多重损失模型

多重损失模型第一页，共三十四页，2022年，8月28日本章结构多重损失模型简介多重损失残存组确定多重损失表的构造第二页，共三十四页，2022年，8月28日本章中英文单词对照多重损失模型随机残存组确定性残存组绝对损失率MultipledecrementmodelsRandomsurvivorshipgroupDeterministicsurvivorshipgroupAbsoluterateofdecrement第三页，共三十四页，2022年，8月28日第一节多重损失模型简介第四页，共三十四页，2022年，8月28日使用背景如果被保险人投保寿险且在缴费期间死亡，那就意味着他将获得保险赔付而且不再缴纳保险费了。就此人而言，保险人遭受到了损失。在前面七章中我们都是讨论在以死亡为唯一损失变量时，各种保险要素的确定。在实际中，除了死亡这个损失变量，我们可能还会遇到其它的提前终止缴费的损失变量，比如，寿险中，被保险人退保；劳动力计划中，雇员辞职、残疾或者退休等，都会对单一考虑死亡因素时的缴纳——赔付之间的平衡构成影响。多重损失模型就是在这种背景下产生的。

第五页，共三十四页，2022年，8月28日一、多损失模型的构造两变量模型

多种损失模型的实质就是一个两变量模型。变量一是状况终止的时间，在寿险场合它可以表示为剩余寿命；变量二是状况终止的原因，这是一个离散随机变量，比如在寿险场合，我们可以令表示死亡，，表示退保。

第六页，共三十四页，2022年，8月28日相关函数联合密度函数边际分布函数第七页，共三十四页，2022年，8月28日事件的概率第八页，共三十四页，2022年，8月28日多重损失函数（一）

由原因j引起且损失发生在时间t之前的概率

由原因j引起的损失发生的概率

第九页，共三十四页，2022年，8月28日多重损失函数（二）的密度函数的分布函数

第十页，共三十四页，2022年，8月28日多重损失函数（三）由各种原因引起且损失发生在时间t之前的概率

损失不会发生在时间t之前的概率

第十一页，共三十四页，2022年，8月28日多重损失函数（四）x+t时刻由原因j造成的损失效力

x+t时刻由所有原因造成的总损失效力

第十二页，共三十四页，2022年，8月28日多重损失函数（五）给定损失时间t，J的条件概率函数

第十三页，共三十四页，2022年，8月28日例8.1考虑2个损失原因的多重损失模型，其损失效力分别为：计算该模型的联合、边际、条件概率密度函数。计算第十四页，共三十四页，2022年，8月28日例8.1答案（一）第十五页，共三十四页，2022年，8月28日例8.1答案第十六页，共三十四页，2022年，8月28日例8.1答案第十七页，共三十四页，2022年，8月28日第二节残存组的确定第十八页，共三十四页，2022年，8月28日随机残存组定义考察一组a岁的个生命，每一个生命的终止（损失）时间与原因的分布由下列联合概率密度函数确定：第十九页，共三十四页，2022年，8月28日随机残存组函数：在年龄

x与x+n之间因原因j而离开的成员的期望个数

：在年龄

x与x+n之间因各种原因而总共离开的成员的期望个数

第二十页，共三十四页，2022年，8月28日随机残存组函数：原先个a岁成员在x岁时的残存数随机变量的期望第二十一页，共三十四页，2022年，8月28日确定性残存组的定义总的损失效力可以看作总的损失率，而不作为条件密度函数。则一组个a岁成员随着年龄的增加按决定性损失效力演变，则原先个岁成员在岁时的残存数为

第二十二页，共三十四页，2022年，8月28日确定性残存组函数：在年龄

x与x+n之间因各种原因而离开的成员数

：现在x岁，将来因为原因j而终结的个体数第二十三页，共三十四页，2022年，8月28日确定性残存组函数：因原因j而引起的损失效力：各种原因引起的总损失效力第二十四页，共三十四页，2022年，8月28日第三节损失表的构造第二十五页，共三十四页，2022年，8月28日绝对损失率单重损失函数定义称为绝对损失率，是指原因j在的决定过程中不与其它损失原因竞争。它也称为净损失率（netprobabilitiesofdecrement）或独立损失率(independentrateofdecrement)。第二十六页，共三十四页，2022年，8月28日基本关系第二十七页，共三十四页，2022年，8月28日常数损失效力假定假定条件等价推出第二十八页，共三十四页，2022年，8月28日关系式第二十九页，共三十四页，2022年，8月28日均匀分布假定假定条件等价推出第三十页，共三十四页，2022年，8月28日关系式第三十一页，共三十四页，2022年，8月28日由单重损失函数推导多重损失函数第三十二页，共三十四页，2022年，8月28日多重损失表构造示例年龄单重损失表多重损失表…………650.02……0.040.019……0.039660.025……0.060.024……0.059第三十三页，共三十四页，20