【高考数学考点突破】探索性问题(2020-2021)

备战备战2020-2021高考数学专业专业•标准•规范难点40探索性问题高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.・难点磁场（★★★★）已知三个向量〃、b、c,其中每两个之间的夹角为120°,若I〃I=3,IbI=2,IcI=1,则a用b、c表示为.（★★★★★）假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1-p,且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的p而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为安全？・案例探究…、bx+c 1［例1］已知函数f（x）= -（a,ceR,a〉0,b是自然数）是奇函数，fx）有最大值7,ax2+1 22且f（D>5.（1）求函数fx）的解析式；（2）是否存在直线l与y=f（x）的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点（1,0）对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.命题意图：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题.错解分析：不能把a与b间的等量关系与不等关系联立求b;忽视b为自然数而导致求不出b的具体值；P、Q两点的坐标关系列不出解.技巧与方法：充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目,注意在假设存在的条件下推理创新,若由此导出矛盾,则否定假设,否则,给出肯定的结论,并加以论证.解：（1）・・,fx）是奇函数:・f-x）=-fx），即一bx+c bx+c 二一 ax2+1 ax2+1•-bx+c=-bx-cc=0bx,fx）=一ax2+1由a〉0,b是自然数得当xW0时，fx）W0,当x〉0时，fx）〉0•・f（x）的最大值在x〉0时取得.1•・x〉0时，f(x)= -<a1—x+—bbxa1当且仅当7x=-bbxTOC\o"1-5"\h\z即x=r一时，f(x)有最大值 ===Va 2,a2诙;a _•,\'反=1,-a=b2 ①又f(1)>2，,-b->2,，5b>2a+2 ②5 a+1 5把①代入②得2b2-5b+2<0解得1<b<2又b£N,・•・b=1,a=1,f(x)= -x2+1(2)设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点(1,0)对称，--o-=yx2+1 0P(x0，yo)则Q(2-x0，-y0)，.j02-x '消去y0，得xo'-2x0-1=0 0——=-y(2-x)2+1 00解之，得x0=1土.<2,一”2 . x,;2 . ■—.P点坐标为（1+〃2，-^）或（1-〃2，--^）进而相应Q点坐标为Q（1一工：2,— ）或Q（1+、：2，亍）.过P、Q的直线l的方程：x-4y-1=0即为所求.［例2］如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、 0 £- J曰b间的距离为p，直线b、c间的距离为，,A、B为直线aj上两定点，且IABI=2p,MN是在直线b上滑动的长度为 昼 Ii2p的线段. '（1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN的外心C的轨迹E；（2）接上问，当^AMN的外心C在E上什么位置时，d+IBCI最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直线c的距离）.命题意图：本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程.错解分析：①建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键，如何建系是难点，②第二问中确定C点位置需要一番分析.技巧与方法：本题主要运用抛物线的性质，寻求点C所在位置，然后加以论证和计算,得出正确结论，是条件探索型题目.解：（1）以直线b为x轴，以过A点且与b直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系.

设^AMN的外心为C(x,y)，则有A(0,p)、M(x-p,0),N(x+p,0),由题意，有ICAI=ICMI・・.1x2+(y-p)2=、；(x-x+p)2+y2，化简，得x2=2py它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线.(2)由(1)得，直线。恰为轨迹E的准线.由抛物线的定义知d=I3I,其中F(0,p)是抛物线的焦点.・d+IBCI=ICFI+IBCI由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E的交点即为所求的点11直线BF的方程为y=4x+-p联立方程组1 1y1 1y=4x+-p得,x2=2py1「x=4p(1+七17)9+.47y二 p.16一1+,i7 9+<17即C点坐标为(丁p'[^p).止匕时d+IBCI的最小值为IBFI=--p.•锦囊妙计如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题.条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征.解决探索性问题,对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求,高考题中一般对这类问题有如下方法：(1)直接求解；(2)观察——猜测——证明；(3)赋值推断；(4)数形结合；(5)联想类比；(6)特殊——一般——特殊.・歼灭难点训练一、选择题TOC\o"1-5"\h\z(★★★★)已知直线l，平面a，直线mU平面B，有下面四个命题，其中正确命题是( )①a//0nl±m②a±0nl//m③l//mna±0 ④l±mna//0A.①与② B.①与③ C.②与④ D.③与④(★★★★)某邮局只有0.60元，0.80元，1.10元的三种邮票.现有邮资为7.50元的邮件一件,为使粘贴邮票的张数最少,且资费恰为7.50元,则最少要购买邮票( )A.7张 B.8张 C.9张 D.10张二、填空题3(****)观察sin220+cos250+sin20cos50=4,sin215+cos245+sin15

・cos450=j，写出一个与以上两式规律相同的一个等式 4三、解答题(★★★★)在四棱锥P—ABCD中，侧棱PA，底面ABCD,底面ABCD是矩形，问底面的边BC上是否存在点E.(1)使ZPED=90°；(2)使NPED为锐角.证明你的结论.(★★★★★)已知非零复数z1,z2满足Iz1I=a,Iz2I=b,Iz1+z2I=c(a、b、c均大于零)，问是否根据上述条件求出zT?请说明理由.z1(★★★★★)是否存在都大于2的一对实数a、b(a>b)使得ab,—,a-b,a+b可以a按照某一次序排成一个等比数列，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由.(★★★★★)直线l过抛物线j2=2px(p>0)的焦点且与抛物线有两个交点，对于抛物线上另外两点A、B直线l能否平分线段AB?试证明你的结论.(★★★★★)三个元件T1、T2、T3正常工作的概率分别为0.7、0.8、0.9,将它们的某两个并联再和第三个串联接入电路，如图甲、乙、丙所示，问哪一种接法使电路不发生故障的概率最大?•难点磁场.解析：如图-〃与b,c的夹角为60°,且Ia1=1—a1=3.由平行四边形关系可得-a=3c+—b，.二a=-3c--b.答案：a=-3c——b.解析：飞机成功飞行的概率分别为：4引擎飞机为：C2P2(1—P)2+C3P3(1—P)+C4P=6P2(1—P)2+4P2(1—P)+P44 442引擎飞机为C1-P(1-P)+C2P2=2P(1-P)+P2.22要使4引擎飞机比2引擎飞机安全,则有：6P2(1-P)2+4P2(1-P)+P4三2P(1-P)+P2,解得P三g.即当引擎不出故障的概率不小于2时，4引擎飞机比2引擎飞机安全.

・歼灭难点训练一、1.解析：①l±a且a〃Bnl±B,mupni±m.②a±B且l±ani//p，但不能推出i//m.③l//m,l±anm±a，由mubna±B.®l±m，不能推出a〃B.答案：B2.解析：选1.1元5张，0.6元2张，0.8元1张.故8张.答案：B二、3.解析：由50°-20°=(45°-15°)=30°一口• . ，…、3可得sin2a+cos2(a+30)+sinacos(a+30)=4.3答案：sin2a+cos2(a+30)+sinacos(a+30)=—三、4.解：（1）当ABW-AD时，边BC上存在点E，使NPED=90°;当AB>,AD时，使NPED=90°的点E不存在.（只须以AD为直径作圆看该圆是否与BC边有无交点）（证略）（2）边BC上总存在一点，使NPED为锐角，点B就是其中一点.连接BD,作AF±BD，垂足为F,连PF,•PA，面ABCD,APF±BD，又△ABD为直角三角形，AF点在BD上，ANPBF是锐角.同理，点C也是其中一点.5.解：•「Iz汁z2I2=(z4z2)(z+z)=1zJ2+lz2l2+(z1z+1 2 12 1 2 1 2 12・•.C2=a2+b2+(z1z2+z1z2)即：z1z2+z1z2=C2一a2一b2——zzz•z1W0,z0W0,・•z1——zzz•z1W0,z0W0,・•z1z+z•z0=~1~2~-2 12 1 2z2zzz+112z1=lz2I2(z)+|zJ2(t)

1z1即有：b2(3z2)+a2(32)=zz+zzz12 121zAb2(一z2)+a2(z)=c2-a2-b2z1Aa2( )2+(a2+b2-c2)(z1zt)+b2=0z1这是关于z的一元二次方程，解此方程即得z的值.6.解：a>b,a>2,b>2,Aab,—,a-b,a+b均为正数，且有ab>a+b>—,ab>a+b>a-b.假设存在一对实数a,b使ab,-,a+b,a-b按某一次序排成一个等比数列，则此数列必是a单调数列.不妨设该数列为单调减数列，则存在的等比数列只能有两种情形，即①ab,a+b,a-b,-，或②ab,a+b,b,a-b由（a+b）2Wab•-所以②不可能是等比数列，若①为等比数aa a列，则有：a=7+5v2710+7<2b= 2(a+a=7+5v2710+7<2b= 2b(a+b)(a一b)=ab•一a经检验知这是使ab,a+b,a-b,-成等比数列的惟一的一组值.因此当a10+722 b、a=7+5%：2,b= 2 时，ab,a+b,a-b,一成等比数列U.7.解：如果直线l垂直平分线段AB，连AF、BF,•:F(p-,0)日..FFA1=1FBI,设A(xpy1),B(x2,y2),显然x1>0,x2>0,y干y2,于是有(x1——)2+y12=(x2--)2+y22,整理得：(x1+x2-p)(x1—x2)=y22-y12=—2p(x1—x2).显然x干x2(否则AB±x轴，l与x轴重合，与题设矛盾)得：x1+x2-p=-2p即x1+x2=—p<0,这与x1+x2>0矛盾，故直线l不能垂直平分线段AB.8.解：设元件T/T2、T3能正常工作的事件为A「A2、A3,电路不发生故障的事件为A,则p(A1)=0.7,P(A2)=0.8,P(A3)=0.9.(1)按图甲的接法求P(A)：A=(A1+A2)•A3，由A1+A2与A3相互独立，则P(A)=P(A1+A2)•P(A3)又P(A,+A)=1—P(A+A)=1-p(A•A)由A,与Ao相互独立知A与A相12 1 2 1 2 1 2 1 2互独立，得：P(A•A )=P (A )•P(A )=[1-P(A,)] •[1-P(A.)] =(1-0.7)12 1 2 1 2X(1-0.8)=0.06,・'・P(A1+A2)=01一P(A'•可)=1—0.06=0.94,・•・P(A)=0.94X0.9=0.846.(2)按图乙的接法求P(A)：A=(A1+A3)-A2