高中数学圆锥曲线难题

中条棱的那距么离条棱的那距么离过椭么的〔题一．择题〔共小题〕圆=1右焦点作垂于轴的弦交椭于两AB的垂分交轴于么等于〔〕A．

B．

C．

D．设点与体﹣ABD1的三1所直线，的〔〕A圆B．圆．曲线D抛线云一〕图过物线2=2px〔＞0〕的点的直线依次交抛物线及准线于点，B，假设，|，么的程〔〕A．y=x

B．y=9x．y=x

Dy=3x2021海珠区一模〕一圆形纸片的圆心为原点，点是圆的一点A是上一把折叠点A点重合，后展开纸片，痕CD与交于点当点运动P的轨迹是〔〕A椭圆B．曲线．线D．圆2021模物线〔＞〕的焦为FAB抛物线上，且，弦的中点M在准上的射影N，那么〔〕A．

B．

C．D．•齐齐哈尔二模〕如图，在等腰梯形ABCD中ABCD且AB=2AD设〔0，，B焦过点的线的1，以C，为点的圆，那〕菁优网中一的中一的．着度增大，e增，e2为定值．随着度增大，e减，e2为定值．随着度增大，e增，e2也增大．着度增大，e减，e2也减小2021怀化从，{1，，3}〕表示圆锥线〔椭、双曲、抛物〕方程中任一个那此方程是焦在x轴的曲线方的率为〔〕A．B．．

D．•二抛物线=2px＞0准线交x轴于点焦为A是物的点己知AB，C三线且AF|、、|BF|成等数列，直线斜率为么〔〕A．B．．D．平区拟在物线y=x2﹣〔0〕横为1=﹣，=2的点，经过两点引一条割线，有平行于该割的一条线时与抛线圆切，那么抛物线顶点的坐标为〔〕A〔﹣2，9〕﹣5〕．〔，9〕D〔，6〕•徽拟〕以下四个命题不正确选是〔〕A．假设点与定A〔，0〔，〕线、PB的积为定值点P的为双曲线的一局部B．mnR常＞0，定运“*：m*n=﹣〔mn〕2，设，么动点轨是抛物线的一局

的．两圆A〕+y2=1圆x﹣〕+y2，动圆M与圆A外切与圆切那动圆圆心M的轨迹是圆．A〔7B〔，0〔，12圆过AB两点且C为其一个焦点，那么椭圆的另一个焦点的为双线．解〔共小题〕11•天〕双曲线的个点〔﹣，，线．〔〕双曲线的；〔〕设以k〔k〕率的线与线交个的MN，且线段MN垂直分与坐标轴围成三角形的面积为取值围．•北直线〔〕椭圆

相于A，两O是标原点．〔〕点B坐〔0，四形OABC菱，求AC的；〔〕点B在上且是W的顶点，证明：四边形OABC不能为菱形．13．焦在x轴的双线两条渐近线过坐点两近以A〔，径圆相，又知C的焦与A关直线对．〔1〕求曲线C的方程；菁优网平分线，垂线〕平分线，垂线〕在，满点满〔2假设是曲线上的任一F2为曲线、右两个从1引FQF的的垂足N，求点N的迹方程•安〕设＞0，点的坐标为〔11点B抛线2上运动，点满，经点与x轴直直交物于点M点满，点的轨迹方．•南开区一圆C的心在，焦在x轴，的一顶点好抛物线率等于．〔1〕椭的方；〔2〕椭的右点作线交圆于A、B两交y于M点假设，求证λ+2定值．2021东〕物线的点原其点〔0，＞0〕到直线：x﹣y﹣的距离，设直线上，点作物线C的两条切线PA，，其A，B为切．〔1〕求物线C的方程；〔x，〕线上的定时，求直线的；〔3〕当点在直线上动时，AF||BF|的小值．2021上海曲线．〔1〕求曲线C的渐近方程；〔2〕点的坐标〔0，1设P是线上的，Q是点关原点对称．记．λ取范；〔3〕点D，M的标别为﹣2，﹣1﹣11为曲线第限点记l为经过点与点的，eq\o\ac(△,为)DEM截线所段的．试将表示为线的斜率k函数．•南模〕过抛线上点A，作物的，别交x轴于点，y轴点点C异点〕上上，线CD与EF交点．

；点在段，

，λ=1，菁优网椭椭〔1〕设；〔2〕当点在线动求点轨方．四川圆：为﹣1圆C过点．〔〕求椭圆C的心：〔〕点〔，〕的直线与圆交于MN两点是段MN上点且，求点的轨迹程．宜昌模〕点，B的坐标别〔0，﹣1线交点，它们斜率积﹣．〔1〕求点轨迹方；〔2假过点〔0线〔中轨迹交于不同的两点〔在之eq\o\ac(△,求)ODEeq\o\ac(△,与)ODF面之比的取值范围为标原点．菁优网设〔，设〔，，那条棱的那距么为为故平面距离．离等点离，题析一．选题〔共小〕圆=1右焦点作垂于轴的弦交椭于两AB的垂分交轴于么等于〔〕A．

B．

C．

D．考点：的应用．专题：；轴题．分析：合特值法．不妨取直线的斜率为．由此推导出|NF|：值．解：解取直线的斜率为．焦点〔，0线AB的程为﹣2．联立方程组，把y=x2代入

整理得2﹣36x﹣，么，，中点坐标为〔程为，令y=0，得标〔．|NF|=：，应选B．

，|AB|=

，点：是求解选择题和填空题的有效方法．设点与体﹣ABD1的三1所直线，的〔〕A圆B．圆．曲线D抛线考点：线定义．专题：题；圆锥曲线的定义性质与方程．分析：的中点点做一平面EFMN与平行MD1AB1，内的到AD和BC的距离等PM为CD1的的M的得点的迹．解：题意可得AD和BC平行且等，设AB的点为，CD的为，过EF做个平面EFMN与BC平，菁优网么行面点离于平么行面点离于平离．且CD，AB，那与也平平内的和的距．由方体的性质可得平面直面CDD1，有1垂直，故PM为到D的距由此得到的离于到点离点的迹是物，应选．点评：主考抛线的义应，于底．云一〕图过物线2=2px〔＞0〕的点的直线依次交抛物线及准线于点，B，假，且|AF|=3，那抛方为〔〕A．y=x

B．y=9x．y=x

Dy=3x考：线的标方．专题：题；压轴题；形合．分析：点A，B作线的垂线，分别交准线于点，，|BF|=a据抛物线义可知BD|=a而断出的，在直得进据BDFG，利例线段可求得，那么抛物线方程可．解答：图分别过点，作线的线，分交准线点设BF|=a：|BC|=2a，定义得：，°，在直角角ACE中，2|AE|=|AC|，从得，BDFG，

=求得，因此物线程为2．应选．菁优网点：要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义根本识的合把．海珠区〕形的为点，点是圆的一点，A是圆一点纸片使点点重合，后展开纸片，痕CD与OA于点当点运动时的迹〔〕A椭圆B．曲线．线D．圆考：定义．专题：题；压轴题；形合．分析：是段AQ的垂直平分线可推断出而可知|PO|﹣|PQ|=|PO|结果为值，进而根据双曲的定义断点的迹．解答：意知，是线段的垂直平分线|PA|=|PQ|，|PO|﹣|PQ|=|PO|〔值，根双的可出点迹是以、O两点为焦点的双曲线，应B．点：要查双线定义应，查了学生椭根知识理和用，属于底．2021武拟线=2px〔p＞的为，AB抛物线上，且，AB的点M其准上的射影为，那么

的最大为〔〕A．

B．

C．D．考点：线简性．专题：；轴题．分析：AF|=a，|BF|=b，抛物定义，．再由勾股定理可得AB|2=a，进而根据根本不等，求得AB|的范围可答．：设，由物线义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|菁优网后到后到．在形中．由勾定理得|AB|=a+b2方，=〔a+b〕﹣2ab，又

，〔a+b22ab〕2﹣得到〔．所以应选A．

=

，即．点：要考查抛物的应用和余弦定的应用，查了学生综合分问题和解决问题能力．•齐图，在等腰梯形ABCD中ABCD且设〔0，，B焦过点的线心为，以D为且点的率为，那么〔〕．着度增大，e增，e2为值．随着度增大，e减，e2为定值．随着度增大，e增，e2也增大．着度增大，e减，e2也减小考：简性质．专题：；轴题．分析：接BDAC假设，据余定理示出BD，进而可得到值由，e=可表示出

，最根据弦数的调性判断e的调性同样表示出圆中的c'和表示e2的关式最得的解答：接BD，AC设AD=t么=菁优网22曲中ey=cosθ〔0，可当增时即减小AC=BD椭中1〕c'=t﹣cos〕

减小，，a'=〔e

〕e=应选B．

×

=1点：要考查椭圆和双曲线的离心率的表示，考查考生对圆锥曲的性的应，圆曲线高考重点每年必考，平时注意根底知识的累和练．2021怀化从，{1，，3}〕表示圆锥线〔椭、双曲、抛物〕方程中任一个那此方程是焦在上的双线程的概为〔〕A．B．．

D．考点：线的标准方程；列举法计算根本领件数及事件发生的概率．专题：；轴题．分析：和的所有可能值共有33=9个，其种不符，故共有种，可一一列举，从中数出能使方程是点在轴上曲选即和都为正的选法，最后由古典型的概率计公式即可得其概率解答：〔mn表示，n取值组合，么取值的所情况有〔，﹣，〔3，﹣〕7个意﹣，不意〕其能使方程是焦点在轴的曲的，223〕共此程点在轴上的双线方程的概率为应选点评：查了古典概型概率的求法，椭圆、双曲线、抛物线的标准程，举法数的巧，确计是解决此题关菁优网212的212的设A〔x，〕〔线2•温模抛物线〔＞0准线交轴于点焦点为AB是抛物线上的点己知AB，C三线且AF|、、|BF|成等数列，直线斜率为么〔〕A．

B．C．D．考：椭的准程等差列通公；线斜率．专：计算题；锥曲线的定义、性质与方程．分析：

根抛物线方程求出点〔，0得线方为y=kx﹣与抛物线方程消得到关于的元次程，由根系的系到x+x和xx关于k的式子，结合两点的距离公式算出|AB|=

•

再利用抛物线AF|+|BF|=x+x+p=+p而AF|、成等差数列得出|AF|+|BF|=2|AB|从而建立关于、k的等式，化简整理得解，到此答．

•

=，可解答

解抛线2=2px的准线方程为﹣，准与轴交点坐标为﹣，0〕因，得到直线AB程为〔﹣抛物线=2px消去，化简整，，，与数的关系得|AB|=

•=

•

=

•、|AB|成等差数列，，根据物AF|=x+，|BF|=x+，因，得到+x+p=2化得=

•

，，去得•

+p=2=

•

，〔1+k﹣k2=，得2应选：D菁优网点：出物线线对称轴于点过点直交抛线于两AB与焦点构的三角的三边等差数列，求线的斜．着重考查了物线的定义与单几何性质直线与抛物线位置关系等知点，属于中档．平区拟在物线y=x2﹣〔≠0〕横为x=﹣，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割的一条线时与抛线圆5x2+5y2相切那么抛物线顶点的坐标为〔〕A〔﹣2，〕B〔0﹣5．，〕D〔，6〕考点：应用．专题：；轴题分析：个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；用导在切处的为切的斜求出点坐用线程的斜求直线方程用线与圆相切的条件求出出抛的坐．解：两点坐为﹣，﹣〕两连线的斜k=对于y=x﹣5y=2x+a2x+a=a﹣解x=﹣在抛物上的切点为〔1，a〕切线方为〔﹣2〕x﹣y﹣6=0直与圆相切，圆心0，到的离圆半径解或〔0舍〕抛物线程2+4x顶点标为〔2，﹣9应A．点评：查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的率、查直与圆切的要条是圆心到直的距离等于半．2021安模拟〕以四个命中正确的项〔〕A假设点与定点﹣，〔4，0〕连线、PB的之积为值，那么点的迹为的一局部B设，nR常＞0，义运算“*〞：〔〕﹣〔mn〕，设，么动点轨是抛物线的一局部

的C．两A〕+y迹是圆

=1圆B﹣〕+y

，动圆M圆A外与B内，么圆心M轨D．A〔，B〔，0〔，12圆过A，B两且以C其一个焦点，那么椭圆的一个焦点的轨菁优网设，为线，方设，为线，方一程为双线点：的定义轨迹方程．专题：；轴题．分析：直译法，求选动点的迹程，而断表的曲；利新义运，利直译求项B中线迹，判迹；圆的关利义断项中点的轨迹；利用椭圆定义，定义法判断中动点轨即可解答：解A：因PB的存以x±直率别k=2，

×

=，得9y﹣64，即±动点的轨迹双曲线的一局，A正确；B〔﹣n==

设y=

，即〔≥0，y动点的轨迹是物的局，B正确；C：由题意可知动圆M与定圆A相与圆相切MA=r+1﹣MA+MB=6＞AB=2圆的轨迹是以A，B为焦点椭圆，正；D此圆另焦的标〔，y，椭过A、B两，那CA+DA=CB+DB，15+DA=13+DB，DBDA=2＜，椭的另一焦点的轨迹以AB焦点双曲一支，D错误应选：合考查了求动点轨迹的两种方法：直译法和定义法，考查圆、圆、物线双曲的定，椭圆、双曲线、抛线的标准方程，一定难度二．解答题〔共小题〕11•天心原的曲线的个点〔，0〕的．〔〕求双曲线的方；〔〕假设以k〔k〕率的线与线交于两个的点N，且段的垂平与坐标轴围成三角形的面积为取值围．考点：应用．专题：；轴题．分析：〕出双曲线方程，根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数得线的．〔2设出直线，代入双线的程，利用判别式及根与系数的关系求出MN的点坐标，而得到段MN的直平分线方程，通求出直平分线坐标轴的交，计算围城的三角面积，由判别式于求的取值范围．解答：解解双线的方程为，b．菁优网标程标程由题得得为．〔〕解直线的程为〔k．点x，y1〔，〕的坐方组将式得，整理〔5〕x2﹣﹣4m﹣20=0．此方程有两个等实根于是﹣且=﹣〕+4〔﹣24m+20〕＞0．整得+54k＞．由根与数的关系可知段MN的中点〔〕足，．从而段MN的直线为．此直与y轴交点坐分别为，．题设得．理得，k．上式式得，整理得〔﹣52|k|〕0，k0．解得

或．所以的取值范围是

．点评：主考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条线垂、线的定分点根底识，考查曲线和方程关系等解析几何根本思方法，考推理运算能力．2021北京〕直线y=kx+m≠0〕与圆

相于，C两，O是坐标点．〔〕当点的标为〔0四形OABC为菱形，AC长〔〕当点在上不是的点时，证明：四边形不能为菱形．考：简性；点的距公．专题：；锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔I〕先据条件得线段的直平方为，从而、C的标为〔菁优网2假延设么在2假延设么在的离公式即可得出AC长；〔II〕欲明四形OABC不能为形只证假设OA=OC那么AC两横标等互相反数设OA=OC=r那么A、为x22与椭么、两点的坐标相或为相反．是结论证

的交，从解得，那解答：〕点的坐标〔01四边形OABC为形时，AC，B，1O0，，∴的垂直分线为，将y=入椭方程得±，因A、的坐标〔，于．〔II〕欲证四边形OABC不为菱形反证法四边形为菱形，那么有OA=OC，设OA=OC=r那么AC为x=r2与椭

的交，故，〔﹣么A、C两点的坐标相等为数从得到点B是的顶点．这与题设矛盾于是论得证点评：此题主要考查了椭的简单性质，直与椭圆的置关系，考查等转化思想，属于底题．．焦在轴双线C的条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A〔0，为半圆相，又知C的焦与A关直y=x称．〔1〕求曲C的方程；〔2假设是曲C上任一点F1F为线的左、焦点，从引∠QF的线垂，足为，试点N的迹方程．考：双曲线的标准程；轨迹方；双曲线的简单性．专：计算；轴题分析〔1〕双线C的线为，据题可得±1所双线的方程为一个焦与A关直y=x称可得双曲的点标进求双线的标准程〔2〕在线的支上那么到T使假的支上那上取点T，QT|=|QF|，根双线定|TF，再利用相代求迹即．菁优网TTTT解：设双曲线的近方为，kx﹣该线圆

相，双线C的渐近线方为y=x〔分故双曲线C的方程为，双线的个为2=22=1，双曲线的方为﹣=1〔6分〔2〕设在曲右，延到T，使|QT|=|OF|假Q在双曲线的左支，那么在QF上取一点，1…〔分根据曲的义|=2所以点T以F①〔分〕

为圆，2为径的圆上，即点轨方是由点N是线段FT的点，设N，yT〔x，〕那

…〔分代①并整理得的轨迹方程为

…〔14分〕点评：要考查双曲线的有关性质与定义，以及求轨迹方程的方法如相点代法14•安徽〕＞0，A的为，1B在物上，Q满，过Q与x轴直直交物于点，P满，求点P的轨迹方程．考：的应用；轨迹方程．专：；轴题分析：的坐标，利用向量的坐标公式求出向量的坐标，代入条件的向关系到各的坐关系表示出B点的坐；B的标代入抛物线方程求p的轨迹方程．解答：解：由知Q，，三点一直x轴线故设P〔x，y〔x，yM，x

〕么x﹣y0λ〔yx〕即y0〔1+λ〕﹣①菁优网直是直是再设〔1，y1由

得将入式得又点在抛线将入得〔λ〕2x﹣〔1+〕y﹣λ=〔〕﹣〕2整得λ〔1+〕﹣〔1+〕y﹣〔1+〕=0因为0所以﹣y1=0故求的点的方：y=2x﹣点评：查题中的向量关系提供点的坐标关系、求轨迹方程的重要法：关点，即出相点的标，将关的标入其足方，求动的迹方程15•南椭圆C中在点点在上它的一个顶恰好抛线率等于．〔1〕椭的方；〔2〕椭的右点作线交圆于A、B两交y于M点假设，求证：1+2定值．考点：的准方程；线与圆锥曲线的合问题．专题：；轴题分析：〔1根据椭圆C的个恰抛线求出，b的得到圆C的方．〔2〕设AB、点的坐标分别为A〔x，B〔x2，y2设的率为那么直线的程〔x﹣“立〞“设而求+达定理〞中，λ值，可到论解答：解〕椭的方为那么由题意知．〔分〕

．a．〔4分〕椭圆C的方程为分〕〔2〕设AB、点的坐标分别为A〔x，B〔x2，y2M0，y又知F点坐为，〔分〕显然线存在的率，直线的率为，那么线的方是y=kx﹣2〔7〕将线的方程代圆的程中，消y理得〔1+5k2〕2x+20k2﹣．〔分〕

．9〕菁优网为定求程线点为定求程线点直；根线，抛定得又

分〕．〔分〕点评：查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问，其根据件计出椭的标方程是解此的键．162021广抛线的为点其点〔，c＞0〕到直线：﹣y距为为直线上，点作物线C的两条切线PA，，其中A，B切点．〔1〕求物线C的方程；〔2〕当点〔x，y0〕直的，线AB的方〔3〕当点在直线上时，求•|BF|的最小．考标准程；利用数研究曲线上某点切线方程抛物线的简单性．点：专锥曲线定义、性质与方程．题：分用焦线：x﹣y的建于量的方程即解，而出抛物线的方；析：〔〕先设，，由〔1到抛物线的方程求导数，得到切线，的率，后利直线的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的程；〔3〕据物的义，，而表示|AF|•，由〔〕，x1x2=4y0，x=y0+2示成关于y0的次数的式，而即求•|BF|的最小．解解〕点〔，c＞〕到直线：x﹣y﹣2=0距离，解答：所抛物线的程为=4y〔2设，由〔1〕物线C方为，以线PB斜率分为，所：

：

②联①可点的标为，即，又为切线的斜为整理得直线的率所以线的方为整得即菁优网所2所20000因点〔x，y0〕为线l：x﹣y﹣2=0上点=x0﹣所以线的方程为〔3〕据线义有，以=〔2〕得x+x，x，=y+2所以=所以当

时，|AF|•的最小值为点线为体考查抛物线标准方程考查利用导数研究曲线的切线方程考查能有一综评性172021上双线．〔1〕求曲C的渐近方程；〔2〕点的坐标〔0，1是线上点，Q是点关于原点的对称点．记．λ的值范；〔3〕点D，M的标别为﹣2，﹣1﹣11为曲线C上第一象限内的点．l为过点与点的，eq\o\ac(△,为)DEM截线l得线的长．试将s示为直线l的斜率k的．考点：双曲的单性；线与圆锥曲的综问．专：计算题；轴题分析

〔1〕曲，1换，就得到它的渐近线方程．〔2〕设P的坐标为〔xy么的标x，y求，然后运用向量数量积的坐标算能求λ的取范．〔3根据P为曲线C上第一的点，线l的斜同值范围试表示为线l的率k的函数

再由题条件根的解：

解在双曲线，换，所求近线程为〔2〕设P的坐标为〔xy么的标x，y=菁优网的取范是〔﹣，1．〔3〕设为曲上一限的，那么线l的率由计可得，；当s表示直l的率k的数是点评：此是直线与锥线综合题解要熟练掌双线性质解技．18•南模〕抛物线y=4x上一A〔1作物的线别交x于B交y轴于点D，点C异点A〕抛物上，线AC上足

λ

；在段BC上足

λ

，λ2=1，线CD与EF交P．〔1〕设，λ〔2〕当点C在抛物线上移时，求点P的迹．点：抛物线的简单性质；向量在几何中的应用专：综合；轴题分析

〔1〕出A点切线程确出点别示，，据2，求出的值．〔2〕设〔x，y〔，yx，y表示出x，y代入抛线程，进确点迹解：解〕点A的线方程为y=x+1〔分切交轴于点B﹣，轴于点D〔，1么是的中．所．〔1〔分由同理由

=λ1

，

=〔1+λ〕=〔λ1〕

．〔〕菁优网00且=λ2

，得〕．〕将〔〔〕得．因P、三点共线所

+=1，再λ+=1，解之得．〔6分〕〔2〕〔1〕得CP=2PD，D是的中点，以Peq\o\ac(△,为)ABC重心．所以，

，

．解得=3xy=3y﹣，入y得3y﹣〕．由x01，x≠．求迹程为3y﹣2〕〔x≠．10分〕点评：此题以抛物线为载体，考查线的轨迹方程的探求及综合用能力．四川：〔＞＞0个焦为经点．〔〕求椭C的心：〔〕点A〔0〕的直线l与椭圆交MN，是线段的，且，求点的轨迹程．考：曲线与方程；轨迹方程；椭圆的简单性质．专：压轴；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分：