2020秋高中数学人教版2-22.3数学归纳法含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020秋高中数学人教A版选修2-2课时作业：2.3数学归纳法含解析第二章2.3请同学们认真完成练案[18]A级基础巩固一、选择题1．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时,在由“n＝k时论断成立⇒n＝k＋1时论断也成立"的过程中(A）A．必须运用假设B．可以部分地运用假设C．可不用假设D．应视情况灵活处理，A，B，C均可［解析]由“n＝k时论断成立⇒n＝k＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设．2．（2020·嘉峪关校级期中)用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n＝k＋1时，为了使用假设,应将5k＋1－2k＋1变形为（A）A．5（5k－2k)＋3×2k B．(5k－2k）＋4×5k－2kC．（5－2)(5k－2k) D．2(5k－2k)－3×5k［解析］假设n＝k时命题成立，即：5k－2k被3整除．当n＝k＋1时,5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k＝5(5k－2k）＋5×2k－2×2k＝5(5k－2k)＋3×2k，故选A．3．对于不等式eq\r（n2＋n)≤n＋1(n∈N＊）,某学生的证明过程如下：（1)当n＝1时，eq\r（12＋1)≤1＋1，不等式成立．(2）假设n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即eq\r(k2＋k）≤k＋1，则n＝k＋1时，eq\r(k＋12＋k＋1）＝eq\r（k2＋3k＋2)〈eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2)＝eq\r(k＋22）＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时,不等式成立，上述证法（D）A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确［解析]n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D．4．设f(x）是定义在正整数集上的函数，且f（x)满足：“当f（k）≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1）2成立”．那么，下列命题总成立的是(D)A．若f(3）≥9成立,则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f（5）≥25成立，则当k≤5时，均有f(k）≥k2成立C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k）>k2成立D．若f（4)＝25成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k2成立［解析］对于A,f（3）≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f（k）≥k2成立，故A错误．对于B，要求逆推到比5小的正整数,与题设不符，故B错误．对于C,没有奠基部分,即没有f（8)≥82，故C错误．对于D，f(4）＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D．5．用数学归纳法证明1－eq\f（1，2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1，4）＋…eq\f（1，2n－1)－eq\f（1，2n）＝eq\f(1,n＋1）＋eq\f（1,n＋2)＋…＋eq\f（1，2n）（n∈N*），则从k到k＋1时左边添加的项是(D）A．eq\f（1，2k＋1） B．eq\f（1,2k＋2）－eq\f（1，2k＋4)C．－eq\f（1，2k＋2) D．eq\f(1，2k＋1）－eq\f(1，2k＋2)［解析］当n＝k时,等式的左边为1－eq\f(1，2）＋eq\f（1,3）－eq\f（1，4）＋…＋eq\f（1,2k－1)－eq\f(1,2k)，当n＝k＋1时，等式的左边为1－eq\f(1，2)＋eq\f（1,3）－eq\f(1，4)＋…＋eq\f(1，2k－1)－eq\f（1,2k)＋eq\f（1，2k＋1）－eq\f（1，2k＋2），故从“n＝k到n＝k＋1”，左边所要添加的项是eq\f（1，2k＋1）－eq\f(1,2k＋2）.6．用数学归纳法证明“2n>2n＋1，对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(B）A．2 B．3C．5 D．6［解析]∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；n＝2时,22＝4,2×2＋1＝5,2n〉2n＋1不成立；n＝3时,23＝8，2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立，∴n的第一个取值n0＝3。二、填空题7．(2020·无锡期末）一个与自然数有关的命题，若n＝k(k∈N)时命题成立可以推出n＝k＋1时命题也成立．现已知n＝10时该命题不成立，那么下列结论正确的是：__③__（填上所有正确命题的序号）①n＝11时，该命题一定不成立；②n＝11时，该命题一定成立;③n＝1时，该命题一定不成立；④至少存在一个自然数，使n＝n0时，该命题成立．[解析］由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P(n)对n＝10时该命题不成立，可得P(n）对n＝9不成立，同理可推得P(n）对n＝2，n＝1也不成立．由题意，n＝11时命题成立与否不确定．所以③正确．故答案为③.8．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n＝k时成立推导n＝k＋1时成立时，f（n）＝1＋eq\f(1,2）＋eq\f（1,3）＋…＋eq\f(1,2n－1）增加的项数是__(2k＋2k－1)－（2k－1)＝2k__。[解析］当n＝k时成立,即f(k)＝1＋eq\f(1，2)＋eq\f（1,3）…＋eq\f(1，2k－1），则n＝k＋1成立时,有f(k＋1)＝1＋eq\f（1,2）＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1，2k－1）＋eq\f(1，2k）＋…＋eq\f（1，2k＋2k－1)，所以增加的项数是(2k＋2k－1）－(2k－1）＝2k.三、解答题9．在数列｛an},{bn｝中，a1＝2，b1＝4,且an，bn,an＋1成等差数列，bn,an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＊)．求a2，a3，a4及b2，b3,b4，由此猜测｛an｝，｛bn｝的通项公式,并证明你的结论．[解析]由已知得2bn＝an＋an＋1，aeq\o\al(2,n＋1)＝bnbn＋1，a1＝2，b1＝4，由此可得a2＝6,b2＝9,a3＝12，b3＝16,a4＝20，b4＝25.猜想an＝n(n＋1），bn＝(n＋1）2。用数学归纳法证明如下:①当n＝1时，可得结论成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＊）时，结论成立,即ak＝k(k＋1），bk＝(k＋1）2，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2（k＋1)2－k（k＋1)＝（k＋1）·(k＋2），bk＋1＝eq\f（a\o\al（2，k＋1），bk）＝eq\f（k＋12k＋22，k＋12）＝(k＋2）2.∴当n＝k＋1时,结论也成立．由①②可知,an＝n（n＋1)，bn＝(n＋1）2对一切正整数n都成立．10．（2020·汉阳期中）已知｛fn（x)｝满足f1（x)＝eq\f（x，\r(1＋x2））(x〉0)，fn＋1(x)＝f1（fn(x）)．(1）求f2（x），f3（x），并猜想fn(x)的表达式；（2）用数学归纳法证明对fn(x）的猜想．［解析](1)f2（x)＝f1[f1(x)］＝eq\f(f1x,\r(1＋f\o\al（2,1）x）)＝eq\f（x,\r(1＋2x2)），f3（x）＝f1[f2（x)］＝eq\f(f2x,\r（1＋f\o\al(2，2)x)）＝eq\f（x,\r(1＋3x2））猜想：fn(x)＝eq\f(x,\r（1＋nx2))，(n∈N*)（2)下面用数学归纳法证明,fn（x)＝eq\f（x,\r（1＋nx2））(n∈N＊）①当n＝1时,f1(x)＝eq\f（x，\r(1＋x2）），显然成立;②假设当n＝k(k∈N*）时,猜想成立,即fk（x）＝eq\f(x,\r（1＋kx2)),则当n＝k＋1时,fk＋1＝f1［fk（x）]＝eq\f（\f（x，\r（1＋kx2)），\r(1＋\f（x,\r（1＋kx2))2))＝eq\f(x,\r（1＋k＋1x2）),即对n＝k＋1时，猜想也成立；结合①②可知,猜想fn（x)＝eq\f(x，\r（1＋nx2））对一切n∈N＊都成立．B级素养提升一、选择题1．(多选题）用数学归纳法证明命题1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n2n2＋1,2）时，下列说法错误的是(ABC）A．当n＝1时，命题的左边为1＋1B．当n＝k＋1时，命题的左边为1＋2＋3＋…＋k2＋（k＋1)2C．当n＝k＋1时，命题左端在n＝k的基础上增加的部分有（k＋1)2－（k2＋1)项D．当n＝k＋1时,命题左端在n＝k的基础上增加的部分是(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1）2［解析]用数学归纳法证明命题1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f（n2n2＋1，2）时，当n＝1时，命题的左边为1，所以A不正确;n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，命题左端在n＝k的基础上增加的部分是（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋(k＋1）2。所以选项D正确，C不正确,选项B不正确；故选ABC．2．对于不等式eq\r(n2＋n)＜n＋1（n∈N*）,某同学用数学归纳法的证明过程如下:（1）当n＝1时,eq\r(12＋1)＜1＋1，不等式成立．（2）假设当n＝k(k∈N＊)时，不等式成立，即eq\r（k2＋k）＜k＋1,则当n＝k＋1时,eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r（k2＋3k＋2）＜eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2）＝eq\r（k＋22)＝（k＋1)＋1,∴当n＝k＋1时，不等式成立．关于上述证法，下列说法错误的是（ABC)A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[解析］在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设,即从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．故选ABC．二、填空题3．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为__当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立__.［解析］∵n∈N＊，∴第一步的验证为n＝1的情形．当n＝1时，左≥右，不等式成立．4．在证明1＋2＋22＋23＋…＋25n－1(n∈N＊)是31的倍数时,k到k＋1增加的表达式是__25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4__.［解析］当n＝k时，原式＝1＋2＋22＋23＋…＋25k－1，当n＝k＋1时，原式1＋2＋22＋23＋…＋25k－1＋25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4.则从k到k＋1增加的表达式是25k＋25k＋1＋25k＋2＋35k＋3＋25k＋4。故答案为：25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4.三、解答题5．在数列｛an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f（2an，2＋an)(n∈N*）．(1)分别求出a2，a3，a4，并根据上述结果猜想这个数列的通项公式;（2)请用数学归纳法证明（1）中的猜想．[解析］（1)在数列｛an｝中，a1＝1,an＋1＝eq\f(2an，2＋an）(n∈N＊）．当n＝1时，a2＝eq\f（2a1，2＋a1)＝eq\f(2×1，2＋1)＝eq\f(2,3)；当n＝2时，a3＝eq\f(2a2,2＋a2）＝eq\f（2×\f(2，3)，2＋\f（2，3)）＝eq\f(1，2)；当n＝3时，a4＝eq\f(2a3，2＋a3）＝eq\f(2×\f(1,2)，2＋\f(1，2))＝eq\f（2，5）；所以a2＝eq\f(2,3）,a3＝eq\f（1，2)＝eq\f(2，4），a4＝eq\f（2,5)，猜测an＝eq\f(2，n＋1）；(2)证明：①当n＝1时，a1＝1，eq\f（2,1＋1）＝1，所以a1＝1，所以n＝1时，等式成立;②假设当n＝k时，等式成立,即ak＝eq\f（2,k＋1)，则ak＋1＝eq\f(2ak,2＋ak）＝eq\f（2\f（2，k＋1），2＋\f(2，k＋1)）＝eq\f(4，2k＋4)＝eq\f（2,k＋2）＝eq\f(2，k＋1＋1），所以n＝k＋1时,等式成立．综合①和②可知，对于任意的n∈N*，an＝eq\f(2，n＋1)均成立．6．（1）用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋（－1)n－1n2＝（－1）n－1·eq\f(nn＋1,2)（n∈N＊）．（2）求证：12－22＋32－42＋…＋（2n－1）2－（2n)2＝－n(2n＋1）（n∈N＊）．[解析］（1）①当n＝1时,左边＝12＝1，右边＝(－1)0×eq\f（1×1＋1,2）＝1,左边＝右边，等式成立．②假设n＝k(k∈N＊）时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋（－1）k－1k2＝（－1）k－1·eq\f(kk＋1，2）。则当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1）k－1k2＋（－1)k（k＋1）2＝（－1)k－1·eq\f(kk＋1，2）＋(－1)k(k＋1)2＝(－1）k（k＋1）·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（k＋1－\f（k,2））)＝（－1）k·eq\f（k＋1［k＋1＋1]，2）.∴当n＝k＋1时，等式也成立，根据①、②可知，对于任何n∈N*等式成立．（2)①n＝1时,左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式