一元一次不等式组的应用典型例题

例题

《元次等组应》型题车站有待运的甲种货物，乙种货物1150吨，原计划用A,B种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节A货箱的运费为万元，每节B货箱的运费为万元物35吨和乙种货物吨可装满一节A型货箱种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节型箱此要求安,B种货箱的节数有哪几种方案？请你设计出来说明哪种方案的运费最少？例题

幼儿园大班分苹果每人分3个余8个前面每人分个，则最后一个小朋友得到的苹果数不足3个，求有多少个小朋友和多少个苹果？例题3

某班需要买一些笔记本和钢笔以表扬在数学竞赛中获奖的学生，已知笔记本的单价是元，钢笔的单价是8，且购买奖品的金额不超过70元．问至多能买几支钢笔？例题4

某宾馆底楼客房比二楼少，某旅游团有48，若全安排在底楼，每4人，房间不够，每人，有房间没有住满，又若安排住二楼，每间3人，房间不够，每间4人，又有房间没有住满，问宾馆底楼有客房几间？例题

幼儿园有玩具若干件，分给小朋友，如果每人件，那么还余件果每人分5件么最后一个小朋友少几件这个幼儿园有多少玩具？多少个小朋友？例题

某工厂现有甲种原360kg原料290kg利用这两种原料生产两种产品共件．已知生产一A产品需甲种原料9kg、乙种原料3kg；生产一件B产品需甲种原料、乙种原料10kg．（1）设生产xA产品，写出x应足的不等式组；

（2）如果x是数，有哪几种符合题意的生产方案？请你帮助设计．例题一条铁路线A,,C,E站之间的路程如图所示米列火车7：30从A开出，向站行驶，行驶速度为80km/h，每站停车时间约4min这列火车何时行驶在D与E之不包括D铁路线上．例题某自行车厂今年生产销售一种新自行车，现向你提供以下有关信息：（1）该厂去年已备有这种自行车的车轮只，车轮车间今年平均每月可生产车轮1500只，每辆自行车需装配2只轮；）该厂装配车间（自行车生产最后一道工序的生产车间）每月至少可装配这种自行车1000辆，但不超过1200辆；（3）今年该厂已收到各地客户订购这种自行车共辆的订货单；（4）这种自行车出厂销售单价为500元辆．设该厂今年这种自行车的销售金额元，请你根据上述信息，判a取值范围．例题

某园林的门票每10元次使用虑人们的不同需求为了吸引更多的游客园林除保留原来的售票方法外推出了一种购买个人年票的售票方个人年票从购买日起供持票者使用一年ABC类：A类票每张120元，持票者进入园林时，无需再买门票；B年票每张元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2；C类年票每张元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元．（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中0元花在该园林的门票上，试通过计算，找出进入该园林的次数最多的购票方式．（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买在票比较合算．

例题10有两个学生参加四次测验，他们的平均分数不同，但都是低于90分的整数又参加了第五次测验后他们的平均成绩都提高到分在第五次测验时，这两个学生的分数各是多少？（满分分，得分都是整数）例题11

大小盒子共装99个盒装12个5个完，盒子个数大于10，问：大小盒子各多少个？

例题

分析

参考答这是一道方案设计优化问题，要将货物运至北京，车厢的总装载重量必须大于或等于货物的总量，由此可列不等式。解答

设需要A车x，由题意得

x)15x)解28x30，因为x为数，所以x28，29，30，即有3种方案：（1）A型节，B22节型29节，B21节30节，B20节，由题意知费0.8(50)40时取小值，即A车厢20节，B车厢20节时运费最少．例题

分析设个小朋友，则苹果数3．如果每人5个，因为最后一个小朋友的苹果数不足，所3x应5(x5(间，可得不等式组．解答

设幼儿园大班共个小朋友，根据题意得xxx13由（1）xxx；2由（2）3xxxx所以不等式组的解集

132

．又因为整数，x．所以，有6个小朋友，共有苹果＋8＝26（个例题

分析

因为每人只1件奖品记本和钢笔的数量和是金额不超过70元．根据题意，可列出下列由方程和不等式组成的式子．

解答

设购本笔记本支钢笔，依题意可得y10,）70.（由（1）x70将（3）代入（2）3.5(10)70解．9y正整数，所的最大值是7，即至多能买7支钢笔．例题

解答

设底楼间客房，则二楼有间客房，48根据题意，得，448∴9＜12．x48依题意，又可得，4(x5)∴7＜11．故=10．答：底楼有10间客房．说明

本题是列不等式解应用题定设未知数后键是找出不等式关系和列出不等式，为此须认真斟酌关键词语如“不够”和“没住满”的含义．例题

分析

此问题中有两个未知数，且没有等量关系，有不等关系，因此可考虑用不等式组来解．解答

设小朋友x，则有

xx

(2)解（132解（2，∴29.5x32.∵x为数，∴30,31.此359

答：幼儿园有小朋30人，玩149件；幼儿园有小朋31，玩152件．说明

利用一元一次不等式组解应用题的步骤与列一元二次方程组解应用题大体相同同的是后者寻求的是等量关系出的是等式者寻求的是不等关系出的是不等式且解不等式组所得结果通常为一解集从解集中找出符合题意的答案．例题

解答（1）根据题意x满不等式组：)x)（2）解不等式组，得

3032因为x是数，所因此生产方案有三种：生A产品30件B种产品20件；或生A种品31件、B产品件；或生产A产品32件、B产品18件．例题7

分析

如果设这列火车行驶至DE段铁路线上任意一处（不包括D,E所经过的时间x那么就能x一次式表示列车所经过的路程．根据这个路程应大于80＋70且小于＋50＋70＋60就可列出不等式组，解x的取值范围．再根据列车出发的时间，就能求出列车何时行驶在DE段铁路线上．解答

设这列火车行驶至DE段铁路线上任意一处（不包DE）经过的时间，则相应所经过的路程80(x．依题意，得(8060),x0.2)(8070).

）（）解不等式（13.45．解不等式（2x2.7∴不等式组的解集3.45．

8080＋＝（时时答：这列火车行驶在DE段铁路线上的时间是10：12至10：57说明

列不等式组时，要注意单位的统一，否则会影响表达式的正确性．例题解答（1）去年备有和今年生产的车轮共有1000＋1500×12＝28000（只共可装配自行车的辆数为28000÷2＝14000（辆（2）该厂全年生产自行车的辆数范围是：生产自行车辆1200，即生产自行车辆．（3）今年订购自行车辆，可知供不应求，以最快生产速度也不能满足社会要求，得扩大生产能力．（4）由上分析可知2000500∴600（万元a700（万元说明

本例中14400辆是可以生产出，但实际上原料供应只能保证生产14000辆，故计范围时只能用14000辆参与计算．例题

分析

讨论某次经济行为是否合算要看这种方式与其他方式比较是否花费最少，故本题（2）要转化为用不等式组的知识求解．解答（1）因所以不可能选A类票．若选B类票，则

80602

次若选C类票，则（次3若不购买年票，则

8010

次所以计划用元花在该园林的门票上时，选择购买类年票的方法进入园林的次数最多，为13次．（2）设至少超次时，购买A年票比较合算，则有不等式组

xxx

解得

30,226,3其公共解集x30所以，一年中进入该园林至少超过30次时，购买A

类年票比较合算．说明

本例展示的是生活中的一件小事示我们活中无处不存在数学的身影，渗透在生活中的一个个细节中．例题10

分析

此例中的未知量较多（如两学生前四次的平均分数，第五次测验的分数等足够的等量关系，难以列方程组求解．但题中蕴含两个不等关系：平均分低于分；满分，即测验分数不超过分．于是考虑利用不等式的有关知识求解．解答

设其中某个学生前4的平均分x，第测验的成绩y分，依题意有

4y5

，yx．由第5次测验的成绩高于90分又不大于100分90，解x，因为整数，x88或89．又已知两个学生平均分数不等，故前4的平均分一个为88，另一个为89分，第5次测验一个学生的成绩为98分，另一个的成绩为94分．说明

利用不等式（组）解应用题，其步骤与列方程（组）解应用题大体相同．不同的是，后者探求等量关系，列出的是等式，而前者寻求不等关系，列出的是不等式，并且解不等式（组）得到的结果通常为一解集，需从解集中找出符合题意的答案．例题11

分析

问题中有两个未知量，只有一个等量关系，另外还有一个附加条件是一个求有条件的不定方程整数解的问题不定方程整数解的一种方法是观察系数特征，用试验的办法求解．

解答

设大、小盒分别x、y，根据题意得：

xyxy

由①知y为数，x

995y12

③，∵x为自然数，∴12(5y通过试验可得yxxy矛盾，故舍去，当

y时，即

xy也可以用逐步代换的方法（常规方法）求解如下：由①x