中考数学复习指导：中考数学中的“新概念数学”

中考数学中的“新概念数学”

近年来，各地中考出现了一类在新定义下求解的试题，即所谓“新概念数学题”，本

文列举如下，供读者练习参考.

一、以平行四边形、菱形为载体的"n阶准菱形”

例1)邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一

次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…

依次类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形.

如图1(1),口ABCD中，若AB=1,BC=2,则OABCD为1阶准菱形.

(1)(2)

图1

(1)判断与推理：

①邻边长分别是2和3的平行四边形是阶准菱形；

②小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图1(2),把口ABCD沿BE折叠(点E

在AD上)，使点A落在BC边上的点F,得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE是菱形.

(2)操作、探究与计算：

①已知0ABCD的邻边长分别为1,a(a>l),且是3阶准菱形，请画出。ABCD及裁

减线的示意图，并在图形下方写出a的值；

②己知CABCD的邻边长分别是a,b(a>6),满足a=6b+r,b=5r,请写出口ABCD

是几阶准菱形.

解(1)①2阶；

②由折叠知/ABE=/EBF,AB=BF,

四边形ABCD是平行四边形，

；.AE〃BF,NAEB=/EBF,

/.ZABE=ZAEB,

，AB=AE,AE=BF.

.•.四边形ABFE是平行四边形,

...四边形ABFE是菱形.

⑵

①

AD4D

/L1/1~1n~n

BCBC

②10阶准菱形

图2

评析此试题以平行四边形、菱形、一元一次方程等核心知识为载体，要求学生通过

阅读理解、判断推理、操作计算、抽象概括等方式进行即时的学习和研究，倡导了以学生

自主学习为主体的新课程理念，很好地引导师生转变教与学的方式，问题的设置简洁而内

涵丰实，试题呈现方式新颖独特，很清晰地展示了开展一类课题学习的研究模式：定义一

一问题一一推理判断一一操作探究一一抽象概括.试题以能力立意，要求学生灵活运用分

类讨论等数学思想，以及从具体到抽象、从特殊到一般、正逆向并存的思维方式.

二、以函数、正方形为载体的“伴侣正方形”

例2已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当

四边形ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴

侣正方形.例如：如图3,正方形ABCD是一次函数y=x+l图象的其中一个伴侣正方形.

(1)若某函数是一次函数y=x+L求它的图象的所有伴侣正方形的边长;

k

(2)若某函数是反比例函数y=-(k>0),它的图象的伴侣正方形为ABCD,点D(2,

x

m)(m<2)在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式;

(3)若某函数是二次函数y=ax2+c(a?£0),它的图像的伴

侣正方形为ABCD,C、D中的一个点坐标为(3,4).写出伴侣

正方形在抛物线上的另一个顶点坐标,写出符合题意

的其中一条抛物线解析式,并判断你写出的抛物线的

伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？.

解(1)当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，正方形ABCD的边长为血：

当点A在x轴负半轴、点B在y在半轴上时，设正方形的边长为a,易得3a=血，解得

a--,所以正方形边长为上0；

33

(2)如图3,作DE,CF分别垂直于x、y轴，

易知△ADFZ\BA04CBF.

此时，m<2,DE=OA=BF=m,

0B=CF=AE=2—m.

・・・OF=BF+OB=2.

・・・C点坐标为(2—m,2),

.*.2m=2(2—m,),解得m=l.

2

反比例函数的解析式为y=±

(3)(-1,3)；(7,-3)；(-4,7)；(4,1).

对应的抛物线分别为:

所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.

评析此试题以一次函数、反比例函数、二次函数和正方形等核心知识为载体，以能

力立意，要求学生灵活运用分类讨论、数形结合等数学思想，以及从易到难、正逆向并用

的思维方式进行推理.学生对函数概念的理解有一个逐步发展的过程，此题对函数内容的

编排体现了螺旋上升的、不断深化的过程,

三、以抛物线、等腰三角形、中心对称为载体的“抛物线三角形”

例3如果一条抛物线y=ax2+bx+c(aWO)与x轴有两个交点，那么以该抛物线

的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.

(1)“抛物线三角形”一定是三角形；

(2)若抛物线为=-x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；

(3)如图4,ZMDAB是抛物线丫2=-x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点

O为对称中心的矩形ABCD?若存在，求出过D、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在,

说明理由.

解⑴等腰；

(2)：“抛物线三角形”是等腰直角三角形，

hh2hh2

该抛物线的顶点坐标G，?)满足］=?(b>0),

.*.b=2：

(3)存在.作4OCD与AOAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD是平行四边形,

当OA=OB时，平行四边形ABCD是矩形.

又：OA=OB,.•.△OAB是等边三角形，作AE_LOB,

・••《I•给=5。邑

12»

1=有，5(b>0)b=24，

4(6,3),8(2有,0),C(-3),0(-

24,0),

过O、C、D三点的抛物线y=J+2辰.

评析此题以抛物线、等腰三角形等核心知识为载体，引出抛物线三角形这个数学新

概念，结合中心对称、矩形知识，考察学生的认知、应用等能力.

四、以坐标系中两点之间距离为载体的“非常距离”

例在平面直角坐标系中，对于任意两点与丫的“非常

4xOyPi(X1,yi)P2(X2,2)

距离“，给出如下定义:

若|西一々上加一％|，则点P1与P2的“非常距离"为|石-讣

若13721Vl凹_%|，则点Pl与P2的“非常距离”为一一力卜

例如：点Pi(l,2)与P2(3,5),因为"3|〈|2-5|,所以点Pi与P2的''非常距离”为

|2—5|—3.

(1)已知点A(一0),B为y轴上的一个动点.

①若点A与点B的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标；

②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值.

3

(2)已知C是直线y=-x+3上的一个动点.

①点D的坐标是(0,1),求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐

标；

②E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”

的最小值及相应的点E和点C的坐标.

解⑴①(0,-2)或(0,2)；②0.5

(2)设点C的坐标为(g,%+3).

①当-3=13+2时，/=-尸.所以

点C与点。的“非常距离”的最小值与，点C

的坐标(-

②点£的坐标(-

33,4

•・•一y-/二4~X°+3-y，

■，点C的坐标(-

点C与点D的“非常距离”的最小值1.

评析此题将坐标系中两点之间距离、一次函数、直线与圆的位置关系等核心知识相

结合，从求两个定点的非常距离，到求定点与动点非常距离的最小值，由浅入深、由易到

难，体现数学知识的迁移性.

五、以直角三角形中的勾股定理逆定理为背景的“奇异三角形”

例5阅读下面的情境对话，然后解答问题：

老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异

三角形.小华：等边三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形是否存在奇异三角形

呢？

(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异

三角形”是真命题还是假命题？

(2)在RtZ^ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若RtZ\ABC是奇异三角形，

求a：b：c：

(3)如图5,AB是。。的直径，C是。0上一点(不与点A、B重合)，D是半圆WDB

的中点，C、D在直径AB的两侧，若在。0内存在点E,使AE=AD,CB=CE.

①求证：4ACE是奇异三角形；

②当4ACE是直角三角形时，求NAOC的度数.

图5

解(1)真命题；

(2)在RtAABC中,1+b2=c2,

c>b>a>0,

2c2>a1+b2,2a2<c2+b2.

•••若RtZUBC是奇异三角形，则有

2b2=c2+a22b1=a2+(a2+b2).

b2=2a2,b=-/la.

c2=b2+a2=3a2c=-fia,

：.a：6：c=1：至：百；

(3)①是。。的直径，

Z.ACB=乙ADB=90°.

在RtAABC中+BC2=AB2.

在RtAADB中,心+BD2=AB2.

•••点。是半圆砒的中点,我=筋.

AD=BD,:.AB2=AD2+BD2=2AD2,

AC2+CB2=2AD2.

又CB=CE,AE=AD,

AC2=CE1=2AE1,

ZkACE是奇异三角形；

②由①可得△曲是奇异三角形，

AC2=CE1=2AE2.

当a/iCE是直角三角形时，由(2)可得

AC：AE：CE=\：&：3,

或4C：AE：CE=百："：1.

(i)当4c：4E：CE=1："：3时，

AC-CE=1：有，即AC：CB=I：有.

•••LACB=90。，；.乙ABC=30°,

/.Z.AOC=2248c=60°；

(ii)当AC：4E：CE=有：犷：1时，

4C：CE=有：1,即心CB=有：1.

---乙ACB=90°,/.乙ABC=60°,

/.AOC=2乙ABC=120°,

Z.AOC=2/.ABC=120°,

•••44。。的度数为60。或120。.

评析此题要求学生通过观察、实验、归纳、类比、推断获得数学猜想，体验数学活

动的探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性.

六、以角平分线、四边形为载体的“准内点、准等距点”

例6定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边

形的准内点.如图6,PH=PJ,PI=PC,则点P就是四边形ABCD的准内点.

(1)如图7,NAFD与NDEC的角平分线FP,EP相交于点P.求证：点P是四边形

ABCD的准内点；

(2)分别画出平行四边形和梯形的准内点；

(3)判断下列命题的真假：

①任意凸四边形一定存在准内点；

②任意凸四边形一定只有一个准内点；

③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD.

解(1)如图7,过点P作PG_LAB.PH1BC,PI1CD,PJ1AD.

：EP平分NDEC,PO=PH.

同理PG=PI.

：.P是四边形ABCD的准内点；

(2)平行四边形对角线AC,BD的交点Pi就是准内点，如图8(1)；

或者取平行四边形两对边中点连线的交点P)就是准内点，如图8(2)；

梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点P2就是准内点.如图8(3).

(3)

........图8

(3)真；真；假.

例7.四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，

但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准

等距点.如图9,点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB,PA二PC,

则点P为四边形ABCD的准等距点.

(1)如图10,画出菱形ABCD的一个准等距点.

(2)如图11,作出四边形ABCD的一个准等距点.

(3)如图12,在四边形ABCD中，P是AC上的点，PAWPC,延长BP交CD于点E,

延长DP交BC于点F,且NCDF=/CBE,CE=CF.求证：点P是四边形ABCD的准等

距点；

(4)试