理论力学教程

理论力学第一部分静力学理论力学第一部分静力学引论

刚体静力学(staticsofrigidbodies)研究刚体(rigidbody)在力系的作用下相对于惯性系静止的力学规律。

(1)力学模型—刚体

在力的作用下不变形的物体称为刚体。在实际生活中，完全不变形的物体并不存在，刚体不过是实际物体和构件的抽象和简化。吊车梁的变形吊车梁在起吊重物时所产生的最大挠度δ一般不超过梁的跨度的1/500δ简化的条件除了要求物体的变形不大之外，更重要的是这种变形对我们所研究的问题的结果产生的影响要足够小。但在研究吊车梁的强度问题时，就不能这样简化了。这种小变形对于两端支承力的影响是微不足道的，因此在计算两端的支承力时，吊车梁可简化为刚体。

力系

作用于同一刚体的一组力称为力系(systemofforces)。—使刚体的原有运动状态不发生改变的力系。F3F2F1F4MqABαFAxFAyFB平衡力系(forcesystemofequilibrium)(3)基本问题：

●

物体的受力分析；

●

力系的等效替换及简化；

●

力系的平衡条件及其应用。

刚体在平衡力系的作用下并不一定处于静止状态，它也可能处于某种惯性运动状态。平衡条件(equilibriumconditions)—平衡力系所要满足的数学条件。1.工程力学教程(Ⅰ)

范钦珊主编高等教育出版社（‘九五’国家级重点教材）2.

理论力学(第三版)浙江大学理论力学教研室,高等教育出版社，1999（面向21世纪课程教材）

参考书目1

静力学基础1.2.3

力系等效原理应用于变形体

1.1力和力矩

1.1.1力的概念1.1.2力对点的矩

1.1.3力对轴的矩1.2力系等效原理1.2.1

力系的主矢和主矩1.2.2

力系等效原理1.3力偶与力偶矩1.4物体的受力分析

1.4.1约束与约束反力1.4.2物体的受力分析

1

静力学基础1.1力和力矩

1.1.1力的概念

力是物体间的相互作用，作用结果使物体的运动状态发生改变，或使物体产生变形。对刚体而言，力的作用只改变其运动状态。

●力是矢量

力的三要素(threeelementsofaforce)

两个共点力的合成又满足平行四边形法则，因而力是定位矢量(fixedvector)

。FCCABFAF1○量度力的大大小的单位位,在国际单位位制中用牛顿（N）千牛顿（kN）○力的作用线线○力的作用点点○力矢量的表表示:F1、FA…○力矢量的模模:F1、FA…、●作用力和反反作用力力的另一重重要性质是是由牛顿第三定定律(Newton’sthirdlaw)所描述的作作用力和反反作用力之之间的关系系，即:两个物体之之间的作用用力与反作作用力总是是同时存在在，且大小小相等、方方向相反、、沿同一直直线，并分分别作用在在两个不同同的物体上上。F1F2●分布布力(distributedforce)与集中力(concentratedforce)○分布力○集中力—集中作用于于物体上一一点的力.表面力(surfaceforces):连续作用于于物体的某某一面积上上的力.体积力(bodyforces):连续作用于于物体的某某一体积内内的力.分布力力F1F2集中力力ABCP实际上要经经一个几何何点来传递递作用力是是不可能的的，集中力力只是作用用于一个小小区域上的的分布力，，一切真实实力都是分分布力。集中力只是是分布力在在一定条件件下的理想想化模型。。能否进行行这种简化化主要取决决于我们所所研究的问问题的性质质。●力在坐坐标轴轴上的的投影影力在坐坐标轴轴上的的投影影是代代数量量，应应特别别注意意它的的符号号。FFxiFyjFzkαβγ二次投投影法法(secondprojection)γφFFxyxzy已知力力F在各坐坐标轴轴上的的投影影，则则可求求得力力F的大小小和它它相对对于各各轴的的方向向余弦弦，即即1.1.2力对点点的矩矩力矩(momentofaforce)是用来量度度力使使物体体产生生转动动效应应的概概念。。●力力对对点的的矩的的概念念作用于于刚体体的力力F对空间间任意意一点点O的力矩定义为为式中O点称为为矩心(centerofmoment)，r为矩心心O引向力力F的作用用点A的矢径径，即即力对点点的矩矩(momentofaforceaboutapoint)定义为为矩心到到该力力作用用点的的矢径径与力力矢的的矢量量积。。MO(F)通常被被看作为为一个定位矢矢量，习惯惯上总总是将将它的的起点点画在在矩心心O处，但但这并并不意意味着着O就是MO(F)的作用用点。。MO(F)=r×FFrAOhPlanedeterminedbyOandF力矩矢矢的三三要素素力矩矢矢的三三要素素为大大小、、方向向和矩矩心。。MO(F)的大小小即它它的模模式中θ为r和F正方向向间的的夹角角，h为矩心心到力力作用用线的的垂直直距离离，常常称为为力臂(momentarm)。MO(F)的方向向垂直直于r和F所确定定的平平面，，指向向由右右手定定则确确定。。平面问问题平面问问题中中，由由于矩矩心与与力矢矢均在在同一一个特特定的的平面面内，，力矩矩矢总总是垂垂直于于该平平面，，即力力矩的的方向向不变变，指指向可可用正正、负负号区区别，，故力力矩由由矢量量变成成了代数量量，且有有●OFhr正负号号通常常规定定为:+逆时针为正–顺时针为负●OFhMO(F)=±Fh平面问问题—矢量表表达式式MO(Fxy)=(rxy×Fxy)·kzrxyFxyxyOkh●力力对点点的矩矩在坐坐标轴轴上的的投影影力矩的的单位位在国国际单单位制制(SI)中为牛牛顿·米(N·m)或千牛牛顿·米(kN·m)。FrxyzMO(F)Ojik1.1.3力对轴轴的矩矩力对轴轴的矩矩(momentofaforceaboutanaxis)用来量量度力力对其其所作作用的的刚体体绕某某固定定轴转转动的的效应应。zF矩轴(axisofmoment)OzzFFzFxy●力力对对轴的的矩的的概念念空间力力对轴轴之矩矩归结结为平平面上上的力力对点点之矩矩。hO作用于于刚体体的力力F对z轴的矩矩定义义为力对轴轴的矩矩是代代数量量。正负号号的规规定是是按右右手定定则与与z轴的指指向一一致时时为正正，反反之为为负。。Mz(F)

>0

Mz(F)

<0

zz当力的的作用用线与与z轴平行行(Fxy=0)或相交交(h=0)时，或或概括括起来来讲，，当力与与轴共共面时时，力对轴轴的矩矩等于于零。力对轴轴之矩矩zOhFFzFxyrxyk矢量表表达式式●力力对对点之之矩与与力对对轴之之矩的的关系系力F对O点之矩矩MO(F)在z轴上的的投影影为：：首先将将力的的作用用点的的矢径径r和力F分解如如下:MO(F)在z轴上的的投影影MOz(F)FrxyzMO(F)OkMOz(F)FrrxyFxyxyzMO(F)O即有则有MO(F)在z轴上的的投影影将上式式右端端展开开，并并注意意到而另一一方面面力F对z轴之矩矩可表表示为为我们得得到一一个说说明力力对轴轴之矩矩与力力对点点之矩矩的关关系的的重要要结论论：力对任任意轴轴之矩矩等于于该力力对轴轴上任任一点点之力力矩矢矢在该该轴上上的投投影。。因此于是我们有力对坐坐标轴之矩的解析析表达式：式中x、y、z是力的作用点的坐坐标，Fx、Fy、Fz分别是F在各坐标轴上的投投影。OAxyzF例1.1

长方体的上、下底为正方形，边长为，高为a，求图中力F

对顶点O之矩。解：设沿各坐标轴的基基矢量为i、j、k，则F的作用点A的矢径为OAxyzFr力F在坐标轴上的投影影为故因此例1.2园柱的底半径为r，高为2r，求图中作用于B点的力F对x、y、z轴以及OE轴之矩。OAxyzBEeCDF解：力F的作用点B的坐标为而OAxyzBEeCDF于是F对各坐标轴之矩分分别为根据由此即有设沿OE轴的单位矢为e，则有因此力F对OE轴之矩为OAxyzBEeCDF要点回顾■力的概念●力学模型—刚体●刚体静力学研究的的基本问题●力是约束矢量●力系的概念●力在坐标轴上的投投影■引论■力对点的矩矩●力对点的矩的概概念●力对点的矩在坐坐标轴上的投影■力对轴的矩矩●力对轴的矩的概概念●力对点之矩与力力对轴之矩的关系系静力学基础理论力学1.2力系等效原理1.3力偶与力偶矩1.2力系等效原理1.2.1力系的主矢和主矩矩●力系的主矢称为该力系的主矢量(principalvector)。FnF2F1Fi作用于某刚体上的的若干个力F1,F2,…,Fn构成空间一般力系(threedimensionalforcesystem)，通常表示为（F1,F2,…,Fn）。这n个力的矢量和力系的主矢在坐标标轴上的投影等于于力系中各力在相相应轴上投影的代代数和注意力系的主矢仅仅涉及力系中各力力的大小和方向，，而与其作用点无无关，故力系的主矢是一个个自由矢量(freevector)，而不是一个力。●力系的主矩空间一般力系（F1,F2,…,Fn）中各力对某点O的矩的矢量和称为该力系对于矩心O的主矩(principalmoment)，式中ri是由矩心O引向力Fi的作用点的矢径。。主矩MO在以矩心O为原点的任意直角角坐标系Oxyz上的投影表达式：即力系的主矩在通过过矩心的任意轴上上的投影等于该力力系中各力对同一一轴的矩的代数和和。力系的主矩MO是位于矩心O处的定位矢量，与力系的主矢不同同，主矩与矩心的位置置有关。因此，说到“力系的主矩”时，一定要指明是是对哪一点的主矩矩，否则就没有意意义。F3F2F1F4ABMA(Fi)MB(Fi)1.2.2力系等效原理在刚体静力学中，，如果两个不同的的力系对同一刚体体产生同样的作用用，则称此二力系系互为等效力系(equivalentforcesystems)。AqBL／2L／2ABL／2L／2P=qLFF显然，等效力系的相互替替换并不影响它们们对刚体的作用。。与一个力系等效的的力称为该力系的的合力(resultantforce)，但并非任何一个力系系都有合力。因为完全不受力作作用的刚体其运动动状态是不会发生生改变的，故平衡力系即是与零力系(nullforce-system)等效的力系。●力系等效原理两个力系等效的充充分必要条件是主主矢量相等，以及及对同一点的主矩矩相等。力系等效原理(principleofequivalentforcesystems)实际上只是动量定定理和动量矩定理理的一个推论。但但在讲述动力学的的这些定理之前，，在刚体静力学中中我们也可以把它它看成是一个基于于经验事实的基本假设。力系等效原理是刚体静力学理论论体系的基础，无无论在理论上还是是在实际应用中都都具有重要意义。。力系等效原理表明明，力系对刚体的的作用完全取决于于它的主矢和主矩矩，因此主矢和主矩是力系的最重要的的基本特征量。●力系等效原理的推推论1.平衡定理力系平衡的充分必必要条件是该力系系的主矢及对于某某一点的主矩同时时等于零,即2．二力平衡定理刚体在两个力的作作用下处于平衡的的充分必要条件是是此二力大小相等等，方向相反且作作用线重合。2．二力平衡定理刚体在两个力的作作用下处于平衡的的充分必要条件是是此二力大小相等等，方向相反且作作用线重合。F1F2注意二力平衡定理理与牛顿第三定律律之间的区别。F1F24．力的可传性定理作用于刚体上某点点的力可沿其作用用线移至刚体内任任一点而不改变该该力对刚体的作用用。于是,作用于刚体的力由定位矢量变变成了滑动矢量(slidingvector)。3．加减平衡力系定理理在作用于刚体的任任一力系上加上或或减去任意的平衡衡力系，并不改变变原力系对刚体的的作用。F3F4••••FABCD思考题根据力的可传性定定理,力F可沿其作用线移至至(1)点A(2)点A、B(3)点A、B、C(4)点A、B、C、D5．合力矩定理若力系有合力，则则合力对任一点（（或轴）之矩等于力系中中各力对同一点（（或轴）之矩的矢量和（（或代数和）。MA(FR)=MA(Fi)Mz(FR)=Mz(Fi)AFRzFnF2F1FiAz●合力矩定理的应用用FABCOαα已知:α,AO=h,OC=r求:水平力F对C点之矩。MC(F)=Frsinα–FhcosαFF'1.3力偶与力偶矩F＝－F′FF′F＝－F′■力偶的定义两个大小相等、作作用线不重合的反反向平行力组成的的力系称为力偶(couple)。力偶中两个力的作作用线所确定的平平面称为力偶的作用面(actingplaneofacouple)，二力作用线之间的的垂直距离称为力偶臂(couplearm)。FF′dPlaneofthecouple■力偶的主矢和主矩矩◆力偶的主主矢因为力偶偶（F，F'）中F＝－F',故FR=F+F'=0,即力偶的主主矢恒等等于零。◆力偶对任任意点O的主矩力偶对任任意点之之主矩恒恒等于矢矢量积r×F,而与矩心心的位置置无关。MOF'FrABrOBrOAPlaneofthecouple■力偶矩矢矢量力偶矩矢矢量(couple-vector)，用来量度度力偶对对刚体的的作用效效果，定定义为◆力偶矩矢矢的大小小为◆力偶矩矢矢的方向向垂直于于力偶的的作用面面，指向向按右手手定则与与力偶的的转向一一致。力偶矩矢矢量是自自由矢量量,只有大小小和方向向两个要要素。平面问题题由于力偶偶的作用用面总是是与力系系所在的的平面重重合，力偶矩由由矢量变变成代数数量正负号用用来区别别转向，，通常规规定:逆时针为为正顺时针为为负+–■力偶是最最简单的的力系之之一◆力偶中二二力作用用线不重重合，根根据二力力平衡定定理，它它们不可可能组成成一个平平衡力系系；◆因为力偶偶的主矢矢量FR=0，它也不可可能进一一步简化化为一个个力，否否则FR≠0，与力偶的的定义相相矛盾。。因此，与单个的的力类似似，力偶也是是最简单单的力系系之一。■力偶等效效变换的的性质1.力偶可在在其作用用面内任任意转动动和移动动；2.力偶的作作用面可可任意平平行移动动；3.只要保持持力偶矩矩大小不不变，可可任意同同时改改变力力偶中力力的大小小和力偶偶臂的长长短。作用于刚刚体的力力偶等效效替换的的条件是是其力偶偶矩矢量量保持不不变。例1长方体由由两个边边长为a的正方体体组成，，如图所示，试试求力偶偶(F，F')的力偶矩矩矢量M。xyzFrF'xyzFrF′解：故设由F'的作用点点至F的作用点点的矢径径为r,则有因此xyzFrF′例2正方体的的边长为为a，大小均为为P的6个力作用用于正方方体的棱棱边上，，如图所所示。试试求该力力系的主主矢及对对O点的主矩矩。xyzF1F5OF6F3F2F4解：注意到原原力系由由同向平平行力系系(F1～F4)和力偶(F5,F6)组成。力力系(F1～F4)的主矢为为：F1～F4的作用点点相对于于O点的矢径径分别为为:r1r2r3xyzF1F5OF6F3F2F4故力偶(F5,F6)的主矢为为零,力偶矩矢矢为:因此原力力系的主主矢及对对O点的主矩矩为:r1r2r3xyzF1F5OF6F3F2F4●力系的主主矢和主主矩●力系等效效原理●力系等效效原理的的推论●力偶及力偶矩矢矢●力偶的主主矢和主主矩●力偶是最最简单的的力系之之一●力偶等效效变换的的性质要点回顾顾理论力学学静力学基基础1.4物体的受受力分析析(一)■约束与约约束反力力的概念念1.4.1约束与约约束反力力1.4物体的受受力分析析自由体(freebody)非自由体(constrainedbody)限制物体体运动的的条件，，或者更更直观地地说，对对物体运运动施加加限制的的周围物物体称为为约束(constraint)。火车的位位移受到到了轨道道的限制制约束施于于被约束束物体的的力称为为约束力(constraintforce)。约束力是是一种接接触力。。约束力(constraintforce)主动力(appliedforce)[载荷(load)]静力学中中力的分分类:●约束的基基本类型型●刚体静力力学的典典型问题题■约约束的基基本类型型柔索工程中的的绳索、、链条、、皮带等等物体可可简化为为柔索(flexiblecable)。理想化的的柔索不不可伸长长，不计计自重，，且完全全不能抵抵抗弯曲曲。MFTF'T柔索的约约束力是是沿绳向向的拉力力。缆索索2.光滑接触触面ττnnFN光滑接触触面的约约束力沿沿接触处处的公法法线方向向，作用用于接触触点，且且为压力力。若两物体体的接触触面上摩摩擦力很很小而可可忽略不不计时，，就可简简化为光滑接触触面(smoothsurface)。滑槽与销销钉FRFN光滑接触触面约束束FCFBFAFGABC用圆柱销销钉将两两个零件件连接在在一起，并假设接接触面是是光滑的的，这样样构成的的约束称称为光滑圆柱柱铰链(smoothcylindricalpin)，简称铰链。被连接的的构件可可绕销钉钉轴作相相对转动动，但相相对移动动则被限限制。3．光滑圆柱柱铰链光滑圆柱柱铰链的的约束力力是一个个大小和和方向都都未知的的二维矢矢量FN。在受力分分析时，，为了方方便起见见，我们们常常用用两个大大小未知知的正交分力力Fx和Fy来表示它它。FNFyFx光滑圆柱柱铰链在在图中的的表示AFAyFAx销钉(铰链)FRyFRx铰铰恐龙骨骼的铰铰链连接当光滑圆柱铰铰链连接的两两个构件之一一与地面或机机架固接则构构成固定铰链支座座(fixedsupportofpinjoint)。4．固定铰链支座座AA固定铰链支座座在图中的表表示FAyFAx固定铰支支座AFAyFAx5.光滑球形铰链链固连于构件的的小球嵌入另另一构件上的的球窝内，若接触面的磨磨擦可以忽略略不计，即构构成光滑球形铰链链(smoothballandsocketjoint)，简称球铰。球窝小球光滑球形铰链链球窝小球FNFxFyFz与铰链相似，，球铰提供的的约束力是一一个过球心，，大小和方向向都未知的三三维空间矢量量FN，常用三个大小小未知的正交交分力Fx、Fy和Fz来表示它。球铰FzFyFx盆骨与股骨之之间的球铰连连接球股骨盆骨球窝球铰支座在图图中的表示AAAFAzFAyFAx6.可动铰链支座座在铰链支座与与支承面之间间装上辊轴，，就构成可动铰链支座座或辊轴铰链支座座(rollersupportofpinjoint)。•••可动铰链支座座的反力FN过铰链中心且且垂直于支承承面。FAAAFAFA辊轴FR(实际约束中FR方向也可以向下)7.链杆(二力杆)ABAB两端用光滑铰铰链与其它构构件连接且中中间不受力的的刚性轻杆（（自重可忽略略不计）称为为链杆。由于链杆为二二力杆，根据据二力平衡定定理，链杆的的约束力必然然沿其两端铰铰链中心的连连线。FA用铰链连接的的杆FR8．固定端物体的一部分分固嵌于另一一物体的约束束称为固定端约束(fixedendsupport)。固定端约束的的特点是既限限制物体的移移动又限制物物体的转动。。工程结构中的的固定端约束束槽钢悬臂梁焊缝在外载荷的作作用下,受固定端约束束的物体既不不能移动也不不能转动,因此平面固定端约约束的约束反反力,可用两个正交交分力和一个个力偶矩表示示。AMAAFAyFAx空间固定端约约束FAzFAxFAyMAzMAxMAy■约束的的基本类型●柔索●光滑接触面●光滑圆柱铰链固定铰链支座●光滑球形铰链链●可动铰链支座座●链杆(二力杆)●固定端■约束与与约束反力的的概念要点回顾理论力学静力学基础1.4物体的受力分分析(二)■分离体体和受力图被选取作为研研究对象，并并已解除约束束的物体称为为分离体(isolatedbody)。当研究对象包包括几个物体体时，解除约约束是指解除除周围物体对对它们的全部部约束，但不不包括这些物物体相互之间间的联系。1.4.2物体的受力分分析●选取适当的研研究对象●解除约束●画受力图画有分离体及及其所受的全全部主动力和和约束力的图图称为受力图(free-bodydiagram)。■内力和外力当选取由几个个物体所组成成的系统作为为研究对象时时，系统内部部的物体之间间的相互作用用力称为内力(internalforce)，系统之外的物物体对系统内内部的物体的的作用力称为为外力(externalforce)。显然，内力和和外力的区分分是相对的，，完全取决于于研究对象的的选择。在作受力图时时不必画出内内力。对研究对象进进行受力分析析看似简单，，但它却是研研究力学问题题的关键步骤骤之一。只有有准确地掌握握了基本概念念，才有可能能正确地进行行受力分析。。对此，初学学者一定要予予以足够的重重视。例1图示结构为一一提升重物的的悬臂梁，试试画出（1）AB梁和（2）整体的受力力图。解：●整体的受力图●AB梁的受力图BAFGFTqFAxFAyMAFBxFBy注意:●不要将线荷载载q简化为一个集集中力。●A为平面固定端端约束，B为光滑园柱铰铰链，应分别别按其约束的的特征画出约约束力。●正交分力FAx、FAy和FBx、FBy的指向，以及及力偶矩MA的转向可以任任意假定。今今后如果某个个计算值为负负，则表明它它的实际方向向与假定方向向相反。但应应注意，这种种假定在同一一问题中的几几个不同的受受力图中必须须是一致的。。画受力图的步步骤如下：(1)根据问题的要要求选取研究究对象，画出出分离体简图图。(2)画出分离体所所受的全部主主动力，一般般不要对已知知载荷进行静静力等效替换换。(3)在分离体上每每一解除约束束的地方，根根据约束的类类型逐一画出出约束力。例2三铰拱结构简简图如图所示示，不计拱的的自重。试分分别作作出（（1）右半拱、（（2）左半拱和（（3）整体的受力力图。ABCPBC解：（1）右半拱的受受力图。FCyFCxFByFBx?BCFCFBABCPFAxFAy（2）左半拱的受受力图。是FC的反作用力。ABCPFBFAxFAy（3）整体的受力力图1。铰链C处的内力不要要画出。三力平衡汇交交定理：刚体受不平平行三力作用用而平衡时，，此三力的作作用线必汇交交于一点.A三力平衡汇交交定理是刚体体受不平行三三力作用而平平衡的必要条条件,可用于确定未未知约束力的的方向。F1F3F2ABCPFBFA（4）整体的受力力图2︱︱三力平衡汇交交定理的应用。E注意:●要正确判断二二力杆和二力力构件。●作用力和和反作用力要要配对。●内力不要要画出。●有时也可可用三力平衡衡汇交定理来来确定未知约约束反力的方方向。FWABCD例3结构如图示，，试画出（1）AB杆和（2）整体的受力力图。解：（1）杆AB的受力图FWABCFWABCFAxFAyFBxFByFAyFBy???杆AB的受力图1FWABCDFAxFAyFB杆AB的受力图2FWABCDFBFAFWABCD（2）整体受力图图1FDFAxFAy整体受力图2FWABCDFDFAMABCDE例4结构如图示，，试画出（1）AB杆和（2）整体的受力力图。MABDMABDFAxFAyFDxFDyFDFA???解：（1）杆AB的受力图杆AB的受力图1MABDCEFAxFAyFD杆AB的受力图2MABDFDFA力偶只能与力力偶平衡（2）整体受力图图1MABCDEFAxFAyFE整体受力图2MABCDEFEFA例5组合梁如图所所示，试分别别作出梁AB、BC和整体的受力力图。ABCqDFP解：梁AB的受力图FAFDFBBCq梁BC的受力图qABDFPF'BFC????解：梁AB的受力图FAxFAyFDFBBCqFC梁BC的受力图qABDFPF'B??解：梁AB的受力图FAxFAyFDFBxFByBCqFC梁BC的受力图qABDFP整体的受力图图FAxFAyFDFCABCqDFP物体受力分析析课堂练习1试分别作出AC,DEBH,DE,以及BH的受力图。PABCDEH受力图APDEHCBPDECHEBABC????????受力图BABCPDEHCBPDECHEB物体受力分析析课堂练习2ABCDEQ试分别作出AB,CE(加滑轮),CE,以及整体的受受力图。受力图ABADDCEQDCE?????????ABCDEQ?受力图BDCEQBADDCEABCDEQ■物体的受力力分析●分离体和受力图●内力和外力●三力平衡汇交定理理■物体的受力力分析的步骤和注注意事项要点回顾理论力学力系的简化2力系的简化寻求一个已知力系系的更简单的等效效力系，称为力系的简化(reductionofforcesystems)。力系的简化是静力力学研究的基本问问题之一。本章的主要内容包包括:汇交力系与力偶系系的简化空间任意力系的简简化平行力系的简化平行力系中心和重重心2.1汇交力系与力偶系系的简化2.1.1汇交力系的简化各力作用线汇交于一点点的力系称为汇交力系(concurrentforcesystem)。●汇交力系的简化—几何法汇交力系（F1,F2,…,Fn）简化的结果为一通过汇交点的合力力,合力矢等于原力系系的主矢:几何法即是用多边形法则求这个合力矢。◆力的多边边形法则FR=∑FiFR=∑FiFnF1+F2F1F2●汇交力系的简化—解析法上述结果称为合力投影定理,即合力在任一轴上上的投影等于各分分力在同一轴上的的投影的代数和。。2.1.2力偶系的简化任意力偶系（M1,M2,…,Mn）的简化结果为一合力偶,其合力偶矩等于全部由力偶组成的的力系称为力偶系(systemofcouples)简化的方法也有类类似的几何法和解解析法。作用在刚体上的力力FA可以平行移动到刚刚体上任一指定点点O，但必须附加一力偶偶，其力偶矩等于于原力FA对指定点O之矩MO(FA)。2.2任意力系的简化2.2.1力线平移定理FAAOMFOFA=MO(FA)rOA=rOA×FAAOFArOAAOFOMFO=FAM=MO(FA)=rOA×FA◆力线平移定理的证证明注意一下上述定理理的逆过程，即可可发现当一个力和和一个力偶矩相互互垂直时,即F⊥M时,它们也可以合成为为一个力。2.2.2任意力系向一点简简化F1F2F3Fn●OFiMiFiF'iF'i=FiMi=MO(Fi)空间任意力系向一一点简化得到一个个汇交力系和一个个力偶系。任意力系向简化中心O简化汇交力系力偶系+合力:作用于简化中心O+合力偶:原力系对O的主矩AFAAMAFAyFAxAMA●应用—固定端约束的约束束反力任意力系向A点简化FA和MA平面固定端约束空间固定端约束FAzFAxFAyMAzMAxMAyAFAMA2.2.3平面任意力系的简简化结果平面任意力系（F1,F2,…,Fn）向一点简化后得到到由此可得平面任意意力系简化结果的的以下四种情况:由此可得平面任意意力系简化结果的的以下四种情况:(1)

简化为一合力，其合力矢FR

=F´R

，合力作用线通过简化中心O。这时原力系等价于一个汇交于简化中心O的汇交力系。

(2)

简化为一合力偶，其力偶矩M

=MO

，且与简化中心的选择无关，即原力系等价于一个力偶系。●OFRd●OMOF'R(3)

简化为一合力，其合力矢FR

=F'R，但合力作用线不通过简化中心O。

(4)

原力系为一平衡力系。

2.3平面平行力系的简简化各力的作用线相互互平行的平面力系系称为平面平行力系。平行力系是工程中中最常见的力系之之一。●平面平行力系的简化OyxFi向O点简化后得到:可进一步简化为一一个合力，其合力力矢FR=F'R=ΣFi合力FR的作用点C称为平行力系中心(centerofparallelforces)。下面来确定它的位位置。FR●C●平行力系中心OyxFiFR●C(xC,yC)●(xi,yi)由合力矩定理可得得同理可得主矢不等于零的平平行力系中各力绕绕其各自的作用点点同时转过一个相相同的角度时，平平行力系中心的位位置不变。这个结论与我们的的日常经验是吻合合的。平行力系中心C的坐标公式：公式适用于任何主主矢不等零的平行行力系，式中各力力的投影和作用点点的坐标均为代数数量，使用时应注注意正负号。●平行分布载荷平行分布载荷是指平行分布的表表面力或体积力，，通常是一个连续续分布的同向平行行力系，在工程中中极为常见。某些平行分布载荷荷可以简化为沿直直线分布的平行力力，称为线载荷。作用于悬臂梁的载载荷分布于狭长的的梁顶表面，且受力关于梁的纵纵向对称面对称，，故可简化为梁纵纵向对称面内的线线载荷。q线载荷的大小以某某处单位长度上所所受的力来表示，，称为线载荷在该该处的集度(intensity)。常用q表示，单位为N/m或kN/m。线载荷是平行力系系的特殊情况，可可用平行力系的简简化理论来求它的的合力。qlQl/2矩形均布载荷Q=qlqlQl/3三角形分布载荷Q=ql/2●重心与形心作用在地球表面附附近的物体各质元元上的重力可近似似看成一平行力系系,此平行力系中心就就称为物体的重心(centerofgravity)。求物体重心的坐标标可直接应用平行行力系中心的坐标标公式,即式中(xiyizi)是第i个质元的坐标,ΔPi是它的重量。重心坐标公式均质物体的重心位置只只取决于其体积和和形状,与物体的几何中心心重合,也称为形心(centroidofavolume)。形心坐标的计算公公式为式中V是整个物体的体积积。例1求如图所示的平面面图形的形心。2aa2aaxayⅠⅡⅢ解：(1)分割法将图形分割成三个部部分。各个部分的面积和和形心坐标分别为为:S1=3a2x1=3a/2y1=7a/2S2=2a2x2=a/2y2=2aS3=3a2x3=3a/2y3=a/22aa2aaxay(2)负面积法将图形补足成一规规则的矩形。ⅠⅡS1=12a2x1=3a/2y1=2a再挖去补充的部分分,其面积和形心坐标标分别为:S2=4a2x2=2ay2=2a两种方法求出的的结果相同。2aa2aaxayⅡ例2如图所示，求作作用于悬臂梁AB的线分布荷载对对A点的的矩矩。解：ABLq2q1Q1Q2要点回顾■汇交力系与力偶偶系的简化■力线平移定理■空间任意力系向向一点简化■平面任意力系的的简化结果■平行力系的简化化■平行力系中心和和重心理论力学力系的平衡(一)3力系的平衡3.3考虑摩擦时的平平衡问题3.2.2静定与超静定问题3.2.3物系平衡问题应用举例3.2物系平衡静定与超静定问题3.2.1物系平衡3.1力系的平衡方程3.1.1空间任意力系的平衡方程3.1.3力系平衡方程的应用3.1.2平面任意力系的平衡方程3.1力系的平衡方程程3.1.1空间任意力系的的平衡方程3力系的平衡空间任意力系平平衡的充分必要要条件Fx=0Fy=0Fz=0Mx(Fi)=0My(Fi)=0Mz(Fi)=0空间任意力系的平衡方程FR=Fi=0MO=MO(Fi)=03.1.2平面任意力系的的平衡方程平面力系(systemofcoplanarforces)是指各力的作用用线共面的力系系,可视为空间力系系的特殊情况,在静力学中占有有特别重要的地地位。平面任意力系平平衡方程的基本本形式设力系中各力位位于xy平面内,则有Fx=0Fy=0MO(Fi)=0上述方程也称为为平衡方程的基本形式,式中坐标系和矩矩心均可任意选选取。平面任意力系平平衡方程的等价价形式◆二力矩形形式Fx=0MA(Fi)=0MB(Fi)=0其中AB不垂直于x轴xABFxAB◆三力矩形形式其中A、B、C不共线MA(Fi)=0MB(Fi)=0MC(Fi)=0ABCFABC●平面特殊力系的的平衡方程◆汇交力系Fx=0Fy=0◆力偶系Mi=0◆平行力系系各力平行于Oy轴基本形式二力矩形式Fy=0MO(Fi)=0MA(Fi)=0MB(Fi)=0AB不平行于Oy轴3.1.3力系平衡方程的的应用平衡方程主要用用于解决以下三三方面的问题:求未知约束反力力;求平衡位置;确定主动力之间间的关系。选取研究对象,单独画出研究对对象的受力图;选取坐标系,列平衡方程;解方程(组);校核及讨论。其中重点是问题1。应用平衡方程程解题的步骤大大致如下:AFPBC60°平衡方程应用举举例例1图示结构，若AB=l、FP已知，确定以下下四种情形下的的支座反力.(1)(2)AM=FPlBC60°(3)AFPBC60°°(4)平衡方程应用举举例例1图示结构，若AB=l、FP已知，确定以下下四种情形下的的支座反力.ABC60°°M=FPlFPAFPBC60°(1)解:取整体为研究对对象,受力分析如图示示。FAFCFx=0:FA+FCcos60º=0Fy=0:FP+FCsin60º=0FA=0.577FPFC=–1.155FP讨论:选择不同的研究究对象整体AFPBC60°FAFCAFPBC60°●是否可选取AB作为研究对象？？FAFBCCF'BCFCAFPB60°AFPBC60°ABFAFCCFPB60°FBAF'BA●是否可选取BC作为研究对象？？AFPBC60°AFPBC60°AFPBC60°D讨论:以下两种情况的的支座反力是否否相同？(2)解:取整体为研究对对象,受力分析如图示示。AM=FPlBC60°lFAFCyFCxFy=0:FCy=0Fx=0:FA+FCx=0MC(F)=0:M–FAltg60º=0FCx=–0.577FPFCy=0FA=0.577FP讨论:AM=FPlBC60°lFAFCyFCxFC力偶只能与力偶偶平衡M=0:M–FAltg60º=0FA=FC=0.577FP由平面力偶系的的平衡方程:(3)解:取ABC为研究对象,受力分析如图示示。AFPBC60°°lFCFAyFAxFy=0:FAy–FP=0Fx=0:FC–FAx=0MA(F)=0:FCltg60ºº–FPl=0FC=0.577FPFAx=0.577FPFAy=FP讨论:三力平平衡汇汇交定定理的的应用用AFPBC60°°lFCFA由平面面汇交交力系系的平平衡方方程:Fx=0:FC–FAcos60ºº=0Fy=0:FP–FAsin60ºº=0FA=1.155FPFC=0.577FP(4)解:取ABC为研究究对象象,受力分分析如如图示示。ABC60°°M=FPlFPlFCFAyFAxFy=0:FAy–FP=0Fx=0:FC–FAx=0MA(F)=0:FCltg60ºº–FPl–M=0FC=1.155FPFAx=1.155FPFAy=FP讨论:平衡方方程的的等价价形式式ABC60°°M=FPlFPlFCFAyFAxFy=0:FAy–FP=0MA(F)=0:FCltg60ºº–FPl–M=0MC(F)=0:FAxltg60ºº–FPl–M=0◆二二力力矩形形式:注意:AC不垂直直于y轴ABC60°°M=FPlFPlFCFAyFAx◆三三力力矩形形式:MA(F)=0:FCltg60ºº–FPl–M=0MC(F)=0:FAxltg60ºº–FPl–M=0MB(F)=0:FCltg60º–FAyl–M=0注意:A、B、C不共线qABDCM例2已知:q,M=qa2,AB=AD=2a,BC=a。求:A、D处的约束力力。FAxFAyFD解:取整体为研研究对象,受力分析如如图示。MB(F)=0:–FAy•2a–M+2qa•a=0Fy=0:FDcos45º+FAy–2qa=0Fx=0:FAx+FDsin45º=0FAx

=–

3qa/2FAy

=qa/2FD

=3qa/2qAMBα例3已知:q、α,M=qa2,AB=a。求:A、B处的约束力力。解:取AB为研究对象象,受力分析如如图示。FAxFAyFBMA(F)=0:FBcosα•a+M–(qa/2)•2a/3=0Fx=0:FAx–FBsinα=0Fy=0:FAy–qa/2+FBcosα=0FAx=–2qa(tanα)/3FAy=7qa/6FB=–2qa/3cosαAqBM例4已知:q,M=qa2,AB=a。求:固定端A的约束力。。解:取AB为研究对象象,受力分析如如图示。FAxFAyMAMA(F)=0:MA–M–qa•a/2=0Fx=0:FAx=0Fy=0:FAy–qa=0FAx=0FAy=qaMA=3qa2/2例5已知:水平搁板重重FG=800kN,AB=CD=1.5m,AD=BC=0.6m,DK=0.75m,AH=BE=0.25m。E和H为蝶铰,D和K为球铰。求:铰E、H和D的约束力。。αCBEHAyDKxzFG解:取板为研究究对象,受力分析如如图示。FEx+FHx+FDsinα=0FEz+FHz+FDcosα–FG=0几何关系:sinα=0.8cosα=0.6FHz•EH+FDcosα•AE–FG•EH/2=0FG•AD/2–FDcosα•AD=0–FHx•EH–FDsinα•AE=0αCBEHAyDKxzFGFDFEzFHzFExFHx●平面任意力力系平衡方方程的基本本形式●空间任意力力系的平衡衡方程●平面任意力力系平衡方方程的等价价形式●平面特殊力力系的平衡衡方程●平衡方程的的应用(单体平衡问问题)要点回顾理论力学力系的平衡衡(二)3.2物系平衡静静定定与超静定定问题3.2.1物系平衡两个或两个个以上刚体体用一定的的方式连接接起来组成成的系统，，称为刚体系统(rigidmultibodysystem)。刚体系统整整体处于平平衡时,每一局部均均处于平衡衡。局部:组成系统的的单个或几几个刚体所所构成的子子系统。ABCDEq2q1整体平衡局部必然平衡物系平衡FEFAxFAyFBxFByEq1FEFDxFDyDDAFAxFAyq2CFCxFCyF'DxF'DyBq2FBxFByF'CxF'CyCADEq2q1FEFAxFAyFCxFCyABCDq2FAxFAyFBxFByF'DxF'Dy刚体系统平平衡问题的的特点是：：仅仅考察察系统整体体平衡，无无法求得全全部未知力力。ABCMqD求解物系平衡问题,可选取单个个刚体,某个局部(系统内几个个相互连接接的刚体)或整个系统统作为研究究对象,列出平衡方方程求解。。ABCMqD对于由n个刚体组成成的受平面面力系作用用的系统,其独立平衡衡方程数3n。ABCMqD3.2.2静定与超静静定问题静定问题(staticallydeterminateproblems)未知约束力力的数目=独立的平衡衡方程数超静定问题题(staticallyindeterminateproblems)未知约束力力的数目独立的平衡衡方程数FPFPFPFP静定超静定超静定不完全约束束PABCDEHABCDEQ静定结构的例子子qABAqBM超静定结构的例子子3.2.3物系平衡问问题应用举举例ABCMqD4m2m3mα例1已知:q=10KN/m,M=20KN•m,α=60º。求:A、B、C处约束力。BCqα3mFCFBxFBy解:(1)研究BCMC(F)=0:–FBy•3+3q•3/2=0Fx=0:FBx–FCsin60º=0Fy=0:FBy–3q+FCcos60º=0FBx=15kNFBy

=15kNFC

=30kNABCMqD4m2m3mαFAxFAyFCFD(2)研究整体MD(F)=0:M–4FAy–5q•5/2+FCcos60º•5=0Fx=0:FAx–FCsin60º=0FAx=15kNFAy

=–15/2kN例2支架如图示，，已知AB＝BC＝CA，铰D位于AC杆的中点，力力FP作用于BC杆的中点E，求铰链C约束力和BD杆的内力。解:(1)研究整体,设AB=a。MA(F)=0:FPABDCEFBFAxFAy(2)研究BCFPBCEFCxFCyFBFBDθMC(F)=0:Fx=0:FCx–FBDcos30º=0Fy=0:FCy–FP+FBDsin30º+FB=0例3半径为R的圆形玻璃杯将将两个半径为r(r<R<2r),重P的小球扣在光滑滑的水平桌面面上，如图所所示。求玻璃杯不致翻翻倒的最小重重量Qmin。ABQPP2R解:(1)研究整体,临界状态受力力如图。QR+Pr+(P–N)(2R–r)=0MB(F)=0:ABQPP2RNNB(2)研究两小球,受力如图。Fy=0:PPNQR+Pr+(P–N)(2R–r)=0N–2P=0ABCDEFW例4已知:FW=1.2KN,AD=DB=a=2m,CD=DE=b=1.5m。求:A、B处的支座反力及杆BC的内力。解:(1)研究滑轮+CE，设滑轮半径为r，FT=FWEFWFTDCFCBαMD(F)=0:–FCBbcosα–FT(b–r)–FWr=0因为cosα=0.8FCB=–1.25FW=–1.5kN(2)研究整体MA(F)=0:FB2a–FT(b–r)–FW(a+r)=0Fx=0:FAx–FT=0Fy=0:FAy+FB–FW=0FCB=–1.5kNFB=1.05kNFAx=1.2kNFAy=0.15kNABCDFAxFAyFBEFWFTPABCDEH323336例5已知:P=2KN,H处为光滑接触，图图中长度单位位为m。求:铰链B约束力。FH解:(1)研究整体MA(F)=0:FH•(2+3+3)–P•(3+6+3)=0FH=3P/2BEH333FBxFByFH(2)研究BHME(F)=0:

FH•

3

–FBy•3

=

0FBy=3P/2FH=3P/2PBCDEH33336FBxFByFH(3)研究BH+DEMC(F)=0:

FH•

3–

P•3+FBx•6

–FBy•3

=

0即

FBy

–2FBx=

P/2由此即可解解出FBx=P/2=1kNFBy=3P/2=3kN要点回顾静定与超静静定问题物系平衡物系平衡的的应用问题题理论力学力系的平衡衡(三)3.3平面桁架3.3.1平面静定桁桁架桁架(truss)是工程中常常见的一种种杆系结构构,是一个由若若干直杆的的两端以适适当的方式式连接(铆、焊)而成的几何何形状保持持不变的系系统。各杆件的轴线及所有有荷载均处处于同一平平面内的桁桁架称为平面桁架(planartruss)。桁架结构在在工程中有有极其广泛泛的应用。。工程中的桁桁架结构工程中的桁桁架结构工程中的桁桁架结构工程中的桁桁架结构工程中的桁桁架结构工程中的桁桁架结构工程中的桁桁架结构工程中的桁桁架结构工程中的桁桁架结构工程中的桁桁架结构工程中的桁桁架结构为简化计算,平面桁架常常采用以下下基本假设:所有杆件仅仅在端部用用光滑园柱柱铰链相互互连接;主动力(荷载)只作用在连连接处;所有杆件的的自重忽略略不计。满足以上假假设的平面面桁架称为为平面理想桁桁架,其受力特征征是桁架中中的各杆均均可看成二二力杆,只承受拉力力或压力,而不能承受受弯曲。桁架中各杆杆轴线在杆件端部部连接处的交点称为为节点(node)。简化计算模模型杆件节点节点杆件节点杆件节点杆件力学中的桁桁架模型模型与实际际结构的差异异3.3.2计算桁架内内力的节点点法节点法(methodofjoints)每一节点可可列两个平平衡方程,解两个未知知数。求解步骤及注意意事项:先以整个桁桁架为研究究对象,求出支座反反力;从只有两个个未知力的的节点开始始,依次研究各各节点,直到求出全全部待求量量;假设各杆均均受拉力,力矢背向节节点,计算结果为为正表示受受拉,为负表示受受压。4F4'F8假设各杆均均受拉力41235678910111213PPF1F3F4节点法例题题ABCEDH123456789PQaaaa已知:P=40kN,Q=10kN求:杆1–6的内力。解:整体FAxFAyFBFAx=–10kNFAy

=30

kNFB=10kNABCEDH123456789PQaaaaFAxFAyFBAFAxFAyF1F2CPF'1F3F4DF'2F'3F5F6FAx+F1+F2cos45º=0FAy–F2sin45º=0–F1´+F4=0–P–F3=0–F2´cos45º+F6+F5cos45º=0F2´sin45º+F3´+F5sin45º=0ABCEDH123456789PQaaaaFAxFAyFBF1=–20kNF2=42.4kNF3=–40kNF4=–20kNF5=14.14kNF6=20kN杆1、3、4受压,杆2、5、6受拉。3.3.3计算桁架内内力的截面面法截面法