高考圆锥曲线经典真题

高考圆锥曲线经典真题

知识整合：

直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，

主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出

考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考

生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利

于选拔的功能.

1.（江西卷15）过抛物线xJ2py（p>0）的焦点F作倾角为30。的直线，与抛物线

网=£

分别交于A、8两点（A在）‘轴左侧），贝仪必|.3

2（2008年安徽卷）若过点A（4,0）的直线/与曲线J-2>+y2=l有公共点，则直

线/的斜率的取值范围为（）

.V3V3.

A.[-百，拘B.（-五■C,D.（一丁丁

二-其=1

3（2008年海南一-宁夏卷）设双曲线916的右顶点为A,右焦点为F,过点F

平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB的面积为一

热点考点探究：

考点一：直线与曲线交点问题

例1.已知双曲线C:2x2-y2=2与点P（l,2）

⑴求过P（l,2）点的直线1的斜率取值范围，使1与C分别有一个交点，两个

交点，没有交点.

解：（1）当直线1的斜率不存在时，1的方程为x=l,与曲线C有一个交点.当1

的斜率存在时，设直线1的方程为y-2=k(x-D,代入C的方程，并整理得

(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0(*)

(i)当2-k2=0,即k=±拒时，方程(*)有一个根，1与C有一个交点

(ii)当2-k2K0,即k#土及时

A=[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k)

3

①当△=(),即3-2k=0,k=5时，方程(*)有一个实根，1与C有一个交点.

33

②当△>(),即k<5,又k#=±近，故当-亚或-6<k<收或板<k<3

时，方程(*)有两不等实根，1与C有两个交点.

3

③当△<(),即k>5时，方程(*)无解，1与C无交点.

3

综上知：当卜=土后，或k=a,或k不存在时，1与c只有一个交点；

3

当上<k<5,或-(应，或k<-也时，1与C有两个交点；

3

当k>5时，1与C没有交点.

⑵假设以Q为中点的弦存在，设为AB,且A(xl,yl),B(x2,y2),则2x12-

yl2=2,2x22-y22=2两式相减得：2(xl-x2)(xl+x2)=(yl-y2)(yl+y2)

又,「xl+x2=2,yl+y2=2

/.2(xl-x2)=yl-yl

>1一为

即kAB=±72=2

但渐近线斜率为土行，结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以

Q为中点的弦不存在.

⑵若Q（l,1）,试判断以Q为中点的弦是否存在.

考点二：圆锥曲线中的最值问题

对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约

的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与

函数方法处理起来十分方便。

例2直线加：y=^+i和双曲线-一）”=1的左支交于A、B两点，直线/过P（-2,0）

和AB线段的中点M,求/在y轴上的截距人的取值范围。

y=京+1

22人-1）,,

解：由厂=1消去y得叱T）x+2履+2=0,由题意，有：

A=4公+8(1—A?)〉。

2k..

%,+x

2K<°

X/2二^〉o

l-k2=>\<k<^2r

X]+工2_k

2\-k2

i

y=5+i

设M(Xo，>o),则01一k?

---------h----------

2，2

由P(-2,0)、M(l-k\-k)、Q(0))三点共线，可求得-2女2+左+2

设/⑹=-26+%+2=-2（k-4）+五，则/伏）在（1,后）上为减函数。

所以/（痣）〈/⑻</■⑴，且/⑹工0

所以一（2—行）</（k）<1所以8<一（2+行）或匕>2

考点三：弦长问题[

涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉t

及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.

71

例3.如图所示，抛物线y2=4x的顶点为0,点A的坐标为(5,0),倾斜角为4的

直线1与线段OA相交(不经过点0或点A)且交抛物线于M、N两点，求AAMN面

积最大时直线1的方程，并求AAMN的最大面积.

解：由题意，可设1的方程为y=x+m,-5<m<0.

[y=x+m

由方程组[y2=4x，消去y,得x2+(2m-4)x+m2=0①

•.•直线1与抛物线有两个不同交点M、N,

二•方程①的判别式A=(2m-4)2-4m2=l6(1-m)>0,

解得m<1,又-5<m<0,「.oi的范围为(-5,0)

设M(xl,yl),N(x2,y2)贝(Jxl+x2=4-2m,xl-x2=m2,

|MN|=4向F.

5+m

点A到直线1的距离为d=石.

/.SA=2(5+m),从而S△2=4(1-m)(5+m)2

2-2ni+5+M+5+T72

=2(2-2m)-(5+m)(5+m)<2(3)3=128.

《8拒，当且仅当2-2m=5+m,即m=-l时取等号.\/

故直线1的方程为y=x-1,△AMN的最大面积为8枝.)°*(—*

考点4：圆锥曲线关于直线对称问题

例4.已知椭圆的中心在圆点，一个焦点是F(2,0),且两条准线间的距离为

犯>4)

9

(I)求椭圆的方程；

(II)若存在过点A(l,0)的直线/,使点F关于直线/的对称点在椭圆上，求人的取

值范围.

【解析】⑴设椭圆的方程为/+屏=|("">")

上女",c=2,且丝=4,所以1=4

由条件知c,b2=a2-c2=A

x2y2

一一+二一=1(4>4)

故椭圆的方程是4A-4

(H)依题意，直线/的斜率存在且不为0,记为攵，则直线/的方程是y=MxT),设

点F(2,0)关于直线/的对称点为产(/，%),则

A-4三-1)2

22

解得°1+k

%k=-l2k

,与-2%l~+k

(—?—)2

,_1±£_+_1±£_=1

因为尸(x。，》。)在椭圆上，所以22-4

-4)k4+22(2-6)Jl2+(2-4)2=0

1(~—t贝"4(4―4)广+2zl(A—6)t+(A—4)"=0

♦>4,所以(2—4)2>。

因为2(2-4)

A=[2A(A-6)]2-4A(2-4)3>0,

W-6)

，

于是，当且仅当2(2-4)(*)

上述方程存在正实根,即直线/存在.

16

所以4<丸<史

3

解(*)得4<A<6

4<2<—

即4的取值范围是3

规律总结

1.判定直线与圆锥曲线位置关系时,应将直线/方程与圆锥曲线C的方程联立,

消去y（也可消去x）得一个关于变量了的一元方程分+云+2=0.

①当。力0时，若有公〉0,贝W与C相交;若八=0,贝W与C相切;若A<0,则/与C相

离.

②当”=0时,得到一个一元一次方程,若方程有解,则有直线/与C相交,此时只有

一个公共点;若c为双曲线,贝W平行于双曲线的渐近线;若c为抛物线，则/平行

于抛物线的轴.所以只有当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线与双

曲线、抛物线可能相切,也可能相交.

2.“设而不求”的方法

若直线/与圆锥曲线C有两个交点A和B时，一般地,首先设出交点AS，X）、

B（%巧）,它们是过渡性参数，不须求出，有时运用韦达定理解决问题，有时利用

点在曲线上代入曲线方程整体运算求解.

3.韦达定理与弦长公式

斜率为攵的直线被圆锥曲线截得弦AB,若Ag，y）,B（x2，％”/A8l=lxl-x2|.HF

=1yl-y2lJ1+』（kw0）

Vk-，然后再结合韦达定理可求出弦长等.

专题能力训练：

一、选择题

2

X

1.斜率为1的直线1与椭圆彳+y2=l相交于A、B两点，则|AB|的最大值为（）

4石4师8函

A.2B.亏C.=D.丁

2.抛物线y=ax2与直线y=kx+b（k*0）交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为

xl,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有（）

A.x3=xl+x2B.xlx2=xlx3+x2x3

C.xl+x2+x3=0D.xlx2+x2x3+x3xl=0

O4也-产4加

1.解析：弦长|AB|="'一5—《丁.

答案：C

.y=ax-七b_b_

2.解析:解方程组b=乙+J得ax2-kx-b=0,可知xl+x2=。，xlx2=-a,x3=-k,

代入验证即可.

答案：B

22

J_4=l（a〉0,/?〉0）

3.斜率为2的直线/过双曲线。-b-的右焦点，且与双曲线的左、右

两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（D）

A.e>6B.l<e<6C<\<e〈加D.e>也

4.过点A（4,0）的直线与抛物线）’2=4x交于另外两点B、C,0是坐标原点，则三角

形BOC是（C）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.形状不确定

二、填空题

55

5.已知两点M（l,Z）、N（-4,-4），给出下列曲线方程：①4x+2y-1=0,②x2+y2=3,

X2X2

③5+y2=l,④万-y2=l,在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是

.解析：点P在线段MN的垂直平分线上，判断MN的垂直平分线于所给曲线是否

存在交点.

答案：②③④

6.正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y2=x上，则正方形

ABCD的面积为__________

7.在抛物线y2=16x内，通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是

6解析：设C、D所在直线方程为y=x+b,代入y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的

长，利用|CD|的长等于两平行直线y=x+4与y=x+b间的距离，求出b的值，再

代入求出ICDI的长.

答案：18或50

7解析:设所求直线与y2=16x相交于点A、B,且A(xl,yl),B(x2,y2),代人抛

物线方程得yl2=16xl,y22=16x2,两式相减得，(yl+y2)(yl-y2)=16(xl-x2).

必一乃16:

即%+为kAB=8.

故所求直线方程为y=8x-15.

答案：8x-y-15=0

三、解答题

8.已知抛物线y2=2px(p>0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线1与该抛物线交

于不同的两点A、B,且|AB|42p.

⑴求a的取值范围.

⑵若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求ANAB面积的最大值.

向

9.知中心在原点，顶点Al、A2在x轴上，离心率e=3的双曲线过点P(6,6).

⑴求双曲线方程.

⑵动直线1经过aAlPAZ的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N,问：是否

存在直线1,使G平分线段MN,证明你的结论.

10.已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A(V2,0)为圆心，1为半

径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与A点关于直线y=x对称.

⑴求双曲线C的方程.

⑵设直线1过点A,斜率为k,当0<k<l时，双曲线C的上支上有且仅有一点

B到直线1的距离为虚，试求k的值及此时B点的坐标.

《上=1

11.已知过双曲线方程42

(1)过M(l,1)的直线交双曲线于A、B两点,若M为弦AB的中点,求直线AB的方

程；

⑵是否存在直线/，使’2为/被双曲线所截得弦的中点，若存在,求出直线/的

方程;若不存在,请说明理由.

8解：(1)设直线1的方程为：y=x-a,代入抛物线方程得(x-a)2=2px,即x2-

2(a+p)x+a2=0

|AB|=&44(a+p)2_4、42p./.4ap+2p2<p2,即4ap<-p2

p_

XVp>0,/.a<-4.

⑵设A(xl,yl)、B(x2,y2),AB的中点C(x,y),

由⑴知，yl=xl-a,y2=x2-a,xl+x2=2a+2p,

J.+当y.+y再+x,_2a

,——=a+p,y=-9=-=---

则有X=222=p.

二.线段AB的垂直平分线的方程为y-p=-(x-a-p),从而N点坐标为(a+2p,0)

心娑包心

点N到AB的1巨离为V2

—•V2•J4(a+p)2-4a2•y[2p=2pJ2ap+p2

从而SANAB=2r//

p_

当a有最大值-4时，S有最大值为及p2.

22

6^6^2a+h21

9.解：（1）如图，设双曲线方程为靛一记=1.由已知得/一/="=解

得a2=9,b2=12.

所以所求双曲线方程为亍一耘=1.

⑵P、Al、A2的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0),

其重心G的坐标为(2,2)

假设存在直线1,使G(2,2)平分线段MN,设M(xl,yl),N(x2,y2).则有

⑵j_9y|2=[08

22

,12X2-9y2=108=凶-为=1Z=4

X]+*2=4*—/934

.必+为=4,...kl=5

4

•••1的方程为y=§(x-2)+2,

-12x2-9y2=108

-4

y=—(x-2)

由3，消去y,整理得x2-4x+28=0.

•.•△=16-4x28<0,.•.所求直线1不存在.

I叵I

10.解：(1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d=护+1=1,解得k=±1.

即渐近线为y=±x,又点A关于y=x对称点的坐标为（0,收）.

.\a=V2=b,所求双曲线C的方程为x2-y2=2.

⑵设直线1：y=k（x-忘）（0<k<l）,依题意B点在平行的直线1，上，且1与

J间的距离为尤.

16k+mI_o

设直线1':y=kx+m,应有“2+1，化简得m2+2拉km=2.②

把V代入双曲线方程得(k2-1)x2+2