2>—一一+ln2，m>—22，23

2af(x)有最小值，「.If(气)-f(x『<f(1)-f(2)=---+ln2，/.JAATOC\o"1-5"\h\z一一113.„由2vav3得-—<—-一v0，所以m>0.。422a点评:“任意x,xe[1,2]，恒有ma+ln2〉|f(x)-f(x)|”等价于“ma+ln2大于|f(x)-f(x)”121212max，而If(气)-f(x2)|=f(x)max-f(x)min。例4.已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1。讨论函数f(x)的单调性；设av-1.如果对任意x,xe(0,+8)，|f(x)—f(x)l>41x—xI，求a的取值范围。121212a+12ax2+a+1解析：(1)f3)的定义域为(0，+8).f(x)=+2ax=，当a>0时，f(x)xx>0，故f(x)在(0，+8)单调增加；当a<-1时，f\x)<0，故f(x)在(0，+8)单调减少；当-1TOC\o"1-5"\h\z.•…、|a+1一一，八Ia+1、.z1a+1、<a<0时，令f(x)=0，解得x=，-。则当xe(0.—)时，f(x)>0；xe(:-,+8)2a\2a\2aa+1a+1、、，时，f(x)<0。故f(x)在(0：-)单调增加，在(:-,+8)单调减少。2a2a|f(x1)—f(xj|>4(2)不妨假设x>x，而a<-1，由(I)知在(0，+8)单调减少，从而Vx,xe(0,+8)，1212x—x|等价于Vx,xe(0,+8)，f(x)+4x>f(x)+4x。(*)1r122211令g(x)=f(x)+4x，则g(x)|f(x1)—f(xj|>4令g(x)=f(x)+4x，则g(x)=+2ax+4(*)等价于g(x)在(0,+8)单调递减，即x+2ax+4<0。从而a<=:=一2故a的取值范围为(-8,-2］。x2x2+12x2+12x2+1点评：本题容易得出(If(x)—f(x)l)>(41x—xI)的错误。因为等式两边都有变量x,x，TOC\o"1-5"\h\z12max12min12一边变化会引起另一边变化，这种情况要将等式两边移至一边，通过分离变量x「x2，来构造新的函数以达到解题的目的。12单一函数双“存在”型例5.设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(xeR)的一个极值点。求a与b的关系式(用a表示b)，并求f(x)的单调区间；八’、’25、设a>0，g(x)=(a2+—)ex。若存在x『x2e［0,4］使得|/(\)-g(x2)v1成立，求a的取值范围。解析：(1)f'(x)=—[x2+(a—2)x+b—a]e3-x，则f'(3)=0，解得b=一3-2a。f'(x)=—[x2+(a—2)x—3—3a]e3-x=—(x—3)(x+a+1)e3-x，令f'(x)=0，得x=3,x=—a—1，由于x=3是极值点，所以一a—1二3，得a二-4。所以当av-4时，一a—1>3，f(x)在(-8,3)上单调递减，在(3,-1-a)上单调递增减，在(-1-a,+8)上单调递增减；当a>—4时，—a—1v3，f(x)在

(-8,—1—a)上单调递减，在(—1—a,3)上单调递增，在(3,+8)上单调递减。(2)由(1)可知，当时a>0，f(x)在区间(0,3)上的单调递增，在区间(3,4)上单调递减，那么f(x)在区间［0,4］上的值域是［min{f(0),f(4)},f⑶］，而f(0)——(2a+3)白<0，f(4)—(2a+13)e>0，25.一-f⑶=a+6，那么f(x)在［0,4］上的值域为［―(2a+3)。3,a+6］。又g(x)=(a2+4)ex在［0,4］上TOC\o"1-5"\h\z2525251是增函数，所以它在［0,4］上的值域是［a2+丁,(a2+丁)e4］，由于(a2+丁)—(a+6)=(a—二)2>0，4442，一25、，.、一一3〜3、所以只须且只须(a2+艾)—(a+6)<1且a>0，解得0<a<5。故a的取值范围是(0或。点评：“存在x,xG［0,4］使得|f(x)—g(x)|<1”等价于"(|f(x)—g(x)|)<1”，而12112'112min(|f(%)—g(x2)|)min要通过f(x)与g(x)的值域来得到。双函数““任意”+“存在”型：2例5.已知函数f(x)=2x—--51nx，g(x)—x2—mx+4，若存在气g(0,1)，对任意x2g［1,2］，总有f(x)>g(x)成立，求实数m的取值范围。12解析：题意等价于f(x)在(0,1)上的最大值大于或等于g(x)在［1,2］上的最大值。.2x2—5x+2一.11一1f(x)—，由f(x)=0得，x=-或x=2，当xG(0,^)时，f(x)>。，当xGG,1)时1f(x)<0，所以在(0，1)上，f(x)=f(-)=—3+5ln2。又g(x)在［1,2］上的最大值为max{g(1),g(2)}，max2所以有-g(1)[—3+5ln2>5所以有-g(1)[—3+5ln2>5—mn〈n<>g⑵1—3+5ln2>8―2m1,「lc、nm>8—5ln2，所以实数m的取m>—(11—5ln2)值范围是m>8—5ln2。点评：Bxg值范围是m>8—5ln2。点评：BxgA,VxgB,使得f(x)>g(x)成立of(x)>g(x)1212maxmax使得f(气)>g(x2)成立of(x'in>g(x)min。1mn15"in例6.设函数f(x)=—3x3—3x2+3x―4.(1)求f(x)的单调区间.(2)设am1,函数g(x)—x3—3a2x—2a.若对于任意x1g[0,1],f(气)=g(x0)成立，求a的取值范围.2525解析：(1)f'(x)——x2—3x+3，令f'(x)m0,即x2+3x—3w0,:.f(x)的单增区间为[一3，1]；单调减区间为(—0-3]和[1,+8)。f(x)单调递增，.••当xG[0,1]时，。同样，VxgA,BxgB,总存在x0G［0,1］,使得…51解得：—3wxw1，(2)由(1)可知当xG[0,1]时f(x)G[—4,—3]又g'(x)=3x2—3a2..•当xg[0,1]时，g(x)g[g(1),g(0)]，x0G[0,1]，使得f(气)=g(x0)成立o[—3a2—2a+1w—4即<ccw[—3w—2a点评：“对任意气GA，存在xGB，使得f(x)=g(x)成立”等价于“f(x)的值域包含于g(x)的f(X)G[f(0),f(1)]即且am1，•当xg[0,1]时，g'(x)w0，g(x)单调递减，即g(x)g[—3a2—2a+1,—2a]，又对于任意x1G[0,1]，总存在[—4,—3]c[—3a2—2a+1,—2a]，值域”。，解得：1双函数“任意”+“任意”型例7.设f3)=-+XlnX,g(x)=x3-x2-3.X如果存在X1,X2G［0,2］，使得g(x1)-g(x2)>M成立，求满足上述条件的最大整数M；如果对任意的S,tG［1,2］,都有f(s)>g(t)成立，求实数-的取值范围。TOC\o"1-5"\h\z解析：(1)存在X,XG［0,2］，使得g(X)-g(x)>M成立等价于g(x)-g(x)>M。1212maxmin，、一2、一2一，、由g'(x)=3x2-2x=3x(x-：)，可得g(x)在［0,T单调递减，在y,2］上单调递增，所以g(x)=333max一285…112max{g(0),g(2)}=1，g(x.=g(3)=-药，所以M〈-亍，从而满足条件的最大整数M=4。125_1一一1一一(2)由g(刃=-—，得g(x)在［—,2］上的最大值为1.则对任意的s,tG,2］，都有f(s)>g(t)成2822立等价于f(x)>1对xG［g,2］恒成立，也等价于a>x—x2lnx对xGM,2］恒成立。记h(x)=x-x2lnx，h'(x)=1-2xlnx-x，h'(1)=0。记m(x)=1-2xlnx-x，m'(x)=-3-2lnx，由于xg［上，2］，m'(x)=-3-2lnx<0,所以m(x)=h'(x)=1-2xlnx-x在2［1,2］上递减，当xG［1,1)时，h\X)>0，XG(1,2］时，h\X)<0，即函数h(x)=x-x2lnx在区间［1,1)上递增，在区间(1,2］上递减，所以h(x)=h(1)=1，所以a>1。max点评：VxgA,VxgB，使得f(x)>g(x)成立of(x)>g(x)1212minmax双函数“存在”+“存在”型例8.已知函数f(x)=lnx-4+4-—1,g(x)=x2-2bx+4。若存在x1g(0,2)，x2g［1,2］，使f(x)<g(x)，求实数b取值范围。12113(x—1)(x—3)解析：f(x)=—-；-—=-_9—<，二f(X)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，x44x24x2••1/、1,、/,、，<f(x)=f(1)=—。依题意有f(X)<g(x)，所以g(x)>—=。又g(x)=(x-b)2-b2+4，min2minmaxmax2从而(1b>-从而(1b>-21或g⑴=5-2b>--V2g(2)=8-4b>-1V21111解得b<。即实数b取值范围是［丁,+8)。44点评：BxGA,BxGB，使得f(x)<g(x)成立of(x)<g(x)，同样BxgA,BxgB，TOC\o"1-5"\h\z1212minmax12使得f(X1)>g(X2)成立of(X七密>g(X.。…二、mn/、191例9.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x(agR)，g(x)=3x-飞。是否存在实数a，存63在x1g［-1,1］，x2g［0,2］，使得f\x1)+2ax1=g(x2)成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.21解析：在［。,2］上g(x)=――x-—是增函数，故对于xG［。,2］，g(X)G1<-3,6J'设h(x)=f<x)+2ax=3x2+2x-a(a+2)，当xg［-1,1］时，h(x)g［-a2-2a--,5-a2-2a］。363

3,6一i--,-1=0，则一a>5