2022-2023学年江西省南昌外国语学校八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省南昌外国语学校八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列运算正确的是(

)A.a5÷a5=a B.(a2.某桑蚕丝的直径约为0.000016米，将0.000016用科学记数法表示是(

)A.1.6×10−4 B.1.6×10−5 C.3.已知分式a+bab(a,b均为正数)，若分式中每个字母的值都扩大为原来的3倍，则分式的值(

)A.扩大为原来3倍 B.缩小为原来的13 C.不变 D.缩小为原来的4.如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于(

)

A.44° B.60° C.67° D.77°5.如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口，尽快抓住老鼠，应该蹲在(

)A.△ABC三条角平分线的交点

B.△ABC三条边的中线的交点

C.△ABC三条高的交点

D.△ABC三条边的垂直平分线的交点6.已知1x−1y=3，则代数式A.−72 B.−112 C.7.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为(

)A.120x−20=90x B.120x+20=8.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为(

)

A.6 B.8 C.10 D.12二、填空题（本大题共6小题，共18分）9.因式分解：x3−2x210.如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB、AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2，那么矩形ABCD的面积是______cm2

11.如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，AD平分∠BAC，CE=BF.若△DCE的面积为4，则△DBF的面积为

．

12.一辆货车送货上山，并按原路返回．上山的速度为x

千米/时，下山的速度为y千米/时，求货车上下山的平均速度______千米/时．13.若关于x的分式方程2xx−1−3=m1−x的解为正数，则m的取值范围是

14.如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C=90°，∠B=20°，点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E.若△DEB′为直角三角形，则∠BAD的大小是

．

三、解答题（本大题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.(本小题分)

(1)化简：(x−2y)(x+2y)−x(x+2y)；

(2)解方程：3x+2+16.(本小题分)

如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E.求证：△ACD≌△BED．17.(本小题分)

先化简，再求值：(1x+1−1x−1)÷x−2x18.(本小题分)

如图，点D是等边△ABC内部一点，且DB=DC，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．

(1)在图①中BC上找一点E，使BE=12BC；

(2)若∠BDC=2∠A，在图②中AB、AC边上分别找点M、N，使19.(本小题分)

某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．

(1)求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？

(2)若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？20.(本小题分)

现定义运算“△”，对于任意实数a、b都有a△b=a2−2ab+b2，请按上面的运算计算(3x+5)△(2−x)的值，其中x21.(本小题分)

老师在讲完乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的各种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：

解：x2+4x+5=(x+2)2+1

∵(x+2)2≥0∴(x+2)2+1≥1

即：当(x+2)2=0时，x2+4x+5=(x+2)22.(本小题分)

在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，点A，B分别是x轴、y轴上的两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．

(1)如图1，若A(0,1)，B(2,0)，则点C的坐标为

；

(2)如图2，当等腰直角△ABC运动到点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE；

(3)如图3，若A(−4,0)，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角△BOD与等腰直角△ABC，连接CD交y轴于P点，问当点B在y轴正半轴上移动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出其长度．

答案和解析1.【答案】B

解：A、a5÷a5=1，故A不符合题意；

B、(a3)2=a6，故B符合题意；

C、a2⋅a3=a52.【答案】B

解：0.000016=1.6×10−5；

故选：B．

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<103.【答案】B

解：由题意可得：3a+3b3a×3b=3(a+b)9ab=13×a+bab，

∴分式的值缩小为原来的14.【答案】C

解：△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，

∴∠B=90°−∠A=68°，

由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC，

∴∠ADE=∠CED−∠A=46°，

∴∠BDC=180°−∠ADE2=67°．

故选：C．

由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，可求得∠B的度数，由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC，由三角形外角的性质，可求得∠ADE的度数，继而求得答案．5.【答案】D

解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，

∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．

故选：D．

根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．

本题考查线段垂直平分线的性质，掌握三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等是本题的解题关键．

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查分式的加减及分式的值，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用．由1x−1y=3得出y−xxy=3，即x−y=−3xy，整体代入原式=2(x−y)+3xy(x−y)−xy，计算可得．

【解答】

解：∵1x−1y=3，

∴y−xxy=3，7.【答案】B

解：设小江每小时分拣x个物件，由题意可得，

120x+20=90x，

故选：B．

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是底边BC的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．

【解答】

解：连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是底边BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=16，解得AD=8，

∵EF是线段AC的垂直平分线，

∴点C关于直线EF的对称点为点A，

∴AD的长为CM+MD的最小值，

∴△CDM9.【答案】x(x−1)【解析】解；x3−2x2+x=x(x2−2x+1)=x(x−1)2，

10.【答案】16

解：设AB=x，AD=y，根据题意，得

2(x+y)=20 ②x2+y2=68 ①

由②得：x+y=10，

由①，得(x+y)2−2xy=68，

100−2xy=68，

∴2xy=100−68=32，

∴xy=16．

矩形ABCD的面积是16cm2．11.【答案】4

解：如图，过点D分别作DG⊥AC，DH⊥AB，垂足分别为G，H，

∵点D在∠BAC的角平分线上，

∴DG=DH，

∵S△DCE=12×CE×DG=4，S△DBF=12×BF×DH，

又∵CE=BF，

∴S△DBF=S△DCE=4，

故答案为：4．

过点D分别作DG⊥AC，DH⊥AB，垂足分别为G，H，根据角平分线的性质可得DG=DH12.【答案】2xyx+y解：设上山的路程为a，根据题意得出：2aax+ay=2xyx+y．

故答案为：2xyx+y．13.【答案】m>−3且m≠−2

【解析】【分析】

先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．

本题考查的是分式方程的解，掌握分式方程分母不为0是解题的关键．

【解答】

解：方程两边同时乘以(x−1)得，2x−3(x−1)=−m，

解得x=m+3．

∵x为正数，

∴m+3>0，解得m>−3．

∵x≠1，

∴m+3≠1，即m≠−2．

∴m的取值范围是m>−3且m≠−2．

故答案为：m>−3且m≠−2．

14.【答案】25°或35°

解：根据题意，当△DEB′是直角三角形时，分∠B′DE=90°，∠DEB′=90°两种情况讨论：

①当∠B′DE=90°时，如图1，

由翻折的性质可知∠EAD=∠BAD=12∠EAB,∠B′=∠B=20°，

∴∠DEB′=180°−∠B′−∠B′DE=70°，

又∵∠DEB′=∠B+∠EAB，

∴∠EAB=∠DEB′−∠B=50°，

∴∠BAD=12∠EAB=25°

②当∠DEB′=90°时，如图2，

∴∠EAB=180°−∠ACB−∠B=70°，

∴∠BAD=12∠EAB=35°，

综上所述，∠BAD的大小为25°或35°；

故答案为：25°或35°．

当△DEB′是直角三角形时，分15.【答案】解：(1)(x−2y)(x+2y)−x(x+2y)

=(x−2y−x)(x+2y)

=(−2y)(x+2y)

=−2xy−4y2；

(2)3x+2+1x=4x2+2x

两边同时乘以x2+2x得：3x+(x+2)=4，

去括号得：3x+x+2=4，

移项合并得：4x=2，

系数化为1【解析】(1)先提公因式x+2y，然后运算化简即可；

(2)先将分式方程化为整式方程计算求解，然后将值进行检验即可．

本题考查了整式的混合运算，解分式方程等知识．解题的关键在于正确的计算．

16.【答案】证明：∵△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．

∴∠CAD=30°=∠B，CD=DE，∠ACD=∠DEB=90°，

在△ACD与△BED中∠CAD=∠B∠ACD=∠BEDCD=DE，

∴△ACD≌△BED【解析】根据直角三角形的性质和全等三角形的判定证明即可．

此题考查全等三角形的判定，关键是根据直角三角形的性质和全等三角形的判定解答．

17.【答案】解：∵(1x+1−1x−1)÷x−2x2−1

=1x+1×(x+1)(x−1)x−2−1x−1×(x+1)(x−1)x−2

=【解析】此题考查了运用分式的混合运算进行代数式求值的能力，关键是能进行准确的分式计算化简．

先进行分式的化简，再选取x合适的值进行求解．

18.【答案】解：(1)如图①，连接AD并延长与BC的交点即为点E，理由如下：

连接AD并延长交BC于点E，

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，

则点A在BC的垂直平分线上，

∵DB=DC，

∴点D在BC的垂直平分线上，

则AD垂直平分BC，

∴BE=12BC；

(2)如图②，分别延长CD，BD与AB，AC的交点即为点M、N，理由如下：

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，

则∠BDC=2∠A=120°，

∵DB=DC，

∴∠DBC=12(180°−∠BDC)=30°，

则∠ABD=∠ABC−∠DBC=30°，

由(1)可知AD垂直平分BC，

∴∠BAD=12∠BAC=30°，

则∠BAD=∠ABD，

∴AD=BD，

由(1)同理，得CD垂直平分AB，

∴点M为AB的中点，

同理得点N为AC的中点，

∴MN【解析】(1)由AB=AC，DB=DC得AD垂直平分BC，所以连接AD并延长与BC的交点即为点E；

(2)由∠BDC=2∠A=120°，DB=DC得∠DBC=12(180°−∠BDC)=30°，∠ABD=∠ABC−∠DBC=30°，又AD垂直平分BC，所以∠BAD=12∠BAC=30°，则AD=BD，由(1)同理得CD垂直平分AB，则延长CD与AB的交点即为点M，同理也可得到点N19.【答案】解：(1)设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为(x−9)元/条，

根据题意得：3120x−9=4200x，

解得：x=35，

经检验，x=35是原方程的解，且符合题意，

∴x−9=26．

答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条．

(2)设购买a条A型芯片，则购买(200−a)条B型芯片，

根据题意得：26a+35(200−a)=6280，

解得：a=80．

答：购买了80【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．

(1)设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为(x−9)元/条，根据数量=总价÷单价结合用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

(2)设购买a条A型芯片，则购买(200−a)条B型芯片，根据总价=单价×数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．

20.【答案】解：去分母得，x2−3(x−1)=x(x−1)，

解得x=32，

经检验，x=32是原方程的解，

则(3x+5)△(2−x)

=(3x+5)2−2(3x+5)(2−x)+(2−x)2

=16x2【解析】先解分式方程，再把(3x+5)△(2−x)转化为基本运算，代入x的值计算即可．

本题考查了整式的混合运算，解分式方程，掌握新运算的法则是解题的关键．

21.【答案】−2

解：(1)∵(x+1)2≥0，

∴(x+1)2−2≥−2，

∴(x+1)2−2的最小值为−2，

故答案为：−2；

(2)x2+10x+28=(x+5)2+3

∵(x+5)2≥0，

∴(x+5)2+3≥3，

∴x2+10x+28的最小值为3；

(3)∵x2+7x+y+2=0，

∴x+y=−x2−6x−2=−(x+3)2+7，22.【答案】(

解：(1)如图1，过点C作CF⊥y轴于点F．

∵A(0,1)，B(2,0)，

∴OA=1，OB=−2，

∵CF⊥y轴于点F，

∴∠CFA=90°，∠ACF+∠CAF=90°，

∵∠CAB=90°，

∴∠CAF+∠BAO=90°，

∴∠ACF=∠BAO，

在△ACF和△ABO中，

∠ACF=∠BAO∠CFA=∠AOB=90°AC=AB，

∴△ACF≌△ABO(AAS)，

∴CF=OA=1，AF=OB=2，

∴OF=AF=AO=1，

∴C(−1,−1)．

故答案为：(−1,−1)；

(2)证明：如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，

∵CG⊥AC，

∴∠ACG=90°，∠CAG+∠AGC=90°，

∵∠AOD=90°，

∴∠ADO+