2022年高考数学一轮综合复习：专题32数列大题解题模板（解析版）

专题32数列大题解题模板

一、递推数列的类型以及求通项方法总结：

1、定义法：等差数列的通项公式：an=ay+(n-Y)d^an=am+(n-m)do

等比数列的通项公式：为=囚•q〃7(q.qw0)或%=am・广(—>zn)

Sn=1

2、做差法：由4与S〃(即6+e+…+。“=/("))的关系求。〃，°—

\Sn-Sn_vn>2

3、累加法：由。〃+]-。〃=/(〃)求明,an=(an—an_x)+(cin_1—an_2)H----卜(生一卬+卬九之？)。

4、累乘法：已知如=/(〃)求通项%,勺=4•照…”9(〃22)。

%a„-\a„-za\

5、已知递推关系求6,用构造法(构造等差、等比数列)：

(1)形如%+1=〃/+/(〃)，只需构造数列｛2｝,消去了(〃)带来的差异，/(〃)的形式有：

①/(〃)为常数，即递推公式为〃，用=〃%+如其中〃、q均为常数且网(p-l)wO)。

解法：先设参转化为%+|+九=〃3“+九)，其中九=」一,再利用换元法转化为等比数列求解。

P-1

②/(〃)为一次多项式，即递推公式为4“+]=p-a“+L〃+S。

③f(n)为n的二次式，则可设d=a„+An1+Bn+C.

(2)递推公式为%+|=pq+4"(其中p、q为常数且pq(p-l)(q-1)*0)或4+]=p-a“+/■•<7"(其中p、q、

r为常数)。

解法：一般地要先在原递推公式两边同除以g〃+l得：■=£.2+工，引入辅助数列｛"｝(其中

/qqq

b“=2),得：=£♦2+，,再应用类型⑴的方法解决。

qqq

(3)递推公式为a“+2=P,an+l+q,4"(其中p'q均为常数)。

解法：先把原递推公式转化为4+2-s-4+1=f(a,+i-s-a”)，其中S、f满足/+'P,解出s、f,

st=-q

于是｛4,+1-sqj是公比为，的等比数列，就转化为前面的类型。

6、形如勺="I或41T_bq=kq-*的递推数列都可以用倒数法求通项。

k%+b

7、形如a,+1=p-a：型，该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型，然后再用递推法或待定系法构造等

比数列求通项。两边取对数lg4,+1=lg(p-a：)=Igp+r-lga”,设b“-1gan,原等式变为"q=r•用+lgp即

变为基本型。

二、数列常用求和方法

1、等差数列求和：S,,=a=a"+"『Tp”=；Sm+n=Sm+S,,+mnd.

叫(q=l)

2、等比数列求和：S,,=痴一q")「一玛3#；Si=S,“+q"5=S“+g"S,“。

3、分组求和法：把数列的每一项分成几项使其转化为几个等差、等比数列，再求和。

对于求|。〃|的前n项和的问题一般都是分类讨论。

4、倒序求和法：将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求

出，这样的数列可用倒序相加法求和。

5、裂项相消法：就是把数列的各项分裂成两项之差，相邻的两项彼此相消，只余有限几项，就可以化简后

求和。适用条件：

(1)］」一［其中｛%｝是各项不为0的等差数列，c为常数，可拆解为一^=月(-!——-)；

(2)部分无理数列

(3)一些常用的裂项公式：

②—j=-------------=—(------------)

n(n+l)n〃+14n2-1(2〃-1)(2〃+1)22n-l2〃+1

有11/1、

®,———/M+1-4n；

〃(几+2)2n〃+2Vn+1+J"=A

⑤一=;(一)；肉1M11i

n(n+k)knn+kn(n+l)(n+2)2n(n+l)(n+l)(n+2)

(4)常见放缩公式：

①2(J〃+1-V«)=/——7=<<-j=—-j==2(册-V/i-l);

vn+l+y/n+\n—l

11<1—<----1-----=1-----------

kk+Tk(k+l)k1k(k-l)k-lk

6、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘得的新数列求和。

7、周期法：有的数列是周期数列，把握了数列的周期则可顺利求和。

模板一、由数列的前n项和5„与通项％的关系求通项明

例I、已知数列｛4｝的前"项和S,,,q=l,a„+l=2S„+l(neJV+),等差数列协,｝中，bn>0(n&N+),且

bx+b2+b3-15,又4+4、a2+b2•.叼+打成等比数列。

(1)求数列｛4｝、｛4｝的通项公式:

(2)求数列｛%•〃,｝的前九项和筹。

审题路线图：

(1)a“=Sn-S“_1("22)->消去S“->得an+l=3an-»an-3”"；

(2)观察[an也,｝中«„与bn的特点一在7；前乘以｛a,,｝的公比，构造使用错位相减得条件

一-2/=-2〃-3”一得7；。

规范解答：

【解析】(1)；卬=1,。“+|=2S“+l(〃eN+),/.a„=2S„_(+UneN+,n>2),1分

%-4=2(S“-S,i),即a"+|-4=2%,；.a“+]=3a“(weN+，n>2),2分

iTija?—2q+1=3,••a2=3q,

・・・数列｛〃〃｝是以1为首项、3为公比的等比数列，，q=3〃—(〃wN+),3分

.・,4=1,%=3,%=9,在等差数列｛〃｝中，•・•优+82+4=15,：.b2=5,4分

又•；%+仄、a2+h2.%+匕3成等比数列,

设等差数列0｝的公差为d,则有(4+仿)(%+/)=32+与)2，5分

(1+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或4=2,6分

乂>O("eN+),二舍去<;=一10,取d=2,J.伪=3,：.b„=2n+l(neN+)；7分

(2)由(1)知7；=3x30+5x3i+7x3?+…+(2〃-l)x3"-2+(2”+l)x3"T①，8分

37；,=3x31+5x32+7x3，+…+(2〃-1)X3"T+(2〃+1)X3"②，9分

则①-②得一2'=3x3°+2x3i+2x3?+…+2X3'T+2X3"T—(2〃+1)X3"10分

=3+2x6+3?+…+3"-2+3"T)-(2〃+1)X3”

1_3'i

=3+2x3x^-^-一(2〃+l)x3"=-2〃-3”,11分

n

Tn=n-3o12分

构建答题模板：

第一步：令〃=1,由S“=/(〃)求出囚。

第二步:令心2,构造a“=S“-S,i，用小代换S“—S,T(或用S“—S,“代换4,这要结合题目特点),由

递推关系求通项。

第三步：验证当〃=1时的结论是否适合当〃22时的结论。

第四步：反复回顾，注意〃=1和〃22分类讨论和验证，明确规范书写答题。

练习1、已知正项数列｛4｝的前〃项和S“满足6s”=%+3%+2,且出是可和必的等比中项。

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)已知符合[X]表示不超过实数X的最大整数，$nOog23]=l,[log25]=2,记求数列

{2"・即}的前〃项和7；。

【解析】（1）由65〃=%+34+2得:

当〃=1时，6$=a；+3q+2,即_3.+2=0,解得0=1或〃]=2,1分

当〃22时，6s〃_]=片」+3a,—+2,

„_cc_片+3%+2片_]+3/T+2_端+3an--3%

an-%-品-1-7~-7，

666

即3(a〃+an_｝)=d一a3=(an+an_｝)(%-an_｝),2分

又数列｛%｝各项均为正数，・・.4+。,1。0,〃M=3,3分

当4=1时，数列｛4｝是首项为1、公差为3的等差数列，

.•.%=3〃—2,“2=4,4=16,满足〃2是〃1和4的等比中项，可取，4分

当巧=2时，，数列｛a,J是首项为2、公差为3的等差数列，

an=3n-l,。2=5,a6=17,不满足的是4和。6的等比中项，舍去，5分

an=3n—2；6分

(2)由(1)可知b„=[log2^--]=[log2(«+l)]，7分

nn

：.b2„=[log2(2+l)]=n,A2-b2„=n-T,8分

数列｛2"・为,｝的前”项和7；=lx2i+2x22+3x23+3+"-2”,9分

27；=1X22+2X23+3X24+---+M-2,,+I1()分

.•.上式减上式得：一7；=21+2?+23+…+2"—"二田

2"—I

=2x---n-2,,+1=(l-n)-2,,+1-2,11分

2

7；,=(n-1)-2fl+l+2o12分

模板二、数列求和问题

例2、已知数列｛/｝的前〃项和(其中％wN+),且S“的最大值为8。

⑴确定常数左，并求

(2)求数列｛:；＞｝的前n项和T“。

审题路线图：S,=-为关于〃的二次函数-当〃=%时，S,,取最大值fS&=-g/+/=g%2=8

1c99-2/7n

―解关于人的方程得：Z=4TS.=-a“=S“—Si=5—〃（〃N2）fbn=^'-=­t

刀，=1'+'+…+£T—■用错位相减求和。

规范解答：

【解析】（1）S,,="+比〃=一1（〃一Q2+J_/2,

1分

222

...当〃=%eN+时，S“取最大值，即8=S«=g/,故公=16,%=4,3分

97.9

从111[4〃=5〃-5〃_]=耳—〃（〃22）,乂。]=5]=5，八丁合要求，:・％=1—〃；5分

9-2an

・b,,=-------n=——,6分

〃2〃2〃Tr

・T7L,123n-\n公

•,T"=bi+%+…+2=于+歹+级+…+产+而①，7分

1个123〃-177G

-Tn=-；■+=+—^+…+——~+—②，8分

22122232“T2n

则①-②得京=＞摄+身盘+…+9+生一方

,Y）"〃c〃+2

=lx——V------=2------,11分

1I2"2"

2

则刀,=4—崇。12分

构建答题模板：

第一步：利用条件求数列｛，｝的通项公式。

第二步：写出7；=仿+4+…+仇的表达式。

第三步：分析表达式的结构特征确定求和方法。

第四步：反复回顾，注意求%时〃=1和〃22分类讨论和验证，明确规范书写答题。

练习2、等比数列｛为｝的前"项和S“，S3=7且4+3、3a2、生+4成等差数列。

⑴求数列｛4“｝的公比q和通项a„；

⑵若｛4｝是递增数列,令b“=lo跣如，求I以|+也1+…+也1。

a=2

6%=%+3+%+42

【解析】（1）由已知条件得《2分

4+。2+。3=7q=2或，

2

\_

4=2q

故V,或，24分

1-1

4=2"：23-

(2)若｛%｝是递增数列，则m=2",bn=n-l,5分

n(n-13)

记｛%｝的前几项和雹=6分

2

当1工九《7时画|+也什…+。|=-北,8分

当论8时的|+也1+…+。1=/-2s7,10分

〃(13—〃)

,l<n<7

2

・,・他1+也|+…+|2|=12分

九(〃一13)

+42/28

2

模板三、数列中不等式的证明

2s2

例3、已知数列｛/｝中，a,=l,其前〃项的和为S“，且满足%=£^(〃22)。

25.-1

(1)求证：数列｛-5-｝是等差数列;

s〃

1113

(2)证明：当〃22时，S+-S.+-S+---+-S<-o

1233nz/2

s

审题路线图：做差-!1——1-=27｛—1｝等差fs〃的通项公式f2进行缩放f求和得证。

3〃n-\n

规范解答:

2S,

【解析】(1)当〃=1时，—=—=h当〃之2时，a-”】2分

2sbi

...S“T-S,=2S“£T，-———=2,4分

s〃S〃_]

二数列｛1｝为以1为首项，2为公差的等差数列,

5分

—=—+-1)x2=2n-1；6分

S〃*

1

(2)由(1)可知，・・.S〃7分

2〃一1

〃(2〃一1)〃(2”2)21”("11)二丸一11

.•.当〃之2时，-5,,=10分

n

从而51+-5+-5+---+-5„--。12分

12233nn21223n-\n22n

构建答题模板：

第一步：利用条件求证数列｛%｝是等差数列(做差)或等比数列(做比)。

第二步：写出｛a,J的通项公式。

第三步：对不等式左侧进行缩放变形，注意有时是先求和后缩放，有时是先缩放后求和。

第四步：反复回顾，注意缩放时有时候需要保留前一项或两项，明确规范书写答题。

练习3、已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且满足4,+2S,JS,,T=0(〃N2)。

(1)求证：数列｛'｝是等差数列；

(2)求S“和明；

⑶求证：s：+s；+…

24n

【解析】(1)S1=4=L,...1-=2,当“22时，a“=S,「S,_[=—2S,「S.\,

2分

2S”

11

2,...数歹为首项为2,公差为2的等差数歹4分

s〃

・二！=2+(〃-1)x2=2〃；

5分

S”

(2)由⑴知S〃=’-,当题22时,1]

Q〃=-2S£T=-27分

2n2n2(n-l)

_2

当〃=1时不符合，，为=']8分

/?>2

2n(n-l)

(3)S；+S]+…+S：=；((+*+*-+*)

9分

4+-L+-L+…+1

)10分

41x22x3(〃一l)x〃

12分

练习:

1、在数列｛%｝中，囚=1,+g(〃22)。

⑴求｛%｝的通项公式。

(2)求｛〃•4｝的前〃项和为S〃。

【解析】(1)。〃=3%_]+4(〃22),,=3a〃+4,设。/]十九=3(4+九)，解得4=2,2分

...数歹U｛%+2｝为首项是3,公比是3的等比数列，...”"+2=3",即4=3"-2；4分

出〃・4=，”3"-2”，设为=小3",前"项和为7；,g=2〃，前”项和为M”，

12,

Tn=々+$+•••+"=l-3+2-3+---+n-3'©,5分

37；=1・32+2・33+…+小3"|②，6分

[—a”1

①-②得：—27；=3i+32+~+3”—〃♦3〃+i=3x---------〃・3"i=--3M+1---n-3H+,,

〃1-322

・・.7；二也二!-3叫3,8分

〃44

2+2〃2

又,**M=C1+。2+,•,+%---------n=n+〃,10分

n2

5=T+M=-=^--3n+l+-+n2+n»12分

〃〃〃44

2、已知数列｛册｝的前〃项和S.,①=2,且满足/+i=S“+2"+i(〃eN+)。

q

(1)证明数歹lj｛2｝为等差数列；

2"

⑵求Sj+$2+…+S”。

【解析】⑴证明：由条件可知，S,,+1—S“=S〃+2"+i,即S“+「2S“=2"+l2分

整理得当q一2q=1,又当”=1时q斗=1,4分

2〃+12"21

数列的是以1为首项，1为公差的等差数列，宗=1+"-1=〃：6分

(2)解：由⑴可知S"=〃-2”,令7；=S1+S2+…+S”，7分

A7；,=lx2'+2x22+---+n-2n@,8分

27;=1x22+2x23+…+〃・2向②，9分

①-②得：-7；=2i+22+23+…+2”—〃?田，11分

整理得雹=2+(〃—1)2向。12分

3、已知数列｛〃“｝满足S“=2a“一w(〃eN+)。

⑴证明：｛4+1｝是等比数列；

⑵求4+%+%+…+a2,+i(〃eN+)。

【解析】(1)当〃=1时，由S]=2q—1得：4=1,1分

当〃上2时，a„=S„-S,,^=(2a„-«)-\2an_x-(«-1)],2分

/.an=2an_t+1,从而由4+1=2(4._]+1)得卫士、=2(〃22),4分

a,i+l

・・・｛。〃+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，・・・/+l=2x2'i=2〃；6分

2(1-4〃+i)22n+3-3/1-5

(2)由⑴得。〃=2"—1,・•..+%+%+••.+〃2“+1=幺+-----12分

1—43

4、已知数列｛2｝的前〃项和S,,且S,+g4=1(〃w/)。

(1)求数列｛4｝的通项公式：

(2)设a=log3(l—S"+1)(〃eN+),求适合方程「一+」_+…+」_="的正整数”的值。

他2b2b3b„bn+i51

12

【解析】(1)当〃=1时，a]=Sj=1——«]»解得4=—,1分

当〃22时，％=S“—S,i=(l—ga“)一(1—；a“T)=g(a,i—a“)，即为三明，3分

...数列｛%｝是以;为首项，；为公比的等比数列，a“=(xq)"T=(；4分

1I?1

⑵由⑴知5,=1-5。"=1-5、1=1一1,5分

bn=log3(l-5„+I)=log3(l-1+=-(n+1),6分

二11=1______L_8分

b„bn+l[-(«+1)1•[-(«+2)]n+\n+2'

.111JLJk,1I、1125,,小

b｝b2b也3"瓦+12334〃+1〃+22n+251

/.n—100c12分

5、已知等差数列｛%｝中，首项4=1,公差d为整数，且满足q+3<%，W+5〉应，数列仍〃｝满足

b„=―!—,其前几项和为s”。

⑴求数列仅“｝的通项公式％;

(2)若$2为S]、S,“(meN+)的等比中项，求小的值。

【解析】(1)由题意，得,4+3<%+2”,解得上<[<^，又deZ,•..d=2,3分

+d+5>+3d22

=l+(n-2)-2=2n-1；4分

(2)Vbn—-------=-------^―-------=—(―^--------------),6分

an-an+[(2n-1)-(2H+1)22n-\2〃+1

-*•S=—[(1H-----F(--------------)]=—(1----------)=---,8分

〃23352/1-12n+l22〃+12n+l

I2/1?

・・・S1=—,S=-,Sm=-----，$2为S]、(相£N+)的等比中项，10分

3252m+\

：.=S„,S[,即(2)2=1.解得“=12。12分

-532/JZ+I

6、已知数列｛%｝是等差数列，4=产—，/=4，%=产+人

(1)求数列｛6｝的通项公式；

(2)若数列｛4｝为递增数列，数列出,｝满足log2bn=a„,求数列｛(4一1)4｝的前〃项和S,,。

【解析】(1)由题意得——f+产+f=2/=8,f=±2,1分

f=2时，6=2,公差d=2,•'.%=2〃，3分

/=—2时，a1=6,公差d=—2,a“=8-2〃；5分

(2)若数列｛q｝为递增数列,则a“=2〃，.•.log22=2〃,2=4",

则-1)6.=(2〃-1)4",7分

5„=I-4+3-42+5-43+---+(2/J-3)4,,_|+(2«-1)4"0,8分

45„=1.42+3-43+5-44+---+(2M-3)4n+(2n-l)4n+l(2),9分

®-®W-3S„=4+2-42+2-43+---+2-4,,-(2n-l)4n+l

=4+2x吗/1(2”1)代=3(6:5)4","分

y=(6…广叫分

7、已知数列｛““｝中，«,=2,。2=4，an+\+2a„_,=3a„(n>2)«

⑴证明:数列｛a--%｝是等比数列;

(2)求数列仅“｝的通项公式；

⑶设勿=。“-1,S”=#-+/-+…+不?一，若劫eN+，使S“-3机成立，求实数〃?的取值范围。

他2b2b3b„bn+i

【解析】(1)证明：：a.+i+2a“_]=3a"(”N2),，a“+|-a“=2(a“-a”_i),a2-ax-2,2分

数列｛4+i-4｝是首项为2,公比为2的等比数列，，4+]-/=2"；4分

⑵：an+i—an—2",

a”—(an—an_x)+—an_2)■1------H(%—《)+4=2"'+2"-H-----i-2+2—2"；6分

(3)ft=a—1=2n—1,；.———=-------—：---——!-------—.8分

,,+|n+l

bnbn+l(2"-1)(2-1)2"2-1

£,=2+4+…+-^

咐2她

=a一打）+（打一行+…+（FTT^CT）=I_^CT10分

若三〃eN+，使S〃N4/%2-3m成立，/.1>4m2-3m,解得一:<〃2<1。12分

8、在等比数列｛4｝中，^=2,%、/+〃4、%成等差数列。

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）若数列｛'｝满足4+%+…+%=4（〃e乂），依｝的前"项和为S,,,求使S„-na,,+620成立的正整

2n

数〃的最大值。

【解析】（1）设等比数列｛%｝的公比为夕，・・・弓=2,%、/+%、生成等差数列，2分

，2（生+。4）=。3+。5，即2（。2+。4）=夕（生+“4），，夕=2,4分

则/=q/i=2x2〃7=2〃，即%=2”；5分

（2）・.・数列｛2｝满足4+—+=af1（n^N+）f:・瓦+%+…+%+&&=a〃+】，6分

2n2nn+1

两式相减得如=4+i—4=2向—2〃=2〃，则%[=5+1)・2",即与二〃,2〃一，n>2,

n+\

2,72=1

当〃=1时，4=%=2,不满足々=〃•2"一，；./?=1,8分

]〃？1,n>2

当〃=1时，不等式等价为S1-q+6=620成立，9分

当“22时，S„=2+2x2'+3x22+4x23+---+nx2"_I®,

则2S“=4+2x2?+3x2?+4x2,+…+"x2"②，

②-①得S”=2+2x21-22-23------2n-'+nx2n

=6_"U"^+〃X2"=6+4—2"T+"X2"=10+(〃—2).2",11分