2021年河南省新乡市卫辉市中考数学二模试卷

2021年河南省新乡市卫辉市中考数学二模试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）6的相反数的倒数是（）

A.-AB.AC.-6D.6

66

2.（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与其他三个不同的是

（）

3.（3分）截至2021年3日24时，据国家有关部门通报，我国累计报告免费接种新冠疫苗

7495.6万剂次，有效保护了人民的生命健康7495.6万用科学记数法表示为（）

A.7.4956X107B.7.4956X108

C.74.956X106D.0.74956X108

4.（3分）下列运算正确的是（）

A.（a2）3=（?5B.44.“2="8c.a6-?iz3=<22D.（ah'）3=a3h3

5.（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

6.（3分）将分别标有“停”“课”“不”“停”“学”汉字的五个小球装在一个不透明口袋中，

这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回：再随机

摸出一球，两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的概率是（）

A.旦B.WC.-LD.A

2520105

7.（3分）若直线y=-2x-4与直线y=4x+b的交点在第二象限，则b的取值范围是（）

A.-4<Z><8B.-4<Z><0C.b>SD.—W8

8.（3分）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、。都在这些小正方形的顶点

上，AB与CD相交于点P,则tanZAPD的值为（）

A.2B.V5C.3D.A/6

9.（3分）如图，Rt/XABC中，ZACB=90°,CQ平分NACB交A8于点£>,按下列步骤

作图：

步骤1：分别以点C和点。为圆心，大于工C。的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点;

2

步骤2：作直线分别交AC,BC于点E,F；

步骤3：连接OE,DF.

若AC=4,BC=2,则线段QE的长为（）

323

10.（3分）如图，点B是反比例函数y=&（x>0）图象上一点，过点8分别向坐标轴作垂

X

线，垂足为4,C.反比例函数y=K（x>0）的图象经过。8的中点M,与AB,BC分

x

别相交于点。，E.连接QE并延长交x轴于点F,点G与点。关于点C对称，连接3凡

BG.则△8。尸的面积为（）

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）计算：（遍）°+3^Z^-2sin450=.

12.（3分）已知x=l是一元二次方程（〃?-2）W+4x-%2=0的一个根，则m的值是.

13.（3分）小天想要计算一组数据82,80,84,76,89,75的方差So2,在计算平均数的

过程中，将这组数据中的每一个数都减去80,得到一组新数据2,0,4,-4,9,-5.记

这组新数据的方差为Si?,则SjSo2（选填“〉”"=

14.（3分）已知，如图，扇形A08中，NAOB=120°,0A=4,若以点A为圆心，AO长

为半径画弧交弧AB于点C,过点C作CC04,垂足为点。，则图中阴影部分的面积

为__________________.

15.（3分）如图，在矩形纸片43。中，4B=6,8c=4,点E是AO的中点，点F是48

上一动点将△AEF沿直线E尸折叠，点A落在点A'处在E尸上任取一点G,连接GC,

GA',CA',则△CG4'的周长的最小值为.

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

25m-2<C3（m+2）

16.（8分）先化简mYm+4+（工一皿-。，然后在m+5『的解集中选择一个

m-1m-1-^2m

o

合适的整数代入求值.

17.（9分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承优秀文化，阅读经典名著”的活动.为了

了解学生的阅读效果，该校举行了知识竞赛，现从中随机抽取20名学生的试卷，他们的

成绩如下：（成绩得分用x表示，单位：分）

90829986989690100898387888790931001009692100

根据以上信息解答下列问题：

（1）直接写出上述表格中a,b,c的值；

（2）若该校有1600名学生参加了此次竞赛请估计成绩不低于90分的人数是多少？

（3）请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义.

18.（9分）小明同学借助无人机测量如意湖的宽度CD.如图所示，一架水平飞行的无人机

在A处测得下方河流的左岸C处的俯角为a,无人机沿水平线AF方向继续飞行60米至

B处，测得正前方河流右岸。处的俯角为30°.线段AM的长为无人机距地面的铅直高

度，点M,C,。在同一条直线上其中tana=2,5«7=50«米.

（1）求无人机的飞行高度AM;（结果保留根号）

（2）求河流的宽度8（结果精确到1米，参考数据：72^1.41.73^1.73）.

BF

19.（9分）已知：如图，△A8C为锐角三角形，AB=AC,CD//AB.求作线段BP,使得点

P在直线CD上，且

2

作法：①以点4为圆心，4c长为半径画圆交直线C。于C,P两点;

②连接BP.

线段8尸就是所求作的线段.

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；

(2)请依据作法，说明

2

(3)已知A2=2,当四边形ABCP为菱形时，求售的长度.

20.(9分)某社区计划对面积为1800京的区域进行绿化经投标，由甲、乙两个工程队来完

成，己知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立

完成面积为400小区域的绿化时，甲队比乙队少用4天设甲工程队施工x天，乙工程队

施y天，刚好完成绿化任务.

(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积.

(2)求y与x之间的函数解析式.

(3)甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，且甲乙两队施工的

总天数不超过26天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低

费用.

21.(10分)在平面直角坐标系xO.v中，关于x的二次函数y=d+px+q的图象过点A(-1,

0),B(2,0),与y轴交于点C.

(1)求这个二次函数的表达式及C点的坐标；

(2)求当-3WxW2时，y的最大值与最小值的差；

(3)在y轴上找一点P,使△B4C为等腰三角形请直接写出点P的坐标.

22.（10分）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：

如图1,将长为12c机的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A

固定在桌面上，图2是示意图.

活动一

如图3,将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D,当旋转至水平位置时，

铅笔AB的中点C与点。重合.

（1）设CD=xcm,点B到OF的距离GB=ycm.

①用含x的代数式表示：AO的长是cm,3。的长是cm,

②y与x的函数关系式是,自变量x的取值范围是.

活动二

（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格

x(cm)6543.532.5210.50

y(cm)00.551.21.58—2.4734.295.08—

②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点G,y）.

③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象.

数学思考

（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论.

y/cmA

6

4

3

2

1

23.（11分）如图，△ABC和△ACE是有公共顶点A的两个等腰直角三角形，ZDAE=Z

BAC=90°,AD=AE,A8=AC=6.。在线段8c上，从B到C运动，点M和点N分

别是边BC,OE的中点.

【问题发现】

（1）若点力是BC边的中点时，股=,直线BO与MN相交所成的锐

MN

角的度数为（请直接写出结果）；

【解决问题】

（2）若点。是BC边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由.

【拓展探究】

（3）在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值.

E

B

DM

2021年河南省新乡市卫辉市中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）6的相反数的倒数是（）

A.-AB.AC.-6D.6

66

【考点】相反数；倒数.

【解答】解：6的相反数是-6,-6的倒数是3.

6

故选：A.

2.（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与其他三个不同的是

（）

【考点】简单组合体的三视图.

【解答】解：选项A、C、。的左视图均为一列两个小正方形，选项8的左视图为两列，

小正方形的个数分别为2,1,

•••左视图与其他三个不同的是选项B.

故选：B.

3.（3分）截至2021年3日24时，据国家有关部门通报，我国累计报告免费接种新冠疫苗

7495.6万剂次，有效保护了人民的生命健康7495.6万用科学记数法表示为（）

A.7.4956X107B.7.4956X108

C.74.956X106D.0.74956X108

【考点】科学记数法一表示较大的数.

【解答】解：根据科学记数法的定义，7495.6万=74956000=7.4956X1（）7,

故选：A.

4.（3分）下列运算正确的是（)

A.（j）3=/B.^-a^—a3C.a64-«3=a2D.（ab）3—a3b3

【考点】同底数幕的乘法：幕的乘方与积的乘方；同底数幕的除法.

【解答】解：•；（/）3=血

，选项A不符合题意；

Va4*a2=«6,

，选项B不符合题意；

选项C不符合题意；

•••（而3=//,

二选项。符合题意.

故选：D.

5.（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

【考点】数学常识；勾股定理的证明；轴对称图形；中心对称图形.

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

8、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；

。、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：C.

6.（3分）将分别标有“停”“课”“不”“停”“学”汉字的五个小球装在一个不透明口袋中,

这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机

摸出一球，两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的概率是（）

1

A.-LB.WC.D

252010-5

【考点】列表法与树状图法.

【解答】解：根据题意画图如下:

开始

停课不停学

/Ax//V

课不停学停不停学停课停学停课不学停课不停

共有20种等情况数，其中两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的有4种,

则随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的概率是一£=工；

205

故选：D.

7.（3分）若直线y=-2r-4与直线y=4x+Z?的交点在第二象限，则。的取值范围是（）

A.-4<Z><8B.-4</?<0C.b>SD.-2W6W8

【考点】一次函数图象与系数的关系；两条直线相交或平行问题.

b+4

得,xF

【解答】解：解方程组.y=-2x-4

y=4x+bb-8

F

所以直线y=--4与直线y=4x+b的交点坐标为（-更1,生8）,

63

因为直线y=-2x-4与直线y=4x+h的交点在第二象限,

-^<0

6

所以《解得：b>8.

^->0

3

故选：C.

8.（3分）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、8C、。都在这些小正方形的顶点

上，AB与CD相交于点P,则tanNAP。的值为（）

A.2B.V5C.3D.加

【考点】相似三角形的判定与性质.

【解答】解：如图：连接BE,

•.•四边形BCE。是正方形，

：.DF=CF=1.CD,BF”BE,CD=BE,BE±CD,

22

：.BF=CF,

根据题意得：AC//BD,

/XACPsABDP,

：.DP：CP=BD：AC=1：3,

：.DP：DF=\：2,

：.。尸=PF=」CF=」BF,

22

在RtZ\P3F中，tan/3PF=gE=2,

PF

ZAPD=NBPF,

/.tanZAPD=2.

故选：A.

9.（3分）如图，RlZvWC中，NAC8=90°,CO平分NACB交AB于点。，按下列步骤

作图：

步骤1：分别以点C和点D为圆心，大于工C。的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点；

2

步骤2：作直线MN,分别交AC,BC于点E,F；

步骤3：连接。E,DF.

若AC=4,BC=2,则线段QE的长为（）

A.§B.3C.V2D.A

323

【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质.

【解答】解：由作图可知，四边形EC"）是正方形，

:.DE=DF=CE=CF,NDEC=NDFC=9Q°,

***S>ACB=SAADLSACDB，

：.JLXACXBC=Ax/tCXDE+AXBCXDF,

222

；./）£=4><2=4,

63

故选：D.

10.（3分）如图，点B是反比例函数（x>0）图象上一点，过点8分别向坐标轴作垂

X

线，垂足为A,C.反比例函数y=K（x>0）的图象经过的中点M,与AB,BC仔

x

别相交于点，E.连接。E并延长交x轴于点尸，点G与点O关于点C对称，连接BF,

BG.则尸的面积为（）

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；中心对称;

坐标与图形变化-旋转.

【解答】解：（1）设点8（s,t）,sr=8,则点M（L,L）,

22

则k=^sAsf=—xg—2>

2244

.♦.△8。尸的面积=△OBO的面积=SMOA---1X2=3；

22

故选：D.

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）计算：（遍）°+^^-2sin45°=-2-道.

【考点】实数的运算；零指数幕；特殊角的三角函数值.

【解答】解：原式=1-3-2X返

2

=-2-&•

故答案为：-2-

12.（3分）已知工=1是一元二次方程（加-2）f+4%-加2=0的一个根，则团的值是一1.

【考点】一元二次方程的解.

【解答】解：把x=l代入方程（〃?-2）J?+4X-相2=0得至Ij（〃7-2）+4-〃P=o,

解得：m=-1或加=2,

-1,

故答案为：-1.

13.（3分）小天想要计算一组数据82,80,84,76,89,75的方差5b2,在计算平均数的

过程中，将这组数据中的每一个数都减去80,得到一组新数据2,0,4,-4,9,-5.记

这组新数据的方差为S3,则SF=So2（选填

【考点】算术平均数；方差.

【解答】解：•••一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均

数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，

/.Si2=So2.

故答案为：=.

14.（3分）已知，如图，扇形AOB中，ZAOB=120Q,OA=4,若以点A为圆心，AO长

为半径画弧交弧48于点C,过点C作CD_LOA,垂足为点O,则图中阴影部分的面积为

-|n±2V3--

【考点】圆周角定理；扇形面积的计算.

【解答】解：如图，连接OC,AC.

由题意OA=OC=AC,

/\AOC是等边三角形,

AZAOC=60Q,

VZAOB=nO0,

・・・NBOC=60°,

VCD±OA,

：・OD=AD=2,

2_

•"•S阴影=SBOC+S^ACD=x4-+—X2X2V^=&n+2«，

36023

15.（3分）如图，在矩形纸片ABC。中，AB=6,8c=4,点E是AO的中点，点F是AB

上一动点将△AEF沿直线EF折叠，点A落在点A'处在Ek上任取一点G,连接GC,

GA',CA',则△CGA'的周长的最小值为2标_2+皿.

【考点】矩形的性质；轴对称-最短路线问题；翻折变换（折叠问题）.

【解答】解：如图，连接AC交所于G,连接A'G,连接EC,

此时△△'GC的周长最小，最小值=A'G+GC+CA'^GA+GC+CA'=AC+C4

•；四边形ABC。是矩形，

AZD=90°,AD=BC=4,CD=AB=6,

'•^C=yJ^2+^2=2-/13,

.•.△4'CG的周长的最小值=JI》CA',

当C4'最小时，△CG4'的周长最小，

\'AE=DE=EA'=2,

*'•CE=J62+22=2A/*I5,

CA'》EC-EA',

：.CA'^2A/1Q-2,

：.CA'的最小值为2Jm-2,

△CG4'的周长的最小值为2，记-2+万，

故答案为：2/话-2+A/13-

三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)

2f5m-2<3(m+2)

16.(8分)先化简m,然后在m+5’的解集中选择一个

m-lnr1《2m

合适的整数代入求值.

【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解.

2

【解答】解：m-4m+4,+(2一皿-。

m-lm-l

=(m-2)2=3-(m+l)(nrl)

m-lm-l

_-

-—-(-m--2-产--.---m--l--

mV3-m2+l

2

=(m-2)

(2+m)(2-m)

_2~m

2+m

5m_2<C3(m+2)

由,m+5/得1/加〈%

R2m

・.・加-IWO,(2+m)(2-m)WO,

1,±2,

••/n~~3,

当加=3时，原式=2二3=-

2+35

17.（9分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承优秀文化，阅读经典名著”的活动.为了

了解学生的阅读效果，该校举行了知识竞赛，现从中随机抽取20名学生的试卷，他们的

成绩如下：（成绩得分用x表示，单位：分）

90829986989690100898387888790931001009692100

整理数据：

80«8585Wx<9090«9595WxW100

34a8

分析数据:

平均分中位数众数

92bC

根据以上信息解答下列问题：

（1）直接写出上述表格中a,6,c的值：

（2）若该校有1600名学生参加了此次竞赛请估计成绩不低于90分的人数是多少？

（3）请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义.

【考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数；众数；统计量的选择.

【解答】解：（1）由学生的成绩可得a=5,

学生共有20人，第10和第11个成绩的平均数是中位数，所以〃=86+87=86$,

2

学生成绩出现次数最多的是100分，共出现4次，即c=100,

所以。=5,b=86.5,c=100.

（2）1600X旦至=1040（人），

20

答：此次竞赛请估计成绩不低于90分的人数是1040人；

（3）选择中位数，说明这20个人的成绩在86.5分以上的有10人，在86.5分以下的有

10人.

18.（9分）小明同学借助无人机测量如意湖的宽度CD如图所示，一架水平飞行的无人机

在A处测得下方河流的左岸C处的俯角为a,无人机沿水平线AF方向继续飞行60米至

8处，测得正前方河流右岸。处的俯角为30°.线段AM的长为无人机距地面的铅直高

度，点M,C,。在同一条直线上其中tana=2,MC=5（＞用米.

（1）求无人机的飞行高度AM;（结果保留根号）

（2）求河流的宽度。（结果精确到1米，参考数据：加弋1.41,、笈右1.73）.

AB

^'<30°

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【解答】解：过点8作垂足为N,由题意可知，

ZACM=a,ZBDM=30°,AB=/WV=60米，

（1）在中，tan/ACM=tana=2,MC=50«米,

：.AM=2MC=100-/3=BN,

答：无人机的飞行高度AM为100«米；

（2）在RtABND中，

VtanZBD/V=M,即：tan30°=222?Z1,

DNDN

；.QN=300米，

ADM=DN+MN^300+60=360（:米），

/.CD=DM-A/C=360-50V3^274（米），

答：河流的宽度CO约为274米.

<BF

^'<30°

（、

19.（9分）已知：如图，ZXABC为锐角三角形，AB=AC,CD//AB.求作线段8P,使得点

P在直线CD上，且NABP=JL/8AC.

2

作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆交直线CD于C,P两点；

②连接BP.

线段BP就是所求作的线段.

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；

(2)请依据作法，说明

2

(3)已知A8=2,当四边形ABCP为菱形时，求行的长度.

【考点】等腰三角形的性质；菱形的性质；圆周角定理；弧长的计算；作图一复杂作图.

NABP=NCPB,

"：AB=AC,

：.ZAP8=ZABP,

：.ZABP^l-ZAPC,

2

\'AP=AC,

：./4PC=ZACP,

'：PC//AB,

：.ZBAC=ZACP,

：./R4C=ZAPC^^ZABP；

2

(3)•••四边形ABCP为菱形,

：.PA=PC,

[ft]AP—AC,

：.R\=PC=AC=AB=2,

•••△孙。为等边三角形，

AZB4C=60°,

有的长度=EX71x2.=2n.

1803

20.(9分)某社区计划对面积为1800,”2的区域进行绿化经投标，由甲、乙两个工程队来完

成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立

完成面积为400#区域的绿化时，甲队比乙队少用4天设甲工程队施工尤天，乙工程队

施y天，刚好完成绿化任务.

(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积.

(2)求y与x之间的函数解析式.

(3)甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，且甲乙两队施工的

总天数不超过26天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低

费用.

【考点】分式方程的应用：一元一次不等式的应用；一次函数的应用.

【解答】解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是。病，

根据题意得：%-%=4,

a2a

解得：a=50,

经检验，。=50是原方程的解，

则甲工程队每天能完成绿化的面积是50X2=100(/7?2).

答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100,〃2、50m2；

(2)根据题意，得：100x+50y=1800,

整理得：y=36-2x,

.♦.y与x的函数解析式为：y=36-2x；

(3)•.•甲乙两队施工的总天数不超过26天，

；.x+yW26,

.".x+36-2xW26,

解得：x210,

设施工总费用为卬元，根据题意得：

w=0.6x+0.25y=0.6x+0.25X(36-2x)=0.1x+9,

VJI=0.1>0,

；.卬随x减小而减小,

.•.当x=10时，卬有最小值,最小值为0.1X10+9=10,

此;时y=26-10=16.

答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低，最低费用为10万元.

21.(10分)在平面直角坐标系xO-v中，关于x的二次函数y=/+px+q的图象过点A(-1,

0),B(2,0),与y轴交于点C.

(1)求这个二次函数的表达式及C点的坐标；

(2)求当-3WxW2时，y的最大值与最小值的差；

(3)在y轴上找一点P,使△勿C为等腰三角形请直接写出点P的坐标.

【考点】二次函数综合题.

【解答】解：⑴由二次函数)=/+px+q的图象经过A(-1,0)和8(2,0)两点,

得(l-p+q=0,

[4+2p+q=0

解得卜7，

lq=-2

此二次函数的表达式为＞=7-x-2；

(2)•.•抛物线开口向上，对称轴为直线工，

22

...在-3Wx＜2范围内，如图，

当x=-3,函数有最大值为：＞=9+3-2=10；当x=2时函数有最小值：2

2-42

=-2

4

的最大值与最小值的差为：10-(-1)=尊；

44

（3）设尸为（0,机）,

则必2=(0+1)2+w2=m2+l,PC1—(?M+2)2—m1+4m+4,AC1—(0+1)2+(-2-0)

2=5,

当物=PC时，m2+1=77?2+4OT+4,

解得：-3；

4

当以=AC时，m2+l=5,

解得：机=2或-2(舍去)；

当AC=PC时，5=nr+4m+4,

解得：机=-2+&或-2-遥，

的坐标为(0,/•)或(0,2)或(0,-2+泥)或(0,-2-捉).

22.（10分）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：

如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A

固定在桌面上，图2是示意图.

活动一

如图3,将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D,当旋转至水平位置时，

(1)设CO=xcm,点B到OF的距离GB=ycm.

①用含x的代数式表示：4£）的长是（6+x）cm,8。的长是（6-x）cm；

②y与x的函数关系式是一正丝丝自变量x的取值范围是0WxW6.

6+x-

活动二

（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格

xCem)6543.532.5210.50

y(cm)00.551.21.5822.4734.295.086

②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点G,y）.

③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象.

数学思考

（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论.

【考点】函数关系式；函数的图象；线段的和差；平行线分线段成比例.

【解答】解：（1）①如图3中，由题意AC=O4=LB=6（＜?机）,

.,.AD=(6+x)(c/n),BD=\2-(6+x)=(6-x)(cm),

故答案为：(6+x),(6-x).

@'：OA1.OF,BGLOF,

:.BG〃OA,

・・.跑=也

**0AAD，

•••y--6-x9

66+x

••.y=366x（0WxW6）,

6+x

故答案为：y=36-6x,（）WxW6.

6+x

（2）①当x=3时，y—2,当x=0时，y=6,

故答案为2,6.

②点（0,6）,点（3,2）如图所示.

（3）性质1：函数值y的取值范围为0WyW6.

性质2：函数图象在第一象限，y随x的增大而减小.

23.（11分）如图，△ABC和△49E是有公共顶点A的两个等腰直角三角形，ZDAE=Z

BAC=90°,AD=AE,AB=AC=6.£）在线段8c上，从8到C运动，点M和点N分

别是边8C,OE的中点.

【问题发现】

（1）若点。是BC边的中点时，段=直线8。与MN相交所成的锐角的度数

MN

为4为（请直接写出结果）；

【解决问题】

（2）若点。是BC边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由.

【拓展探究】

(3)在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值.

【考点】三角形综合题.

【解答】解：(1)如图1中,

图1

当点。是8c的中点时，'：AB=AC,

：.AD±BC,AO平分NBAC,

：.ZCAD=ZADE^45°,

J.ACLDE,

平分OE,

点N落在AC上,

:.BM=AM=^^MN,NNMC=45°,

流S

故答案为：血，45°.

(2)结论成立.

理由：如图2中，连接AM,AN.

"：AB=AC,ZBAC=90°,BM=CM,

.,.AM1.MC,AM=BM=CM,

：.AB=42AM,

同法可证AD=y[2AN,

•.•/B4M=/D4N=45°,

：.NBAD=4MAN,

••AB=AD

,AMAN"

:.△BADsXMAN,

a

..BD=AB=/7；ZABD=ZAMN=45.

MNAM

(3)如图3中，当。在线段8C上，从B运动到C时，点N的运动轨迹是线段MM

MN=LBE=6.

2

图3

当CN_LMN时，CN的值最小，最小值=」XC=3.

2

考点卡片

1.相反数

(1)相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

(2)相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互

为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等.

(3)多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”

号，结果为正.

(4)规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-如。的相反

数是的相反数是-(m+"),这时机+〃是一个整体，在整体前面添负号时，要用

小括号.

2.倒数

(1)倒数：乘积是1的两数互为倒数.

一般地，a'——\(aWO),就说a(aWO)的倒数是上.

aa

(2)方法指引：

①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”.正像减法转化为加法及相反数一

样，非常重要.倒数是伴随着除法运算而产生的.

②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同.

【规律方法】求相反数、倒数的方法

求一个数的相反求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“-”即可

数

求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一

求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置

注意：。没有倒数.

3.科学记数法一表示较大的数

(1)科学记数法：把一个大于10的数记成aX10〃的形式，其中a是整数数位只有一位的

数，〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：“义10",其中

〃为正整数.】

（2）规律方法总结：

①科学记数法中。的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位

数少1;按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此

法表示，只是前面多一个负号.

4.数学常识

数学常识

此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解.比如给出一个物体的高度

要会选择它合适的单位长度等等.

平时要注意多观察，留意身边的小知识.

5.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、基的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

6.同底数塞的乘法

（1）同底数基的乘法法则：同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

（如"是正整数）

（2）推广：0m•4,ap=a'"+"+P（m,n,p都是正整数）

在应用同底数幕的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25,（42.）3与（/序）

4,（x-y）2与（x-y）3等；②〃可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有

相乘时才是底数不变，指数相加.

（3）概括整合：同底数基的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键.在

运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变

形为同底数幕.

7.幕的乘方与积的乘方

（1）哥的乘方法则：底数不变，指数相乘.

（«m）"=/'（w,〃是正整数）

注意：①基的乘方的底数指的是累的底数；②性质中“指数相乘”指的是累的指数与乘方的

指数相乘，这里注意与同底数塞的乘法中“指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘.

Cab）（〃是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘

方的意义，计算出最后的结果.

8.同底数幕的除法

同底数幕的除法法则：底数不变，指数相减.

（。/0,如〃是正整数，m>n'）

①底数因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1,而不是0；

③应用同底数基除法的法则时，底数“可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什

么，指数是什么.

9.分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺

少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=

2.代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选

择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式

都有意义，且除数不能为0.

10.零指数幕

零指数幕：a°=l(a#0)

由1,可推出。°=1(aWO)

注意：O°W1.

11.一元二次方程的解

(1)一元二次方程的解(根)的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解•又因为只含有一个未知

数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有两个解,但不一定有两个实数解.这处,X2是一元二次方程a^+bx+c

=0(4W0)的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

axr+bxx+c—O(a#0),axi1+bx2+c—0(a#0).

12.分式方程的应用

1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答.

必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，

要写出单位等.

2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率

=工作量工作时间

等等.

列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能

力.

13.一元一次不等式的应用

(1)由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以

得到实际问题的答案.

(2)列不等式解应用题需要以“至少”、“最