高数课后习题难点12

1有一盛满了水的圆锥形漏漏斗，高为10cm,顶角为60。，漏斗下面有

面积为0.5cm2的孔，求水面高度变化的规律及流完所需的时间.

解设方时该已流出的水的体积为V,高度为x,则由水力学有

—=0.62x0.5x7(2x980)%,即dV=O.62xO.5xJ(2x98O)xdf.

又因为r=xtan3O0=X

故V=-7rr2dx=-^x2dx,

从而0.62x0.5x^(2x980)%^=,

3

即dt-----------—~,x2dx,

3x0.62x0.572x980

5

因此t_______-送+C.

-3x0.62x0.572x980

5

又因为当占）时，尺10,所以c=--------------------——

3x5x0.62x0.572x980

故水从小孔流出的规律为

555

t=(102-X2)=-0.0305x2+9.645.

3x5x0.62x0.572x980

令x=0,得水流完所需时间约为10s.

2质量为1g（克）的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比,

和质点运动的速度成反比.在Z=10s时、速度等于50cm/s,外力为4g

cm/s；问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？

解已知F=d,并且法t=10s时，K=50cm/s,左=4gcm/s；故

V

4=碟,从而〃=20,因此F=20L

50v

又由牛顿定律，F=ma,即卜半=202，故vdv=20t.这就是速

atv

度与时间应满足的微分方程.解之得

yv2=10/2+C,即v=,20/2+2C.

由初始条件有全502=10'102+。，0:250.因此

v=V20r2+500.

当Z=60s时，V=V20X602+500=269.3cm/s.

5.镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存量7?成

正比.由经验材料得知，镭经过1600年后，只余原始量分的一

半.试求镭的量力与时间方的函数关系.

解由题设知，

妪一R,即遮=—孙

atR

两边积分得

InR=—九方+G,

从而R=d(C=e、.

因为当t=0时，代/，故曲=Ce°=C即代几/竺

又由于当2=1600时，故/o=&eT6叫从而九;白、

_Jn2_.

因此R=丽=^-0.0004331.

6.一曲线通过点⑵3),它在两坐标轴间的任一切线线段均被

切点所平分，求这曲线方程.

解设切点为户(x,y),则切线在X轴,y轴的截距分别为2x,2%

切线斜率为

2y-0=y

0-2xx'

故曲线满足微分方程：学一即“，=-L/x,

axxyx

从而In丹InmlnC,xy-C.

因为曲线经过点⑵3）,所以必2x3=6,曲线方程为“产6.

7.小船从河边点。处出发驶向对岸（两岸为平行直线）.设船

速为a,船行方向始终与河岸垂直，又设河宽为右河中任一点

处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为A）.

求小船的航行路线.

解建立坐标系如图.设力时刻船的位置为（x,此时水速为

v=-=ky（h-y）,故.dx=ky（h-力dt.

at

又由已知，尸口，代入上式得

dx=kat{h-at）dt,

积分得

23

x=—2kaht~~—3kat+C.

由初始条件才|r=O=0,得UO,故》=夕"产.

因此船运动路线的函数方程为

x=^-kaht2-^-ka2t3

■23,

y=ay

从而一般方程为》=幺（如2二3）.

8用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然

后求出通解：

（1）半=（x+y）2;

ax

解令i^x+y,则原方程化为

两边积分得

户arctanu+C.

将gx+y代入上式得原方程的通解

marctan(x+y)+C,即尸一A+tan{x-C).

⑵半=，+1；

axx-y

解令u=x-y,则原方程化为

1--=-+1,即dx=-udu.

dxu

两边积分得

x=-^ii~+C|.

将gx+y代入上式得原方程的通解

x=—£(x—y)2+a，即(>y)2=—2x+。(a2G).

(3)A/+y=y(lnAH-lny);

解令u=xy,则原方程化为

x(jdu_^)+u=u]m(i即_1八=，々

xdxx1xxxumu

两边积分得

InA+lnC=lnlnu,即u=e'.

将g盯代入上式得原方程的通解

xy=e\即〉=戛。了.

x

(4)/=y+2(sinx—l)丹siniZsinACOSA4-1；

解原方程变形为

_/=(丹sinA1)2—COSx.

令«=y+sinx-1,则原方程化为

--COSX=M2-COSX,B|J-\du=dx.

dxir

两边积分得

---=x+C・

u

将gy+sin%-1代入上式得原方程的通解

-------r-----=x+C,即y=l-sinx-------

y+sinx-1x+C

(5)y(jrjH-l)dx+x(1+xy+xy).

解原方程变形为

dy=)'(x)'+l)

dxx(l+xy+x2y2),

令u=xy,则原方程化为

1du__u__〃(u+l)g|j1du_.3

xdxx2x2(l+w+w2)?xdxx2(l+w+w2)

分离变量得

—1/d7x=_/(-J—1yl—)du.

xu5u

两边积分得

Inx+G1——r——+lnw.

2M2u

将g灯代入上式得原方程的通解

Inx+C]-----J~~X---FInxy,

2x2y2xy

即2*/lny-^xy-\=Cxy{C=^C^).

9利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解:

(1)(%+y){dx-dy)=dx+dy,

解方程两边同时乘以得

x+y

dx-dy=(lx+cly,即d(x-力=9!1(x+y),

所以一匚为原方程的一个积分因子，并且原方程的通解为

x+y

A尸In(A+D+C

(2)ydx-xdy+yxdx=Q;

解方程两边同时乘以占得

y

泌了d)，+xdx=0,即屋)+或舄=0,

y2y2

所以步为原方程的一个积分因子，并且原方程的通解为

2

-+^=c.

y2

⑶y(x-3y)o^+(l-3y%)dy^=Q;

解原方程变形为

xydx-3ydx+dy^Zxdy=Q,

两边同时乘以」并整理得

y

xdx+^--(3ydx+3xdy)-0,即d(^-)-d(—')-3d(xy')=0,

所以点为原方程的一个积分因子，并且原方程的通解为

(4)xdx+ydy^=(/+y)dx,

解方程两边同时乘以一^得

xz+yz

—公=0,即点n(x2+y2)］一公=0,

力+y」2

所以上为原方程的一个积分因子，并且原方程的通解为

2,2「2x

x+y=Ce.

(5)(A-/2)dx+2xydy-Q-,

解原方程变形为

xdx-ydx+2xydy=^,

两边同时乘以占得

在+为岭也=0,即曲nx)+d(f)=o,

xxzX

所以人为原方程的一个积分因子，并且原方程的通解为

lnx+^-=C,即xlnx+y-Cx.

x

(6)2ydx-7)xydx-xdy=^).

解方程两边同时乘以x得

2xydx-xdy-?>xydx=Q,即yd{x}-xdy-Zxydx=Q,

再除以/得

必4丁%*0,即屋l_x3)=0

Vy

所以方为原方程的一个积分因子，并且原方程的通解为

--丁=0.

y

10.用积分因子法解下列一阶线性方程：

⑴xp+2尸41nx;

解原方程变为y+4=41nx,其积分因子为

XX

〃(x)=eE"'=，，

在方程y+4=41nx的两边乘以步得

XX

xy+2xj^4xInx,即(*y)'=4xlnx,

两边积分得

x2y=14xlnxJx=2x2lnx-x2+C,

原方程的通解为y=21nx-l+与.

X

(2)/-tanx-y=x.

解积分因子为〃(外=屋做.必=854

在方程的两边乘以cosX得

cosx-/-sinx・y=xcosx,即(cosx-y)r=^cosx,

两边积分得

cosx-y=Jxcosxdx=xsin尤+cosx+C,

方程的通解为y=xtanx+l+—^―.

cosx

(3)xdx+ydy+，'「呼=0；

xz+yz

解因为

xdx+ydy=dC^-),

ydx-xdy_]ydx-xdy

/+y2]+g)2y2

y

=——-——J(—)=J(arctan工),

1+(卬>>

y

所以原方程可写成

+arctan-)=0,

22y

从而原方程的通解为

x2+y2+2arctan—=C.

y

11验证：产Ge'+OCcos%+Gsinx-x{C^C、C、&是任意常

数)是方程/)-六*的通解.

解令力=e；%=夕；7；=cosx,j<i=sinx,y*=-x.因为

yi(1)-yi=e-e'=O,

%⑴-%='*一夕'=0,

为(4一)斤cosx-cosA=0八,

(4),,八

%一必=sinASin

并且

exe~xcosxsinx

ex-e~x-sinxcosx=4#。

exe~x-cosx-sinx-9

exe~xsinx-cosx

所以y=e；y2=e\〃3=cosx,%=sinx是方程/"一尸0的线性无关解,

从而修Ge'+Ce-'+CcosA+Gsinx是方程的通解.

又因为

户⑷-口=0-(-/)=尤

所以产=-V是方程y⑷-尸步的特解.

因止匕尸Ge"+GeT+Ccosx+Gsin七下是方程-产1的通解.

提示：

令Ae'+^e-'+^cosA+Asinx=0,

贝ijkxe-k^-kssiviA+A4cosx=0,

x

kie+k2e~-k3cosAnisinx=0,

k\e+kz^'+ksSin^AiiCosx=0.

上术等式构成的齐次线性方程组的系数行列式为

exe~xcosxsinx

xx

e-e~-sinxcosx=4肛

exe~x-cosx-sinx

exe~xsinx-cosx

x

所以方程组只有零解，即y=e；y2=e,y3=cosx,y4=sinx线性无关.

12在如图所示的电路中先将开关片拨向A,达到稳定状态后再将开关

〃拨向及求电压&&）及电流/（t）.已知R20V,^0.5x104（法）,

Z=0.1H（亨）,代2000Q.

解由回路电压定律得

E=L^--^-Ri=Q.

dtC

由于广。故i=%c4,S=c（,所以

dtdt

-LCu^-uc-RCuc=0,UP4'+/4+=0•

jL>

已知旦=2222=2x1（）4,_L----1---^=lxio8,故

L0.1LC=0.1x0.5x10-65

48

M"+2X10M；+1X10MC=0.

微分方程的特征方程为

r2+2xl04r+|xl08=0,

其根为力=-1.9x10；n=-10,故微分方程的通解为

由初始条件方=0时,=20,公=0可得G=-9，。2=*.

因此所求电压为

人（£）=.（"1。JT6叫（V）.

所求电流为

&）=骂*10-2伫.9必04.-血）（A）.

1O

13设圆柱形浮筒，直径为0.5m,铅直放在水中，当稍向下压后突然放

开，浮筒在水中上下振动的周期为2s,求浮筒的质量.

解设夕为水的密度，S为浮筒的横截面积，〃为浮筒的直径，且

设压下的位移为x（如图所示），则

f=-pgS-x.

又f=ma=m^-,因而

-pgS-x=m^-,BPm^-+pgSx=O.

dr

微分方程的特征方程为勿产+夕异0,其根为

故微分方程的通解为

x=CcosCsin,

{Vm2Vm

Vm

由此得浮筒的振动的频率为吟迪.

Vm

因为周期为T=2,故红=2勺匡=2,/”=绊.

CD\pgS记

由片1000kg/m；齐9・8m/s；Zfe0.5m9得

pgS2。，

m=-*=-10-0-0-x-9--.8-x-0-.-5=1[905km.

4241

14求下列各微分方程的通解:

y,-2/+5y=esin2^

解微分方程的特征方程为

/-2ZH-5=0,

其根为，,2=1±2I；故对应的齐次方程的通解为

修e"(Gcos2x+Csin2x).

因为F(x)=e'sin2x,4+/公=1+2,是特征方程的根,

故原方程的特解设为

7*=xe*(/cos2A+8sin2x),

代入原方程得

e*14氏os2户44sin2x]=e"sin2x,

比较系数得A=-：,B=Q,从而y*=-%e'cos2x.

因此，原方程的通解为

x

y=e(C\cos2x+C2sin2x)-%e*cos2x.

y"+y=e+cosA;

解微分方程的特征方程为

?+1=0,

其根为.，故对应的齐次方程的通解为

修GeosA+Csinx.

因为_f(x)=£(x)+£(x),其中f\(x)=e,£(x)=cosx,而

方程尸+尸/具有//形式的特解；

方程_/'+尸cosx具有x(及osAH-6sinx)形式的特解，

故原方程的特解设为

y^=Ae+x{BcosA+6sinx),

代入原方程得

2,A&+2Ccosx-2Bsinx=e'+cosx,

比较系数得A*,隹0,C*,从而上宗+守nx.

因此，原方程的通解为

y=Gcosx+C2sinx+/e*+-^sinx.

jf,2

"一产sinx.

解微分方程的特征方程为

r-l=O,

其根为r.=-l,々=1,故对应的齐次方程的通解为

Y=C,e\Qe.

因为/(xhsiMxWcos2x,而

方程y”_y号的特解为常数/；

方程y"-y=cos2x具有&os2x+Ain2x形式的特解,

故原方程的特解设为

产=/+氏os2叶氏in2x,

代入原方程得

-A-5Bcos2x-5Csin2x=!-2cos2x,

22

比较系数得4=-5,8=而，C=Q,从而y*=-£++cos2x.

4JI乙JL

因此，原方程的通解为

15在日£、。含源串联电路中，电动势为少的电源对电容器。充电.已

知房20V,必0.2环（微法），Z=0.1H（亨），代1000。，试求合上开关〃后

电流i（1）及电压u人t）.

解（D列方程.由回路定律可知

L・CU!+R・C・u；+Uc=E,

PHH.R,1_E

即M(+LM<F+ZcMc=Zc,

且当方=0时,U<=0,Ue=0.

已知隹1000Q,Z=0.1H,a0.2环，故

/?-00-1

L一1o011

1_1—SvlO7

LC-O.lxO.2xlO-6-''

779

—LC=5X10£=5X10X20=10.

因此微分方程为4'+1。4,+5x107”,=109.

(2)解方程.微分方程的特征方程为?+10W-107=0,

33

其根为r1)2=-5xio±5xio7.因此对应的齐次方程的通解为

33

uc=e-5*i叫Gcos(5xl0)/+C2sin(5xl0)z].

由观察法易知产=20为非齐次方程的一个特解.

因此非齐次方程的通解为

33

=^-5xio^[Ccos(5xl0)r+C2sin(5xl0X]+20.

由z=0时，〃尸0,加=0,得c=—20,C=—20.因此

_5xlo3f33

wc=20-2(fe[cos(5xl0y+sin(5xl0)r](V),

625xlo，,3

i(t)=Cu'c=0.2xl0-<=4xlO-e-sin(5xlO/)](A).

16.一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m另一端离

开钉子12m,分别在以下两种情况下求链条滑下来所需的时间：

(1)若不计钉子对链条所产生的摩擦力；

解设在时刻t时一，链条上较长的一段垂下和，且设链条的密度

为夕，则向下拉链条下滑的作用力

F=xpg—(20-才)夕a2Pg(x—10).

由牛顿第二定律，有

20"'=2pg(A10),即x"磊x=-g.

微分方程的特征方程为

r=o,

其根为弓=-括/2=宿，故对应的齐次方程的通解为

由观察法易知产=1。为非齐次方程的一个特解，故通解为

由*0)=12及3(0)=0得G=C=1.因此特解为

x=e+e^'+10.

当产20,即链条完全滑下来时有e“'+e檎'=10,

解之得所需时间

(2)若摩擦力为1m长的链条的重量.

解此时向下拉链条的作用力变为

F=xpg_（20—x）pg-\pg=^pgx-2\pg

由牛顿第二定律，有

20「戈'=2夕g^21侬即x"—击x=-l.O5g.

微分方程的通解为

由x(0)=12及/(0)=0得因此特解为

犬=州岛+湍)+10.5.

当产20,即链条完全滑下来时有3#'+湍')=9.5,

解之得所需时间

17试用事级数求下列各微分方程的解：

⑴〃一x尸x=l;

解设方程的解为y=a°+£%x",代入方程得

X〃即x"T-劭％-X%x"+1-X=1,

即（勾一1）+（勿2—曲-1Q+：■〃+2）%+2-%=°♦

可见31—1=0,2a2-4―1=0,（72+2）（3,,4-2—3,^0（72=1,2,•••）,

八_1+。0_1〃一1+他

于是a1-1,a2——--一无，4-丁

11+劭

(24)!!',

00|丫。丫

所以产为+g[/不2"1_|_1+022]

『+|;小，1+("。薄亭

2

XCC[

=-1+(1+劭)”+石砺声*

即原方程的通解为y-Cei-i+X—^—x^

k=\(2K—I)!!

⑵/+犷+六0；

解设方程的解为y=£a,x",代入方程得

w=0

_8__8__00_

(〃-〃一2十元2〃。〃%〃一】+=0,

n=2n=\〃=0

_oo,

艮|jg+勿2+£[(〃+2)(〃+1)。〃+2+(〃+1)%卜"=0,

n=\

于是11(-1/

。2=_2&，。3=一铲1，°°"21=皿勾'"2人二砌出,,

所以……噌^"'商「(―1)产%()+2k君(—1京)%1i”]+li

§1(J)k।q§(T)IdI

―=a2)'^(2^-1)!!

2

a~^20(fl姆-

劭'e++*a*)!!*i'

即原方程的通解为

尸8(fl21

y=GeE+gZ

k=\(2J)!!

⑶xy"-（x+勿）_/+加尸0（勿为自然数）;

解设方程的解为y=代入方程得

〃二0

彳2"(〃一1)4炉2—(1+机)2〃册工“-1+团£2/"=0,

n=2n=\n=0

CO

即加(。0—。])+2[(〃+1)(〃一团)%+1一(〃一加)。〃口"=0.

n=\

可见(ao-ai)/n=0,(n-ni)[(ZH-1)=0(加力)，

于是an-aha„=——肥~—(n>m+2),a„=^-al(n<m).

〃(〃一1)…(机+2)〃！

一〃？n8x,

所以)』。+就

1I、〃y、n

=劭25*+/+―+(加+1)!41+1E7?

〃=0"n=m+2"

mnoon

=q)t^r+。"+D4+I£和

〃=()"•n=m+\

m〃？nin

=劭2^7+(加+1)%+1(/-2?

n=0几n=0"

■4n

A

=(m+l)!a„l+1e+[a0-(/n+l)\am+x,

n=on-

即原方程的通解为

y=3+C2f斗(其中G,G为任意常数).

n=0n-

(4)(l-jr)y=/-7；

解设方程的解为y=f%x",代入方程得

〃二0

_00,_8,

。一X)Z〃%x"T=x2—,

n=ln=0

2n

即a1+%+2a2x+(3%-a2-l)x+^[(n+V)all+i-nan+an\x=0.

n=3

口J见囱+为=0,232=0,3a3-必一1=0,(77+1)dn+\—(7?—1)<3//=0(77^3)9

于是a产一a°,电=0,%=4，a„=—«„_!=2—(/?>4).

3nnz(n-l)

因此原方程的通解为

3

y=C(l-x)+|x+f-?—(必为为任意常数)..

3M〃(〃-D

(5)(x+l)V=*-2x+y.

QO

解设方程的解为y=£