人教版八年级数学上册期末复习专题试题

人教版八年级数学上册期末复习专题试题专题1三角形题型一三角形的有关概念典例如图Z1－1中锐角三角形的个数有(B)图Z1－1A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】先找出以A为顶点的锐角三角形的个数，再找出以E为顶点的锐角三角形的个数．①以A为顶点的锐角三角形：△ABC，△ADC，共2个；②以E为顶点的锐角三角形：△EDC，共1个．所以图中锐角三角形的个数有2＋1＝3(个)．【点悟】数三角形的个数，可以按照数线段条数的方法，如果一条线段上有n个点，那么就有eq\f(n（n－1）,2)条线段，也可以与线段外的一点组成eq\f(n（n－1）,2)个三角形．变式跟进1.如图Z1－2，在△ABC中，AD，BF，CE相交于O点，则图中的三角形的个数是(D)图Z1－2A.7个B.10个C.15个D.16个【解析】根据三角形的概念，最小的有6个，2个组成一个的有3个，3个组成一个的有6个，最大的有1个，则有6＋3＋6＋1＝16个．题型二三角形的三边关系典例[2018·杭州二模]四根长度分别为3，4，6，x(x为正整数)的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则(D)A．组成的三角形中周长最小为9B．组成的三角形中周长最小为10C．组成的三角形中周长最大为19D．组成的三角形中周长最大为16【解析】其中的任意三根的组合有3，4，6；3，4，x；3，6，x；4，6，x，共四种情况，由题意：从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，可得3＜x＜7，即x＝4或5或6.①当三边为3，4，6时，其周长为3＋4＋6＝13；②当x＝4时，周长最小为3＋4＋4＝11，周长最大为4＋6＋4＝14；③当x＝5时，周长最小为3＋4＋5＝12，周长最大为4＋6＋5＝15；④若x＝6时，周长最小为3＋4＋6＝13，周长最大为4＋6＋6＝16.综上所述，三角形周长最小为11，最大为16，故选D.变式跟进2.[2017·淮安]若—个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是(B)A.14B.10C.3D.2变式跟进3.已知：如图Z1－3，△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AD＋BD＞eq\f(1,2)(AB＋AC)．图Z1－3证明：∵BD＋AD＞AB，CD＋AD＞AC，∴BD＋AD＋CD＋AD＞AB＋AC.∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴AD＋BD＞eq\f(1,2)(AB＋AC)．题型三三角形的内角和与外角和典例[2018春·迁安期末]动手操作：一个三角形的纸片ABC，沿DE折叠，使点A落在点A′处．观察猜想：(1)如图Z1－4①，若∠A＝40°，则∠1＋∠2＝__80__°；若∠A＝55°，则∠1＋∠2＝__110__；若∠A＝n°，则∠1＋∠2＝__2n__°.图Z1－4探索证明：(2)利用图①，探索∠1，∠2与∠A有怎样的关系？请说明理由．拓展应用：(3)如图②，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1＋∠2＝108°，利用(2)中的结论求∠BA′C的度数．【解析】(1)∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠ADE＝eq\f(1,2)(180°－∠1)，∠AED＝eq\f(1,2)(180°－∠2)，在△ADE中，∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°，∴40°＋eq\f(1,2)(180°－∠1)＋eq\f(1,2)(180°－∠2)＝180°，整理得∠1＋∠2＝80°；同理∠A＝55°，则∠1＋∠2＝110°；∠A＝n°，则∠1＋∠2＝2n°；(2)∠1＋∠2＝2∠A，理由：∵∠BDE，∠CED是△ADE的两个外角，∴∠BDE＝∠A＋∠AED，∠CED＝∠A＋∠ADE，∴∠BDE＋∠CED＝∠A＋∠AED＋∠A＋∠ADE，∴∠1＋∠A′DE＋∠2＋∠A′ED＝2∠A＋∠AED＋∠ADE，即∠1＋∠2＝2∠A；(3)由(1)∠1＋∠2＝2∠A，得2∠A＝108°，∴∠A＝54°，∵BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，∴∠A′BC＋∠A′CB＝eq\f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)＝eq\f(1,2)(180°－∠A)＝90°－eq\f(1,2)∠A，∴∠BA′C＝180°－(∠A′BC＋∠A′CB)＝180°－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(90°－\f(1,2)∠A))＝90°＋eq\f(1,2)∠A＝90°＋eq\f(1,2)×54°＝117°.【点悟】三角形的内角和等于180°与三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和是解决三角形的角度计算的基本依据和常用方法．变式跟进4.[2018·曲靖]若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角是(D)A．60°B．90°C．108° D．120°【解析】设边数为n，所以(n－2)×180°＝720°，解得n＝6，所以720°÷6＝120°.变式跟进5.如图Z1－5，已知△ADC中，∠A＝30°，∠ADC＝110°，BE⊥AC，垂足为E，求∠B的度数．图Z1－5解：∵△ADC中，∠A＝30°，∠ADC＝110°，∴∠C＝180°－∠A－∠ADC＝40°，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠B＝90°－∠C＝50°.变式跟进6.如图Z1－6，已知△ABC中，高为AD，角平分线为AE，若∠B＝28°，∠ACD＝52°，求∠EAD的度数．图Z1－6解：在△ABC中，∵∠ACD＝∠B＋∠BAC，∴∠BAC＝52°－28°＝24°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝eq\f(1,2)∠BAC＝12°，∴∠AED＝∠B＋∠BAE＝28°＋12°＝40°，∵AD为高，∴∠ADE＝90°，∴∠EAD＝90°－∠AED＝90°－40°＝50°.题型四三角形的内(外)角平分线的夹角典例(1)如图Z1－7①，已知△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由；(2)如图②，若O为∠ABC和∠ACB外角的平分线BO，CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？图Z1－7解：(1)∠BOC＝eq\f(1,2)∠A＋90°.理由：∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，∵在△BOC中，∠BOC＋∠OBC＋∠OCB＝180°，∴∠BOC＋eq\f(1,2)∠ABC＋eq\f(1,2)∠ACB＝180°，∴∠BOC＝180°－eq\f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)，又∵在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠BOC＝180°－eq\f(1,2)(180°－∠A)＝eq\f(1,2)∠A＋90°；(2)∠BOC＝eq\f(1,2)∠A.理由：∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACD的平分线，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACD＝2∠OCD，∵∠A＋∠ABC＝∠ACD，∴eq\f(1,2)∠A＋∠OBC＝∠OCD，∵∠OBC＋∠BOC＝∠OCD，∴∠BOC＝eq\f(1,2)∠A.【点悟】在△ABC中，如图Z1－8①，当O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点时，∠BOC＝90°＋eq\f(1,2)∠A；图Z1－8如图②，当O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点时，∠BOC＝eq\f(1,2)∠A；如图③，当O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点时，∠BOC＝90°－eq\f(1,2)∠A.变式跟进7.如图Z1－9，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝__120°__．图Z1－9【解析】∵∠ABC＝42°，∠A＝60°，∠ABC＋∠A＋∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°－42°－60°＝78°.又∵∠ABC，∠ACB的平分线分别为BE，CD，∴∠FBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝21°，∠FCB＝eq\f(1,2)∠ACB＝39°，又∵∠FBC＋∠FCB＋∠BFC＝180°，∴∠BFC＝180°－21°－39°＝120°.变式跟进8.如图Z1－10，在△ABC中，∠B＝58°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝__61°__.图Z1－10变式跟进8答图【解析】如答图，∵∠EAC＝eq\f(1,2)∠DAC，∠ECA＝eq\f(1,2)∠ACF，∴eq\f(1,2)∠DAC＋eq\f(1,2)∠ACF＝eq\f(1,2)(∠B＋∠2)＋eq\f(1,2)(∠B＋∠1)＝eq\f(1,2)(∠B＋∠B＋∠1＋∠2)，∵∠B＝58°，∠B＋∠1＋∠2＝180°，∴eq\f(1,2)∠DAC＋eq\f(1,2)∠ACF＝119°，∴∠AEC＝180°－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)∠DAC＋\f(1,2)∠ACF))＝61°.变式跟进9.如图Z1－11，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D.(1)如图①，若∠B＝62°，∠C＝38°，AE⊥BC于点E，求∠EAD的度数；(2)如图②，若点F是AD延长线上的一点，∠BAF，∠BDF的平分线交于点G，∠B＝x，∠C＝y(x＞y)，求∠G的度数．图Z1－11解：(1)∵在△ABC中，∠B＝62°，∠C＝38°，∴∠BAC＝180°－62°－38°＝80°.∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝40°.∵AE⊥BC于点E，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＝90°－62°＝28°，∴∠EAD＝∠BAD－∠BAE＝40°－28°＝12°；(2)∵∠B＝x，∠C＝y，∴∠BAC＝180°－x－y，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝eq\f(1,2)(180°－x－y)，∵AG平分∠BAD，∴∠GAD＝eq\f(1,2)∠BAD＝eq\f(1,4)(180°－x－y)，∵∠BDF＝∠BAD＋∠B＝eq\f(1,2)(180°＋x－y)，∴∠G＝∠GDF－∠GAD＝eq\f(1,2)∠BDF－∠GAD＝eq\f(1,2)x.题型五多边形的内角和与外角和典例[2017·定陶期末]请根据下面X与Y的对话解答下列各小题：X：我和Y都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为1440°；Y：X的边数与我的边数之比为1∶3.(1)求X与Y的外角和相加的度数？(2)分别求出X与Y的边数？(3)试求出Y共有多少条对角线？解：(1)360°＋360°＝720°；(2)设X的边数为n，Y的边数为3n，由题意得180(n－2)＋180(3n－2)＝1440，解得n＝3，∴3n＝9，∴X与Y的边数分别为3和9；(3)eq\f(1,2)×9×(9－3)＝27(条)，即Y共有27条对角线．【点悟】(1)多边形内角和为(n－2)×180°；(2)多边形外角和等于360°；(3)从n边形的一个顶点出发，能引(n－3)条对角线．变式跟进10.若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是(C)A.10B.9C.8D.6变式跟进11.已知一个多边形的内角和比外角和的2倍多180°，则这个多边形的边数是多少？解：根据题意，得(n－2)·180＝2×360＋180，解得n＝7.则这个多边形的边数是7.1．[2018秋·东兴校级月考]如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝5cm，AC＝3cm，则△ABD的周长比△ACD周长多(D)图1A．5cmB．3cmC．8cm D．2cm【解析】∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD＝DC＝eq\f(1,2)BC，∴△ABD和△ADC的周长的差＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AB＋\f(1,2)BC＋AD))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AC＋\f(1,2)BC＋AD))＝AB－AC＝5－3＝2(cm)．2．现有两根木棒，它们长分别是40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，则下列四根木棒应选取(B)A.10cm的木棒B.40cm的木棒C.90cm的木棒D.100cm的木棒3．[2018·怀化]一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数为__10__．4．[2017·东港期末]如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE，BD分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，则∠DEA＝__45__°.图2【解析】∵∠BAC＋∠ABC＝180°－90°＝90°，又∵∠EAB＝eq\f(1,2)∠BAC，∠EBA＝eq\f(1,2)∠ABC，∴∠EAB＋∠EBA＝eq\f(1,2)(∠BAC＋∠ABC)＝eq\f(1,2)×90°＝45°，∴∠DEA＝∠EAB＋∠EBA＝45°.5．[2018·南京]如图3，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1－∠2＝__72__°.图3第5题答图【解析】如答图，过B点作BF∥l1，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝108°，∵BF∥l1，l1∥l2，∴BF∥l2，∴∠CBF＝180°－∠1，∠ABF＝∠2，∴180°－∠1＋∠2＝∠ABC＝108°，∴∠1－∠2＝72°.6．[2018春·宝应期末]已知：如图4①，在△ABC中，CD是高，若∠A＝∠DCB.图4(1)试说明∠ACB＝90°；(2)如图②，若AE是角平分线，AE，CD相交于点F.求证：∠CFE＝∠CEF.解：(1)∵在△ABC中，CD是高，∠A＝∠DCB，∴∠CDA＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠DCB＋∠ACD＝90°，∴∠ACB＝90°；(2)证明：∵AE是角平分线，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°，∴∠DAF＋∠AFD＝90°，∠CAE＋∠CEA＝90°，∴∠AFD＝∠CEA，∵∠AFD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEA，即∠CFE＝∠CEF.7．如图5，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，∠C＝2∠1，∠2＝eq\f(3,2)∠1，求∠B的度数．图5解：∵∠ADC＝90°，∴∠C＋∠1＝90°，又∵∠C＝2∠1，∴∠C＝60°，∠1＝30°，∴∠2＝eq\f(3,2)∠1＝45°，∴∠B＝45°.8．[2018春·新泰期中改编]已知：如图6，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD.请探索∠M与∠B，∠D的关系并证明你的结论．图6解：∠M＝eq\f(1,2)(∠B＋∠D)．证明：根据三角形外角定理，得∠B＋∠BAM＝∠M＋∠BCM，∴∠BAM－∠BCM＝∠M－∠B，同理∠MAD－∠MCD＝∠D－∠M，∵AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠BAM＝∠MAD，∠BCM＝∠MCD，∴∠M－∠B＝∠D－∠M，∴∠M＝eq\f(1,2)(∠B＋∠D)．9．[2018春·灌云期末]小明在学习过程中，对一个有趣问题做了如下探究：【习题回顾】已知：如图7①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE，CD相交于点F.求证：∠CFE＝∠CEF；图7【变式思考】如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？请说明理由；【探究延伸】如图③，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F.△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M.试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．解：【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，∴∠B＋∠CAB＝90°，∠ACD＋∠CAB＝90°，∴∠B＝∠ACD，∵AE是角平分线，∴∠CAF＝∠DAF，∵∠CFE＝∠CAF＋∠ACD，∠CEF＝∠DAF＋∠B，∴∠CEF＝∠CFE；【变式思考】∠CEF＝∠CFE.理由：∵AF为∠BAG的角平分线，∴∠GAF＝∠DAF，∵CD为AB边上的高，∠ACB＝90°，∴∠ADF＝∠ACE＝90°，又∵∠CAE＝∠GAF，∴∠CAE＝∠DAF，∴∠CEF＝∠CFE；【探究延伸】∠M＋∠CFE＝90°.理由：∵C，A，G三点共线，AE，AN为角平分线，∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM，∴∠MAE＝90°，∴∠M＋∠CEF＝90°，∵∠CEF＝∠EAB＋∠B，∠CFE＝∠EAC＋∠ACD，∠ACD＝∠B，∴∠CEF＝∠CFE，∴∠M＋∠CFE＝90°.专题2全等三角形题型一全等三角形的概念与性质典例[2017·潍坊期末]如图Z2－1，已知△ABE≌△ACD，下列等式不正确的是(D)图Z2－1A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CADC．BE＝DC D．AD＝DE【解析】∵△ABE≌△ACD，∴∠1＝∠2，∠B＝∠C，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，BE＝DC，AD＝AE，故A，B，C正确；∵AD的对应边是AE而非DE，∴D错误．【点悟】(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等；(2)找对应元素不要找错．变式跟进1.如图Z2－2，△ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠B＝100°，则∠F的度数是(A)图Z2－2A.30°B.50°C.60°D.100°【解析】∵∠A＝50°，∠B＝100°，∴∠C＝180°－100°－50°＝30°，∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠C＝30°.变式跟进2.如图Z2－3，△ABC≌△DEC，则结论①BC＝EC；②∠DCA＝∠ACE；③CD＝AC；④∠DCA＝∠ECB，其中结论正确的个数是(B)图Z2－3A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】∵△ABC≌△DEC，∴BC＝EC，CD＝AC，∠DCE＝∠ACB，∴∠DCE－∠ACE＝∠ACB－∠ACE，即∠DCA＝∠BCE.∴正确的结论有①③④，共3个．题型二全等三角形的判定典例[2018·宁波]如图Z2－4，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE.图Z2－4(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．解：(1)证明：∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，∴∠DCE＝90°，CD＝CE，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝CE，,∠ACD＝∠BCE，,AC＝BC，))∴△ACD≌△BCE(SAS)；(2)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°，又∵AD＝BF，∴BE＝BF，∴∠BEF＝∠BFE＝eq\f(180°－45°,2)＝67.5°.【点悟】(1)全等三角形的判定定理有SSS，SAS，ASA，AAS，HL等；(2)SSA，AAA不能判定两个三角形全等；(3)证明三角形全等时，有的条件是已知的，有些条件是隐含在题设或图形中的，比如对顶角相等，公共边、公共角等．变式跟进3.如图Z2－5，在四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AC，AE，若AB＝AC，AE＝CD，AD＝CE，则图中的全等三角形有(D)图Z2－5A.0对B.1对C.2对D.3对变式跟进4.如图Z2－6，已知A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠1＝∠2，AF＝CE.图Z2－6(1)请写出图中全等的三角形；(2)请选择其中一对全等三角形进行说明．解：(1)△AFD≌△CEB，△ABC≌△CDA，△ABE≌△CDF；(2)理由：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵AF＝CE，∴AF＋EF＝EC＋EF，∴AE＝CF，在△ABE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠1＝∠2，,∠BAE＝∠DCF，,AE＝CF，))∴△ABE≌△CDF(AAS)；∵△ABE≌△CDF，∴AB＝DC，在△ABC和△CDA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,∠BAC＝∠DCA，,AC＝CA，))∴△ABC≌△CDA(SAS)；∵△ABC≌△CDA，∴BC＝DA，∠BCE＝∠DAC，在△AFD和△CEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CB，,∠DAF＝∠BCE，,AF＝CE，))∴△AFD≌△CEB(SAS)．变式跟进5.[2018春·道外区期末]我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图Z2－7，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB.(1)求证：∠ABD＝∠CBD；(2)设对角线AC，BD相交于点O.OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.请直接写出图中的所有全等三角形．图Z2－7解：(1)证明：在△ABD与△CBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CD，,AB＝CB，,BD＝BD，))∴△ABD≌△CBD(SSS)，∴∠ABD＝∠CBD；(2)图中的所有全等三角形有△ABD≌△CBD，△ABO≌△CBO，△OAD≌△OCD，△OAE≌△OCF，△EBO≌△FBO.题型三全等三角形的判定与性质典例[2018秋·句容月考]如图Z2－8，已知OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PE⊥OB，垂足为点E，点M，N分别在线段OD和射线EB上，PM＝PN，∠AOB＝68°.图Z2－8(1)求证：△PDM≌△PEN；(2)求∠MPN的度数．解：(1)证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∠PDO＝∠PEO＝∠PEN＝90°.在Rt△PDM和Rt△PEN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PM＝PN，,PD＝PE，))∴Rt△PDM≌Rt△PEN(HL)；(2)∵∠PDO＋∠PEO＋∠DPE＋∠AOE＝360°，∠AOB＝68°，∴∠DPE＝112°，∵Rt△PDM≌Rt△PEN，∴∠DPM＝∠EPN，∴∠DPM＋MPE＝∠EPN＋∠MPE，∴∠DPE＝∠MPN＝112°.【点悟】证明线段或角相等的方法：观察要证明的线段或角(或通过等量代换得到的线段或角)在哪两个可能的全等三角形中；当待证线段或角未分布在两个全等的三角形中时，常常添加辅助线构造全等三角形．变式跟进6.如图Z2－9，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD.求证：∠B＝∠E.图Z2－9证明：∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠CAB，在△ABC和△CED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CE，,∠CAB＝∠DCE，,AC＝CD，))∴△ABC≌△CED(SAS)，∴∠B＝∠E.变式跟进7.[2017秋·许昌月考]已知△ABC和△DEC都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝120°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N.图Z2－10(1)如图Z2－10①，求证：AE＝BD；(2)如图②，若AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对全等且有一个角为120°的三角形．解：(1)证明：∵△ACB和△DCE都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝120°，∴AC＝BC，DC＝EC，∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE，在△ACE与△BCD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝BC，,∠ACE＝∠BCD，,CE＝CD，))∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD；(2)△ACB≌△DCE，△EMC≌△BNC，△AON≌△DOM，△AOB≌△DOE.∵AC＝DC，∴AC＝CD＝EC＝CB，∴△ACB≌△DCE(SAS)；由(1)可知∠AEC＝∠BDC，∠EAC＝∠DBC，∵∠DMO＝∠EMC，∴∠DOM＝∠ECM＝120°＝∠AON，∵∠AEC＝∠CAE＝∠CBD，∴△EMC≌△BNC(ASA)，∴CM＝CN，EM＝BN，∴DM＝AN，∴△AON≌△DOM(AAS)，∴OM＝ON，∴OE＝OB，DE＝AB，DO＝AO，∴△DOE≌△AOB(SSS)．题型四角平分线的性质典例如图Z2－11，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，下列结论：图Z2－11①CD＝ED；②AC＋BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④DA平分∠CDE；其中正确的有(D)A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE，故①正确；在Rt△ACD和Rt△AED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AD，,CD＝ED，))∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AC＝AE，∠ADC＝∠ADE，∴AC＋BE＝AE＋BE＝AB，故②正确；DA平分∠CDE，故④正确；∵∠B＋∠BAC＝90°，∠B＋∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠BAC，故③正确．综上所述，正确的结论有①②③④，共4个．故选D.【点悟】(1)角平分线上一点到角两边的距离相等；(2)在有关角平分线的问题中，由角平分线的性质可得到线段相等，可结合三角形全等证明有关结论．变式跟进8.如图Z2－12，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BD平分∠ABC交AC于D，AD∶DC＝3∶1，则点D到AB的距离为(A)A.2B.3C.4D.5图Z2－12变式跟进8答图【解析】如答图，过点D作DE⊥AB于E，∵AC＝8，AD∶DC＝3∶1，∴CD＝8×eq\f(1,1＋3)＝2，∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝CD＝2，即点D到AB的距离为2.变式跟进9.[2017·龙岗区期末]如图Z2－13，BD是∠MBN的平分线，A是BM上一点，AD⊥BM于点A，AD＝3，C是BN上的一点，BC＝5，则△BCD的面积为(A)图Z2－13变式跟进9答图A.7.5B.8C.10D.15【解析】如答图，作DE⊥BC于点E，∵BD是∠ABC的平分线，AD⊥AB，DE⊥BC，∴DE＝DA＝3，∴S△BCD＝eq\f(1,2)BC·DE＝7.5.题型五全等三角形的应用与开放探究典例[2018秋·长春期中]如图Z2－14，A，B两个建筑分别位于河的两岸，要测得它们之间距离，可以从B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过D作DE∥AB，使E，A，C在同一条直线上，则DE长就是A，B之间的距离，请你说明理由．图Z2－14解：∵DE∥AB，∴∠A＝∠E，在△ABC和△EDC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠E，,∠ACB＝∠ECD，,BC＝DC，))∴△ABC≌△EDC(AAS)，∴AB＝DE，即DE长就是A，B之间的距离．变式跟进10.如图Z2－15，在一个风筝ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，分别在AB，AD的中点E，F处挂两根彩线EC，FC.求证：EC＝FC.图Z2－15变式跟进10答图解：如答图，连接AC.在△ABC与△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,BC＝DC，,AC＝AC，))∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠EAC＝∠FAC.∵E，F分别是AB，AD的中点，∴AE＝eq\f(1,2)AB，AF＝eq\f(1,2)AD，∵AB＝AD，∴AE＝AF.在△AEC与△AFC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AF，,∠EAC＝∠FAC，,AC＝AC，))∴△AEC≌△AFC(SAS)，∴EC＝FC.变式跟进11.如图Z2－16，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB.图Z2－16(1)不添加辅助线，猜测图中其他可能全等的三角形；(2)求证：CF＝EF.解：(1)图中其他的全等三角形：△ACD≌△AEB，△DCF≌△BEF；(2)证明：∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD，∴∠CAB－∠DAB＝∠EAD－∠DAB，即∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB，∴CD＝EB，∠ADC＝∠ABE.又∵∠ADE＝∠ABC，∴∠CDF＝∠EBF.又∵∠DFC＝∠BFE，∴△CDF≌△EBF(AAS)．∴CF＝EF.1．如图1，△ABC≌△AEF，则∠EAC等于(C)图1A.∠ACBB.∠CAFC.∠BAFD.∠BAC2．在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，AB＝A′B′，下列判断中错误的是(B)A.若添加条件AC＝A′C′，则△ABC≌△A′B′C′B.若添加条件BC＝B′C′，则△ABC≌△A′B′C′C.若添加条件∠B＝∠B′，则△ABC≌△A′B′C′D.若添加条件∠C＝∠C′，则△ABC≌△A′B′C′3．①有两边和一角对应相等的两个三角形全等；②斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；③有三角对应相等的两个直角三角形全等；④有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．上述判断正确的是__②④__．4．如图2，将两根钢条AB，CD的中点O连在一起，使AB，CD可以绕点O自由转动，就做成一个测量工件，则AC的长等于内槽宽BD，则△OBD≌△OAC的判定方法是__SAS__(用字母表示)．图2图35．如图3，点A，C，D，B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF，求证：DE＝CF.证明：∵AC＝BD，∴AC＋CD＝BD＋CD，∴AD＝BC，在△AED和△BFC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠B，,AD＝BC，,∠ADE＝∠BCF，))∴△AED≌△BFC(ASA)，∴DE＝CF.6．如图4，∠BAC＝∠CDB＝90°，请你从下列条件中任选一个，使得△BAC≌△CDB，并加以证明．①AB＝CD；②AC＝DB；③∠ABC＝∠DCB；④∠ACB＝∠DBC.图4解：选①AB＝CD.证明：∵∠BAC＝∠CDB＝90°，∴△BAC和△CDB是直角三角形，在Rt△BAC和Rt△CDB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝CB，,AB＝DC，))∴Rt△BAC≌Rt△CDB(HL)．7．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．(提示：先分清已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证)解：已知：如答图，△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AM是△ABC的中线，DN是△DEF的中线，AM＝DN，第7题答图求证：△ABC≌△DEF.证明：∵BC＝EF，AM是△ABC的中线，DN是△DEF的中线，∴BM＝EN，在△ABM和△DEN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,BM＝EN，,AM＝DN，))∴△ABM≌△DEN(SSS)，∴∠B＝∠E，在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,∠B＝∠E，,BC＝EF，))∴△ABC≌△DEF(SAS)．8．[2018春·雨城区校级期中]已知△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交边AC于E.(1)如图5①，当∠BAC＝108°时，证明：BC＝AB＋CE；

图5(2)如图②，当∠BAC＝100°时，(1)中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有，请写出结论并完成证明．解：(1)证明：如答图①，在BC上截取BD＝BA.第8题答图①∵BA＝BD，∠EBA＝∠EBD，BE＝BE，∴△BEA≌△BED(SAS)，∴BA＝BD，∠A＝∠BDE＝108°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝36°，∠EDC＝72°，∴∠CED＝72°，∴CE＝CD，∴BC＝BD＋CD＝AB＋CE；(2)结论：BC＝BE＋AE.证明：如答图②，在BA，BC上分别截取BF＝BE，BH＝BE.则△EBH≌△EBF(SAS)，第8题答图②∴EF＝EH，∵∠BAC＝100°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝40°，∴∠EBA＝∠EBC＝20°，∴∠BFE＝∠H＝∠EAH＝80°，∴AE＝EH，∵∠BFE＝∠C＋∠FEC，∴∠CEF＝∠C＝40°，∴EF＝CF，∴CF＝AE，∴BC＝BF＋CF＝BE＋AE.9．[2018·青海]请认真阅读下面的数学探究系列，完成所提出的问题．(1)探究1：如图6①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD.求证：△BCD的面积为eq\f(1,2)a2；(提示：过点D作BC边上的高DE，可证△ABC≌△BDE)图6(2)探究2：如图②，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD.请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由；(3)探究3：如图③，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD.试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．解：(1)证明：过点D作DE⊥CB的延长线于点E.∵△ABC是等腰三角形，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，∴AB＝BD，∠ABD＝90°，∴∠DBE＝45°，∴BE＝DE，∴∠ABC＝∠BDE，∠BAC＝∠DBE，∵AB＝DB，∴△ABC≌△BDE(ASA)，∴DE＝BC＝a，∴S△BCD＝eq\f(1,2)BC·DE＝eq\f(1,2)a2；(2)如答图①，过点D作BC的垂线，与CB的延长线交于点E.∴∠BED＝∠ACB＝90°.∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，∴AB＝BD，∠ABD＝90°，∴∠ABC＋∠DBE＝90°，∵∠A＋∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACB＝∠BED，,∠A＝∠DBE，,AB＝BD，))∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴DE＝BC＝a.∴S△BCD＝eq\f(1,2)BC·DE＝eq\f(1,2)a2；第9题答图(3)如答图②，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，∴∠AFB＝∠E＝90°，∵AB＝AC，∴BF＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)a，∴∠FAB＋∠ABF＝90°，∵∠ABD＝90°，∴∠ABF＋∠DBE＝90°，∴∠FAB＝∠EBD，∵线段BD是由线段AB旋转得到，∴AB＝BD，在△AFB和△BED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AFB＝∠E，,∠FAB＝∠EBD，,AB＝BD，))∴△AFB≌△BED(AAS)，∴DE＝BF＝eq\f(1,2)a，∴S△BCD＝eq\f(1,2)BC·DE＝eq\f(1,2)·a·eq\f(1,2)a＝eq\f(1,4)a2.专题3轴对称题型一轴对称图形的判断与作图典例下列图标是轴对称图形的是(C)ABCD【点悟】判断一个图形是不是轴对称图形的主要依据就是轴对称图形的定义，即将图形沿着某条直线折叠，看直线两旁的部分是否完全重合，能够完全重合的是轴对称图形，否则不是．变式跟进1.[2017·江西]下列图形中，是轴对称图形的是(C)变式跟进2.已知：如图Z3－1，已知△ABC.(1)点A关于x轴对称的点A1的坐标是__(－4，－2)__，点A关于y轴对称的点A2的坐标是__(4，2)__；(2)画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(3)画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2.图Z3－1变式跟进2答图解：(2)如答图所示，△A1B1C1即为所求；(3)如答图所示，△A2B2C2即为所求．题型二折叠与轴对称典例[2017·眉山期末]如图Z3－2所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠EFC′＝120°，那么∠ABE的度数为(D)图Z3－2A.15°B.25°C.20°D.30°【解析】由折叠的性质知∠BEF＝∠DEF，∠EBC′，∠BC′F都是直角，∴BE∥C′F，∴∠EFC′＋∠BEF＝180°，又∵∠EFC′＝120°，∴∠BEF＝∠DEF＝60°，∴∠AEB＝60°，在Rt△ABE中，可求得∠ABE＝90°－∠AEB＝30°.【点悟】折叠实质是轴对称，折叠前后的两个图形全等，对应角相等，对应边相等．变式跟进3.如图Z3－3，将三角形纸片ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE.若∠B＝80°，∠BAE＝26°，则∠EAD的度数为(B)A.36°B.37°C.38°D.45°图Z3－3图Z3－4变式跟进4.[2018·吉林]如图Z3－4，将△ABC折叠，使点A与BC边的中点D重合，折痕为MN，若AB＝9，BC＝6，则△DNB的周长为(A)A．12 B．13C．14 D．15【解析】∵D为BC的中点，且BC＝6，∴BD＝eq\f(1,2)BC＝3，由折叠的性质知NA＝ND，则△DNB的周长＝ND＋NB＋BD＝NA＋NB＋BD＝AB＋BD＝3＋9＝12.题型三线段的垂直平分线的性质典例如图Z3－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E.若BC＝3，则DE的长为(A)图Z3－5A.1B.2C.3D.4【解析】∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB，∵∠C＝90°，∴3∠CAD＝90°，∴∠CAD＝30°，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，∴CD＝DE＝eq\f(1,2)BD，∵BC＝3，∴DE＝eq\f(1,3)BC＝1.【点悟】(1)线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；(2)欲证明线段相等，可通过证明三角形全等或用线段的垂直平分线的性质得到．变式跟进5.[2017·蓝田期末]如图Z3－6，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE.图Z3－6(1)求证：DF是线段AB的垂直平分线；(2)当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．解：(1)证明：∵∠A＝∠ABE，∴EA＝EB，∵AD＝DB，∴DF是线段AB的垂直平分线；(2)∵∠A＝46°，∴∠ABE＝∠A＝46°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝21°，∠F＝90°－∠ABC＝23°.题型四等腰三角形的性质典例[2017·水城校级期中]如图Z3－7，已知：∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，点D，B，C，E四点共线，DB＝AB，CE＝CA，求∠D，∠E，∠DAE的度数．图Z3－7解：∵BD＝BA，∴∠D＝∠DAB，∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠D＝∠DAB＝eq\f(1,2)∠ABC＝25°，∵AC＝CE，∴∠E＝∠CAE，∵∠ACB＝∠E＋∠CAE，∴∠E＝∠CAE＝eq\f(1,2)∠ACB＝40°，∴∠DAE＝180°－40°－25°＝115°.【点悟】(1)等腰三角形的性质：等边对等角，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合；(2)等腰三角形“三线合一”的性质涉及角相等又涉及线段相等或垂直，为证明线段和角的关系增添了又一理论依据．变式跟进6.如图Z3－8，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…若∠A＝70°，则∠An－1AnBn－1的度数为(C)图Z3－8A.eq\f(70°,2n)B.eq\f(70°,2n＋1)C.eq\f(70°,2n－1)D.eq\f(70°,2n＋2)【解析】∵在△ABA1中，∠A＝70°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝70°，∵A1A2＝A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1＝eq\f(∠BA1A,2)＝eq\f(70°,2)；同理可得，∠B2A3A2＝eq\f(70°,4)，∠B3A4A3＝eq\f(70°,8)，∴∠An－1AnBn－1＝eq\f(70°,2n－1).变式跟进7.如图Z3－9，已知△ABC中，AB＝AC，D在BC上，连接AD，且AD＝AE，若∠BAD＝40°，求∠CDE的度数．图Z3－9解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∠AED＝∠CDE＋∠C，∴∠BAD＝2∠CDE，∴∠CDE＝eq\f(1,2)∠BAD＝20°.题型五等腰三角形的判定典例[2017·顺德区月考]如图Z3－10，从①∠B＝∠C；②∠BAD＝∠CDA；③AB＝DC；④BE＝CE四个等式中选出两个作为条件，并证明△AED是等腰三角形(写出一种即可)．已知：__①②(或①③，①④，②③)__(只填序号)．求证：△AED是等腰三角形．图Z3－10证明：在△BAD和△CDA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠C，,∠BAD＝∠CDA，,AD＝DA，))∴△BAD≌△CDA(AAS)，∴∠ADB＝∠DAC，∴AE＝DE，∴△AED为等腰三角形．【点悟】等腰三角形的判定：(1)在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形；(2)在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．变式跟进8.如图Z3－11，△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝72°，∠ACB＝∠DBC＝36°，则图中等腰三角形的个数有__5__个．图Z3－11【解析】图中等腰三角形有△ABC，△ABE，△CDE，△BEC，△BDC，共5个．变式跟进9.如图Z3－12，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，∠B＝30°，连接AD.(1)若∠BAD＝45°，求证：△ACD为等腰三角形；(2)若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．图Z3－12解：(1)证明：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝∠B＝30°，∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°，∵∠BAD＝45°，∴∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝120°－45°＝75°，∠ADC＝∠B＋∠BAD＝75°，∴∠ADC＝∠CAD，∴AC＝CD，∴△ACD为等腰三角形；(2)有两种情况：①当∠ADC＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠BAD＝∠ADC－∠B＝90°－30°＝60°；②当∠CAD＝90°时，∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝120°－90°＝30°.即∠BAD的度数是60°或30°.题型六等边三角形的性质与判定典例如图Z3－13，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE＝CD.图Z3－13证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABE＝60°，又∵△BDE是等边三角形，∴BE＝BD，∠DBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBC，在△ABE和△CBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠ABE＝∠CBD，,BE＝BD，))∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD.【点悟】等边三角形判定方法的选择：(1)已知三边关系，则选用定义判定；(2)已知三角关系，则通过利用等边三角形三个角都相等进行判定；(3)已知是等腰三角形，则选用边角综合的办法进行判定．变式跟进10.如图Z3－14，在等边三角形ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于点E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为__60°__．图Z3－14【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°.∵DE⊥BC交AB于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BDE＝∠AFD＝90°.∵∠AED是△BDE的外角，∴∠AED＝∠B＋∠BDE＝60°＋90°＝150°，∴∠EDF＝360°－∠A－∠AED－∠AFD＝360°－60°－150°－90°＝60°.变式跟进11.如图Z3－15，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB.(1)求∠C的度数；(2)求证：△ADE是等边三角形．

图Z3－15解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠C＝∠B＝30°；(2)证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB，∴∠ADC＝∠AEB＝60°，∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，∴△ADE是等边三角形．题型七含30°角的直角三角形的性质典例如图Z3－16，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，CD＝1，求AC的长．图Z3－16典例答图解：如答图，连接BD，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°.∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°.∵CD＝1，∴BD＝2CD＝2，∴AD＝2，∴AC＝3.【点悟】(1)直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；(2)如果给出的是15°的角，往往运用一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将15°的角化为30°的角．变式跟进12.等腰三角形的顶角是120°，底边上的高是3，则腰长为__6__．变式跟进13.如图Z3－17，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E.如果OD＝4cm，求PE的长．图Z3－17变式跟进13答图【解析】如答图，过P作PF⊥OB于点F，∵∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝15°，∵PD∥OA，∴∠DPO＝∠AOP＝15°，∴∠BOC＝∠DPO，∴PD＝OD＝4cm，∵∠AOB＝30°，PD∥OA，∴∠BDP＝30°，∴在Rt△PDF中，PF＝eq\f(1,2)PD＝2cm，∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF＝2cm.

1．[2017·埇桥区期末]如图1，△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则下列结论中不一定成立的是(A)图1A.AB∥DFB.∠B＝∠EC.AB＝DED.AD的连线被MN垂直平分【解析】∵△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，∴∠B＝∠E，AB＝DE，AD的连线被MN垂直平分，∴B，C，D正确，AB∥DF不一定成立．故选A.2．[2018·天津]如图2，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是(D)图2A．AD＝BD B．AE＝ACC．ED＋EB＝DB D．AE＋CB＝AB【解析】由折叠的性质，知CB＝EB，∴AE＋CB＝AE＋EB＝AB，故选D.3．[2018·绥化]已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为__50°或80°__．【解析】当等腰三角形顶角的外角为130°时，顶角为180°－130°＝50°；当等腰三角形底角的外角为130°时，顶角为180°－2×(180°－130°)＝80°.故其顶角的度数为50°或80°.4．[2018·吉林]我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝eq\f(1,2)，则该等腰三角形的顶角为__36__度．【解析】设顶角为α，则其底角为eq\f(1,2)(180°－α)，由k＝eq\f(1,2)，可得eq\f(1,2)(180°－α)＝2α，解出α＝36°.5．[2018·张家界]如图3，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为__15__°.图3【解析】∵△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，∴∠BAD＝150°，△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∴△BAD是等腰三角形，∴∠B＝∠ADB＝eq\f(1,2)(180°－∠BAD)＝15°.6．[2018·娄底]如图4，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝__6__cm.图4第6题答图【解析】如答图，过点D作DH⊥AC，对△ABC用等面积法，得到BF＝DE＋DH，再三线合一得到AD是角平分线，进一步得到DE＝DH＝3，故BF＝6.7．如图5，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，AB＝8，则BC＝__4__，∠BCD＝__30°__，BD＝__2__．图5【解析】∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，∴BC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4，∵CD⊥AB，∴∠BCD＋∠B＝90°，又∵∠A＋∠B＝180°－∠ACB＝180°－90°＝90°，∴∠BCD＝∠A＝30°，∴BD＝eq\f(1,2)BC＝2.8．如图6，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC＝15cm，△BCE的周长等于25cm.图6(1)求BC的长；(2)若∠A＝36°，并且AB＝AC.求证：BC＝BE.解：(1)∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，∴AE＝BE，∴△BCE的周长＝BE＋CE＋BC＝AE＋CE＋BC＝AC＋BC，∵AC＝15cm，∴BC＝25－15＝10cm；(2)证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠C＝eq\f(1,2)(180°－∠A)＝eq\f(1,2)(180°－36°)＝72°，∵AE＝BE，∴∠ABE＝∠A，由三角形的外角性质，得∠BEC＝∠A＋∠ABE＝36°＋36°＝72°，∴∠BEC＝∠C，∴BC＝BE.9．如图7，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD为BC边上的高，延长AB到E，使BE＝BD，过点D，E引直线交AC于点F.图7(1)请说明△ADF和△DFC是等腰三角形；(2)判断AF与FC的数量关系，并说明理由．解：(1)∵BE＝BD，∴∠E＝∠BDE，∵∠ABC＝∠E＋∠BDE＝2∠BDE，∠ABC＝2∠C，∴∠C＝∠BDE，又∵∠BDE＝∠CDF，∴∠C＝∠CDF，∴DF＝FC，∴△DFC为等腰三角形；∵AD为BC边上的高，∴∠CDF＋∠ADF＝∠ADC＝90°，∠C＋∠CAD＝180°－90°＝90°，∴∠CAD＝∠ADF，∴DF＝AF，∴△ADF是等腰三角形；(2)由(1)知AF＝DF＝FC.10．如图8，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，且AD＝AB.∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F.求证：(1)△ABD是等边三角形；(2)BE＝AF.图8第10题答图证明：(1)如答图，连接BD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC＝eq\f(1,2)∠BAC，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠DAC＝eq\f(1,2)×120°＝60°，∵AD＝AB，∴△ABD是等边三角形；(2)∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD，∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE与△ADF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DBE＝∠DAF，,BD＝AD，,∠BDE＝∠ADF，))∴△BDE≌△ADF(ASA)，∴BE＝AF.专题4整式的乘除与因式分解题型一幂的运算性质典例[2018·成都]下列计算正确的是(D)A．x2＋x2＝x4 B．(x－y)2＝x2－y2C．(x2y)3＝x6y D．(－x)2·x3＝x5【解析】x2＋x2＝2x2，A错误；(x－y)2＝x2－2xy＋y2，B错误；(x2y)3＝x6y3，C错误；(－x)2·x3＝x5，D正确．故选D.【点悟】幂的混合运算的注意点：(1)幂的乘方指数相乘，而同底数幂的乘法中，指数相加；(2)运用积的乘方的性质时，漏算某些因数的乘方．变式跟进1.下列运算正确的是(D)A．a2＋a3＝a5 B．(a2)3＝a5C．a4－a3＝a D．a4÷a3＝a变式跟进2.[2018·遂宁]下列等式成立的是(C)A．x2＋3x2＝3x4B．0.00028＝2.8×10－3C．(a3b2)3＝a9b6D．(－a＋b)(－a－b)＝b2－a2变式跟进3.如果10m＝a，10n＝b，求：(1)102m＋10n的值；(2)102m＋n的值(m，n为整数)．解：(1)原式＝(10m)2＋10n＝a2＋b；(2)原式＝(10m)2×10n＝a2b.题型二整式的运算典例计算：(1)(5mn2－4m2n)(－2mn)；(2)(x＋7)(x－6)－(x－2)(x＋1)．解：(1)原式＝－10m2n3＋8m3n2；(2)原式＝x2－6x＋7x－42－x2－x＋2x＋2＝2x－40.【点悟】(1)多项式与多项式相乘，结果仍是多项式，合并同类项之前积的项数应等于两个多项式的项数之积．对项数较多的两个多项式相乘，该规律仍然适用；(2)相乘时，每一项都包含着符号，在计算时应准确确定积的符号；(3)多项式与多项式相乘的结果中若有同类项，必须合并同类项．变式跟进4.[2018春·贵阳期末]若三角形的底边长为2a＋1，该底边上的高为2a－1，则此三角形的面积为(A)A．2a2－eq\f(1,2) B．4a2－4a＋1C．4a2＋4a＋1 D．4a2－1【解析】三角形的面积为eq\f(1,2)(2a＋1)(2a－1)＝2a2－eq\f(1,2).变式跟进5.计算：(1)(－7x2－8y2)(－x2＋3y2)＝__7x4－13x2y2－24y4__；(2)(3x－2y)(y－3x)－(2x－y)(3x＋y)＝__－15x2－y2＋10xy__．【解析】(1)原式＝7x4－21x2y2＋8x2y2－24y4＝7x4－13x2y2－24y4；(2)原式＝3xy－9x2－2y2＋6xy－(6x2＋2xy－3xy－y2)＝－9x2－2y2＋9xy－6x2＋xy＋y2＝－15x2－y2＋10xy.变式跟进6.要使(x2＋mx＋8)(x2－3x＋n)的展开式中不含x3项和x2项，求m，n的值．解：原式＝x4－3x3＋nx2＋mx3－3mx2＋mnx＋8x2－24x＋8n＝x4＋(m－3)x3＋(n－3m＋8)x2＋(mn－24)x＋8n，由结果不含x3项和x2项，得到m－3＝0，n－3m＋8＝0，解得m＝3，n＝1.题型三乘法公式典例利用乘法公式计算：(1)(x－2y)(x＋2y)－(x＋2y)2；(2)(x＋y＋4)(x＋y－4)．解：(1)原式＝x2－4y2－(x2＋4xy＋4y2)＝x2－4y2－x2－4xy－4y2＝－8y2－4xy；(2)原式＝[(x＋y)＋4][(x＋y)－4]＝(x＋y)2－16＝x2＋2xy＋y2－16.【点悟】(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2；(2)完全平方公式的常用变形：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；ab＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（a＋b）2－（a2＋b2）))；(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；ab＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)))eq\s\up12(2)；a2＋eq\f(1,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))eq\s\up12(2)－2.变式跟进7.已知x＋y＝6，xy＝4，求下列各式的值：(1)x2y＋xy2；(2)x2＋y2；(3)(x－y)2.解：(1)原式＝xy(x＋y)＝4×6＝24；(2)原式＝(x＋y)2－2xy＝62－2×4＝28；(3)原式＝(x＋y)2－4xy＝62－4×4＝20.变式跟进8.利用乘法公式计算：(1)(2x－3)(－3－2x)＋(2x－1)2；(2)(x＋2y＋1)(x－2y＋1)－(x－2y－1)2.解：(1)原式＝9－4x2＋4x2－4x＋1＝－4x＋10；(2)原式＝[(x＋1)＋2y][(x＋1)－2y]－(x－2y－1)2＝(x＋1)2－4y2－x2＋4xy＋2x－4y－4y2－1＝－8y2＋4xy＋4x－4y.题型四化简求值典例[2018春·高新区期末]先化简，再求值：(a＋2b)(a－b)＋(2a－b)2－5a(a－b)，其中a＝－1，b＝2.解：原式＝a2－ab＋2ab－2b2＋4a2－4ab＋b2－5a2＋5ab＝2ab－b2，当a＝－1，b＝2时，原式＝2×(－1)×2－22＝－4－4＝－8.变式跟进9.[2018春·双峰期末]先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－(x－y)2－y(x－2y)，其中x＝2019，y＝eq\f(1,2019).解：原式＝x2－y2－(x2－2xy＋y2)－xy＋2y2＝x2－y2－x2＋2xy－y2－xy＋2y2＝xy，当x＝2019，y＝eq\f(1,2019)时，原式＝2019×eq\f(1,2019)＝1.变式跟进10.已知a2－2a－1＝0，求代数式(a－2)2＋(a＋b)(a－b)＋b2的值．解：原式＝a2－4a＋4＋a2－b2＋b2＝2a2－4a＋4＝2(a2－2a)＋4，∵a2－2a－1＝0，∴a2－2a＝1，则原式＝2＋4＝6.题型五因式分解典例下列各式从左到右的变形，是因式分解的是(C)A.x2－9＋6x＝(x＋3)(x－3)＋6xB．(x＋5)(x－2)＝x2＋3x－10C.x2－8x＋16＝(x－4)2D.6ab＝2a·3b【解析】根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义．A．右边不是积的形式，故A错误；B．是多项式乘法，不是因式分解，故B错误；C．是运用完全平方公式，x2－8x＋16＝(x－4)2，故C正确；D．不是把多项式化成整式积的形式，故D错误．【点悟】(1)把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；(2)因式分解与整式乘法互为逆运算．变式跟进11.[2018春·宿松期末]下列因式分解错误的是(A)A．x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3xB．－x2＋y2＝－(x＋y)(x－y)C．2x2－x＝－x(－2x＋1)D．x2－2x＋1＝(x－1)2【解析】A．x2－4＋3x＝(x－1)(x＋4)，故此选项错误，故选A.过关训练1．[2018·益阳]下列运算正确的是(D)A．x3·x3＝x9 B．x8÷x4＝x2C．(ab3)2＝ab6 D．(2x)3＝8x3【解析】A．x3·x3＝x6，错误；B.x8÷x4＝x4，错误；C．(ab3)2＝a2b6，错误；D正确．故选D.2．李老师做了个长方形教具，其中一边长为2a＋b，另一边长为a－b，则该长方形的面积为(B)A.6a＋bB.2a2－ab－b2C.3aD.10a－b3．[2018春·新乐期末]若(x＋m)与(x＋4)的乘积中不含x的一次项，则m的值为(A)A．－4B．4C．0 D．1【解析】(x＋m)(x＋4)＝x2＋(m＋4)x＋4m，∵乘积中不含x的一次项，∴m＋4＝0，∴m＝－4.4．[2018·云南]已知x＋eq\f(1,x)＝6，则x2＋eq\f(1,x2)＝(C)A．38B．36C．34 D．32【解析】∵x2＋eq\f(1,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(2)－2，又∵x＋eq\f(1,x)＝6，∴x2＋eq\f(1,x2)＝62－2＝34.5．[2018·上海]计算：(a＋1)2－a2＝__2a＋1__．6．因式分解：(1)[2018·兰州]x2y－y3＝__y(x＋y)(x－y)__；(2)[2018·咸宁]ab2－a＝__a(b＋1)(b－1)__；(3)[2018·绥化]3ax2－12ay2__3a(x＋2y)(x－2y)__；(4)[2018·恩施州]8a3－2ab2＝__2a(2a＋b)(2a－b)__．7．化简：(1)[2018·海南](a＋1)2＋2(1－a)；(2)[2018·济宁](y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)．解：(1)原式＝a2＋2a＋1＋2－2a＝a2＋3；(2)原式＝(y2－4)－(y2＋4y－5)＝y2－4－y2－4y＋5＝－4y＋1.8．先化简，再求值：(1)[2018·长沙](a＋b)2＋b(a－b)－4ab，其中a＝2，b＝－eq\f(1,2)；(2)[2018春·绍兴期中](2a＋1)2－(2a＋1)(2a－1)，其中a＝－eq\f(3,2).解：(1)原式＝a2＋2ab＋b2＋ab－b2－4ab＝a2－ab，当a＝2，b＝－eq\f(1,2)时，原式＝4＋1＝5；(2)原式＝4a2＋4a＋1－4a2＋1＝4a＋2，当a＝－eq\f(3,2)时，原式＝－6＋2＝－4.9．[2018·宁波改编]如图1，在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a＞b)的正方形纸片按图①，图②两种方式放置(图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2.当AD－AB＝2时，求S2－S1的值．图1解：S1＝(AB－a)·a＋(CD－b)(AD－a)＝(AB－a)·a＋(AB－b)(AD－a)，S2＝AB(AD－a)＋(a－b)(AB－a)，∴S2－S1＝AB(AD－a)＋(a－b)(AB－a)－(AB－a)·a－(AB－b)(AD－a)＝(AD－a)(AB－AB＋b)＋(AB－a)(a－b－a)＝b·AD－ab－b·AB＋ab＝b(AD－AB)＝2b.10．[2018春·济南期末]下面是某同学对多项式(x2－4x－3)(x2－4x＋1)＋4进行因式分解的过程．解：设x2－4x＝y，则原式＝(y－3)(y＋1)＋4(第一步)＝y2－2y＋1(第二步)＝(y－1)2(第三步)＝(x2－4x－1)2(第四步)回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的(C)A．提取公因式法 B．平方差公式法C．完全平方公式法(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2＋2x)(x2＋2x＋2)＋1进行因式分解．解：(2)设x2＋2x＝y，则原式＝y(y＋2)＋1＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2，即(x2＋2x)(x2＋2x＋2)＋1＝(x2＋2x＋1)2＝[(x＋1)2]2＝(x＋1)4.专题5分式题型一分式的概念典例[2018·海南]若分式eq\f(x2－1,x＋1)的值为0，则x的值(B)A．－1 B．1C．±1 D．无解【解析】∵eq\f(x2－1,x＋1)的值为0，∴(x－1)(x＋1)＝0，且x＋1≠0，∴x＝1.故选B.【点悟】(1)分式与整式的区别就是分式的分母中含有字母；(2)分式有意义的条件是分母不为0；(3)分式值为0的条件是分子为0，分母不为0；(4)运用分式的基本性质