第7阶电路和二阶的时域分析

动态电路的方程及其初始条件7-1一阶电路和二阶电路的阶跃响应7-7一阶电路的零输入响应7-2一阶电路和二阶电路的冲激响应7-8一阶电路的零状态响应7-3卷积积分*7-9一阶电路的全响应7-4状态方程*7-10二阶电路的零输入响应7-5二阶电路的零状态响应和全响应7-6动态电路时域分析中的几个问题*7-11首页第七章一阶电路和二阶电路的时域分析一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解

重点一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解1.动态电路方程的建立及初始条件的确定返回含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。特点：1.动态电路7-1动态电路的方程及其初始条件

当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。例+-usR1R2（t=0）i0ti过渡期为零电阻电路K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uC=0i=0,uC=UsK+–uCUsRCi

(t=0)K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态+–uCUsRCi

(t→)初始状态过渡状态新稳态t1USuct0?i有一过渡期电容电路K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uL=0uL=0,i=Us/RK接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路初始状态过渡状态新稳态t1US/Rit0?UL有一过渡期K+–uLUsRLi

(t=0)+–uLUsRLi

(t→)电感电路过渡过程产生的原因

电路内部含有储能元件

L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化2.动态电路的方程+–uCUsRCi

(t>0)应用KVL和元件的VCR得：+–uLUsRLi

(t>0)有源电阻电路一个动态元件一阶电路+–uLUSRLi

(t>0)CuC＋－＋－二阶电路一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。描述动态电路的电路方程为微分方程。动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。二阶电路二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。下页上页结论返回高阶电路电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。动态电路的分析方法根据KVL、KCL和VCR建立微分方程。下页上页返回复频域分析法时域分析法求解微分方程。

经典法状态变量法

数值法

卷积积分拉普拉斯变换法状态变量法傅氏变换本章采用

工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。下页上页返回(1)t=0＋与t=0－的概念认为换路在

t=0时刻进行0－

换路前一瞬间0＋

换路后一瞬间3.电路的初始条件初始条件为t=0＋时u，i

及其各阶导数的值0－0＋0tf(t)t=0+时刻当i()为有限值时iucC+-q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。(2)电容的初始条件0q

=CuC电荷守恒结论当u为有限值时L

(0＋)=L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)(3)电感的初始条件t=0+时刻0磁链守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。结论iLuLL+-L

(0+)=L

(0－)iL(0+)=iL(0－)qc(0+)=qc

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)（4）换路定律（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件注意:

换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。

换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。（2）换路定律反映了能量不能跃变。(5).电路初始值的确定(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路(1)由0－电路求uC(0－)或iL(0－)+-10V+uC-10k40kuC(0－)=8V(3)由0+等效电路求iC(0+)iC(0－-)=0iC(0+)例1求iC(0+)+-10ViiC+uC-k10k40k电容开路电容用电压源替代求初始值的步骤:1.由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)；2.由换路定律得uC(0+)

和iL(0+)。3.画0+等效电路。4.由0+电路求所需各变量的0+值。b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。a.换路后的电路（取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、电感电流方向）。7.2一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。1.

RC电路的零输入响应已知uC

(0－)=U0iK(t=0)+–uRC+–uCR特征根特征方程RCp+1=0则uR=Ri零输入响应代入初始值uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0tU0uC0I0ti0令=RC,称为一阶电路的时间常数

（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；从以上各式可以得出：连续函数跃变

（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；时间常数的大小反映了电路过渡过程时间的长短=RC

大——过渡过程时间长小——过渡过程时间短电压初值一定：R

大（C一定）

i=u/R

放电电流小放电时间长U0tuCO

小

大C

大（R一定）

W=Cu2/2

储能大物理含义下页上页返回工程上认为,经过3－5,过渡过程结束。：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。＝t2－t1

t1时刻曲线的斜率等于I0tuc0t1t2U00.368U00.135U00.05U00.007U0t02

3

5U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

次切距的长度（3）能量关系

电容不断释放能量被电阻吸收,

直到全部消耗完毕.设uC(0+)=U0电容放出能量：电阻吸收（消耗）能量：uCR+－C例

已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：i3K3+uC265F－i2i1+uC45F－i1t>0等效电路分流得：2.

RL电路的零输入响应特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值i(0+)=I0A=i(0+)=I0iK(t=0)USL+–uLRR1t>0iL+–uLR-RI0uLttI0iL0从以上式子可以得出：连续函数跃变

（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；

（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；令=L/R

,称为一阶RL电路时间常数L大W=Li2/2起始能量大R小

P=Ri2放电过程消耗能量小放电慢大

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短物理含义时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短=L/R电流初值i(0)一定：（3）能量关系

电感不断释放能量被电阻吸收,

直到全部消耗完毕.设iL(0+)=I0电感放出能量：电阻吸收（消耗）能量：iL+–uLRiL

(0+)=iL(0－)=1AuV

(0+)=－10000V造成V损坏。例1t=0时,打开开关K，求uv。现象：电压表坏了电压表量程：50V解iLLR10ViLK(t=0)+–uVL=4HR=10VRV10k10V小结4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数

RC电路

=RC

,

RL电路

=L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC电路RL电路动态元件初始能量为零，由t>0电路中外加输入激励作用所产生的响应。列方程：iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=07.3一阶电路的零状态响应非齐次线性常微分方程解答形式为：1.

RC电路的零状态响应零状态响应齐次方程通解非齐次方程特解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定全解uC

(0+)=A+US=0A=－

US由起始条件uC

(0+)=0

定积分常数A的通解通解（自由分量，暂态分量）特解（强制分量，稳态分量）的特解-USuC‘uC“USti0tuc0

（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：从以上式子可以得出：连续函数跃变稳态分量（强制分量）暫态分量（自由分量）+

（2）响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定；大，充电慢，小充电就快。

（3）响应与外加激励成线性关系；（4）能量关系电容储存：电源提供能量：电阻消耗RC+-US电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。例t=0时,开关K闭合，已知

uC（0－）=0，求（1）电容电压和电流，（2）uC＝80V时的充电时间t。解50010F+-100VK+－uCi(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：（2）设经过t1秒，uC＝80V2.RL电路的零状态响应iLK(t=0)US+–uRL+–uLR已知iL(0－)=0，电路方程为：tuLUStiL00例1t=0时,开关K打开，求t>0后iL、uL的变化规律。解这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：iLK+–uL2HR8010A200300iL+–uL2H10AReqt>0例2t=0时,开关K打开，求t>0后iL、uL的及电流源的端电压。解这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：iLK+–uL2H102A105+–ut>0iL+–uL2HUSReq+－7.4一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。iK(t=0)US+–uRC+–uCR解答为uC(t)=uC'+uC"uC

(0－)=U0以RC电路为例，非齐次方程=RC1.全响应全响应稳态解uC'=US暂态解uC

(0+)=A+US=U0A=U0-US由起始值定A2.全响应的两种分解方式强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0全响应

=

强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)（1）着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=U0iK(t=0)US+–uRC+–uCR=uC

(0－)=0+uC(0－)=U0C+–uCiK(t=0)+–uRR全响应=

零状态响应

+零输入响应零状态响应零输入响应(2).

着眼于因果关系便于叠加计算零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0例1t=0时,开关K打开，求t>0后的iL、uL解这是一个RL电路全响应问题，有：iLK(t=0)+–24V0.6H4+－uL8零输入响应：零状态响应：全响应：或求出稳态分量：全响应：代入初值有：6＝2＋AA=4例2t=0时,开关K闭合，求t>0后的iC、uC及电流源两端的电压。解这是一个RC电路全响应问题，有：+–10V1A1+－uC1+－u1稳态分量：全响应：A=－10+–24V1A1+－uC1+－u13.三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶微分方程：令t=0+其解答一般形式为：分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题用0+等效电路求解用t→的稳态电路求解1A2例113F+-uC已知：t=0时合开关，求换路后的uC(t)

。解tuc2(V)0.6670例2t=0时,开关闭合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素为：iL+–20V0.5H55+–10Vi2i1应用三要素公式例3已知：t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)

。2A410.1F+uC－+－4i12i18V+－12解三要素为：4+－4i12i1u+－例4i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)32已知：电感无初始储能

t=0

时合k1,t=0.2s时合k2

求两次换路后的电感电流i(t)。0<t<0.2st>0.2s解(0<t0.2s)(t

0.2s)it(s)0.25(A)1.262例4.脉冲序列分析1.RC电路在单个脉冲作用的响应RCusuRuci10Ttus(1)0<t<T(2)t>Tuc(t)uR(t)t0t0(a)<<T,

uR为输出uR输出近似为输入的微分(b)>>T,uc为输出t0输出近似为输入的积分RCusuRuciuCTT2.脉冲序列分析t0(a)<<TuRucRCusuRucit0(b)>TU1U2ucuRRCusuRuci7-5二阶电路的零输入响应uc(0+)=U0i(0+)=0已知：1.二阶电路的零输入响应RLC+-iuc特征根：特征方程：电路方程：2.零输入响应的三种情况过阻尼临界阻尼欠阻尼下页上页返回U0tuC设|p2|>|p1|下页上页O电容电压返回t=0+

iC=0,t=iC=0iC>0t=tm

时iC

最大tmiC下页上页tU0uCO电容和电感电流返回U0uCtm2tmuLiC0<t<tm

，i增加,uL>0，t>tm

i减小,uL

<0t=2tm时

uL

最大下页上页tO电感电压返回RLC+-iC=i为极值时，即uL=0

时的

tm

计算如下:由duL/dt

可确定uL为极小时的

t。下页上页返回能量转换关系0<t<tm

uC

减小，i

增加。t>tm

uC减小，i

减小。下页上页tU0uCtm2tmuLiCO返回RLC+-RLC+-uC

的解答形式：经常写为：下页上页共轭复根返回δωω0下页上页ω，ω０，δ的关系返回t=0

时

uC=U0uC=0：t=－，2－

...n－

t－2－2OU0uC下页上页返回t－2－2OU0uCiC

uL=0：t=

，+，2+...n+iC=0：t=0，，2...n，为

uC极值点，iC的极值点为uL零点。下页上页返回能量转换关系：0<t<

<t<--<t<t-2-2OU0uCiC下页上页返回LC+-RLC+-RLC+-R特例：R=0时等幅振荡t下页上页O返回LC+-下页上页相等负实根返回下页上页返回定常数可推广应用于一般二阶电路下页上页小结返回电路如图，t=0

时打开开关。求uC并画出其变化曲线。解（1）

uC(0－)=25V

iL(0－)=5A特征方程为50p2p+106=0例（2）开关打开为RLC串联电路，方程为下页上页返回5100F2010100.5H50V+-+-iLuC(3)

tOuC35625下页上页返回7-6二阶电路的零状态响应和全响应uC(0－)=0,iL(0－)=0微分方程为通解特解特解:

特征方程为下页上页返回RLC+-uCiLUS+-1.二阶电路的零状态响应uC解答形式为下页上页tuCUSO返回求电流i的零状态响应。

i1=i－

0.5u1=i

－

0.5(2－

i)2=2i－2由KVL得整理得首先写微分方程。解下页上页例二阶非齐次常微分方程返回+u1-0.5u12W1/6F1HS2W2W2Aii12-i特征根为

p1=－2，p2=－6解答形式为第三步求特解i'。由稳态模型有i'

=0.5u1u1=2(2－0.5u1)i'=1Au1=2V下页上页第二步求通解。返回稳态模型+u1-2i2A0.5u12第四步定常数由0+电路模型得下页上页返回+u1-0.5u12W1/6F1HS2W2W2Ai+u1-0.5u12W2W+2A-uL(0+)已知：iL(0-)=2AuC(0-)=0求：iL,

iR。(1)

列微分方程(2)求特解解下页上页例6-2应用结点法：返回RiR-50V50100F0.5H+iLiC2.二阶电路的全响应(3)求通解特征根为

p=-100j100(4)定常数特征方程为下页上页返回(5)求iR或设解答形式为定常数下页上页RiR-50V50+iC2A返回RiR-50V50100F0.5H+iLiC下页上页返回二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常微分方程所描述的电路。二阶电路的性质取决于特征根，特征根取决于电路结构和参数，与激励和初值无关。下页上页小结返回求二阶电路全响应的步骤列写t>0+电路的微分方程。求通解。求特解。全响应=强制分量+自由分量。上页返回上页由初始值。7-7

一阶电路和二阶电路的阶跃响应1.单位阶跃函数

定义t

(t)O1

单位阶跃函数的延迟t

(t-t0)t0O1下页上页返回t=0合闸

i(t)=IS(t)在电路中模拟开关的动作。t=0合闸

u(t)=US(t)

单位阶跃函数的作用下页上页SUSu(t)u(t)返回ISSu(t)起始一个函数tf(t)Ot0延迟一个函数下页上页tf(t)Ot0返回

用单位阶跃函数表示复杂的信号例7-

1(t)tf(t)1O1t0tf(t)Ot0-

(t-t0)例7-

21t1f(t)O243下页上页返回解解和的区别。2.一阶电路的阶跃响应激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。阶跃响应下页上页iC+–uCRuC(0－)=0注意返回tO1itOi下页上页tuC1O返回tiCO激励在t=t0

时加入，则响应从t=t0开始。t-t0(t-t0)-t不要写为下页上页iC

(t-t0)C+–uCRt0注意返回求图示电路中电流iC(t)。例7-3下页上页10k10kuS+-iS100FuC(0－)=00.510t/suS/VO5k0.5uS+-iC100FuC(0－)=0等效返回解应用叠加定理下页上页5k+-iC100F5+-iC100F阶跃响应为返回5k+-iC100F由齐次性和叠加性得实际响应为下页上页返回5k+-iC100F5+-iC100F下页上页分段表示为返回分段表示为t/siC/mAO1-0.6320.5波形0.368下页上页返回3.二阶电路的阶跃响应下页上页对电路应用KCL列结点电流方程有已知图示电路中uC(0-)=0,iL(0-)=0，求单位阶跃响应iL