专题十五数形结合思想

专题十五数形结合思想河南顾东方一、考情分析最新考纲解读高频考点1.掌握基本初等函数的图象的画法和它们之间的相对位置关系.2.掌握图象变换的法则，会利用基本初等函数的图象及图象变换画一些复杂函数的图象.3.掌握不等式函数方程与函数图象之间的关系，会利用函数图象解释有关数学问题的实质，并会求参数的取值范围、最值等问题.考点高考真题列举202220222022两函数的交点新课标全国卷，12新课标全国卷,11山东卷,16方程的根重庆卷,15山东卷,7海南宁夏卷,12求参数的取值范围天津卷,8浙江卷,21江苏卷,11数形结合的综合应用四川卷,9重庆卷,20天津卷,21二、知识点再现1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.2．所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.如：等式.3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”.4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在三角函数解题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越性，要注意培养这种思想意识，要争取“胸中有图，见数想图”，以开拓自己的思维视野.三、典例分析考点一、与三角函数有关的问题例1（2022课标全国卷）函数的图象与函数的图象所有交点的橫坐标之和等于（）分析：利用函数图象的平移、伸缩等变换得到函数的图象，观察两个图象的特点：图象都关于（1,0）对称，利用特殊点的函数值来判断图象的交点.解：函数与函数的图象都关于点（1,0）对称，所以所以两个函数的图象的交点也关于点（1,0）对称.由数形结合易判断两个函数的图象共有8个交点，且组成4对关于（1,0）对称的点，于是所有交点的横坐标之和是8.故选D.反思：善于观查函数图象的特点，还要根据图象的性质分析需要得出的结论，这样才能巧用数形结合方法完成解题.变式练习1（2022辽宁丹东二模）方程∣x∣=cosx在（－∞，＋∞）内（）A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根考点二、与解析几何有关的问题如果参数具有明显的几何意义，那么可以考虑应用数形结合思想解决问题.一般地，常见的对应关系有：（1）表示连接（a,b）和(m,n)两点直线的斜率；（2）表示两点（a,b）和（m,n）之间的距离；（3）导数f(x)表示曲线在点（x,f(x)）处的切线的斜率.利用这些对应关系，由数想形，可以巧妙地利用几何法解决问题.例2（2022上海）已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作.（1）求点到线段的距离；（2）设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积；（3）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，是下列三组点中的一组.对于下列三组点只需选做一种.①.②.③.分析：首先理解点到线段的距离的含义，据此作出图形，解决问题.解：⑴设是线段上一点，则，当时，.⑵设线段的端点分别为，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，则，点集由如下曲线围成，其面积为.⑶①选择，②选择.③选择..反思：本题是一道新定义型综合创新题，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力，对于这类新情境型试题，要求考生准确理解新定义，并用它解决各个小题，难度较大.变式练习2过点（0，2）的直线l与双曲线的左支交于不同的两点，则直线l的斜率的取值范围是_____.考点三、与方程和不等式有关的问题研究函数的性质可以借助于函数的图象，从函数图象上能直观地了解特殊点、单调性、周期性、对称性等信息.解答不等式问题常常需要利用函数的图象，比如：应用二次函数的图象解一元二次不等式，就体现了数形结合的思想方法，因此，解决不等式问题要常联系对应的函数图象，利用函数图象，直观地得到不等式的解集，从而避免复杂的运算.例3设关于的不等式的解集为A，且，求的值集．分析：本题如果用代数法求解，着眼于求出集合A，就相当麻烦．如果用数形结合的观点看待已知不等式，从“形”的角度去考虑，可得下列简捷解法：设，则于是表示的几何图形是以（2，0）为圆心、2为半径的半圆(如图1－12)，而y=(a-1)x是过原点的直线束．问题转化为：求半圆在动直线上方且0＜x＜2时，a的值集．易得a-1≥1，即a≥2．故a的值集为｛a|a≥2｝．反思：由以上三例可知，数与形密切配合，坐标法以图形性质相助，如虎添翼，问题可迎刃而解．变式练习3（2022北京）已知函数若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_______变式练习答案变式练习1选C变式练习2解析：如图3，直接从图形上看，介于与（为与渐近线平行的直线，为与双曲线相切的直线）之间的直线与双曲线左支有两个不同交点，易得.∴应填.注：解析几何的实质是用代数的方法来研究几何问题，在解题中要善于将