匀速圆周运动

第2课时匀速圆周运动●知识要点梳理1.描述圆周运动的物理量(1)线速度：是描述质点绕圆周运动快慢的物理量，某点线速度的方向即为该点切线方向，其大小的定义式为.(2)角速度：是描述质点绕圆心运动快慢的物理量，其定义式为ω＝，国际单位为rad/s.(3)周期和频率：周期和频率都是描述圆周运动快慢的物理量，用周期和频率计算线速度的公式为，用周期和频率计算角速度的公式为.(4)向心加速度：是描述质点线速度方向变化快慢的物理量，向心加速度的方向指向圆心，其大小的定义式为或a＝rω2.(5)向心力：向心力是物体做圆周运动时受到的总指向圆心的力，其作用效果是使物体获得向心加速度(由此而得名)，其效果只改变线速度的方向，而不改变线速度的大小，其大小可表示为或F＝mω2r，方向时刻与运动的方向垂直，它是根据效果命名的力.说明：向心力，可以是几个力的合力，也可以是某个力的一个分力；既可能是重力、弹力、摩擦力，也可能是电场力、磁场力或其他性质的力.如果物体做匀速圆周运动，则所受合力一定全部用来提供向心力.2.匀速圆周运动(1)定义：做圆周运动的物体，在相同的时间内通过的弧长都相等.在相同的时间内物体与圆心的连线转过的角度都相等.(2)特点：在匀速圆周运动中，线速度的大小不变，线速度的方向时刻改变.所以匀速圆周运动是一种变速运动.做匀速圆周运动的物体向心力就是由物体受到的合外力提供的.●重点难点突破一、描述匀速圆周运动的物理量之间的关系共轴转动的物体上各点的角速度相同，不打滑的皮带传动的两轮边缘上各点线速度大小相等.二、关于离心运动的问题物体做离心运动的轨迹可能为直线或曲线.半径不变时物体做圆周运动所需的向心力是与角速度的平方(或线速度的平方)成正比的.若物体的角速度增加了，而向心力没有相应地增大，物体到圆心的距离就不能维持不变，而要逐渐增大使物体沿螺线远离圆心.若物体所受的向心力突然消失，将沿着切线方向远离圆心而去.三、圆周运动中向心力的来源分析向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是某些力的合力，或某力的分力.它是按力的作用效果来命名的.分析物体做圆周运动的动力学问题，应首先明确向心力的来源.需要指出的是：物体做匀速圆周运动时，向心力才是物体受到的合外力.物体做非匀速圆周运动时，向心力是合外力沿半径方向的分力(或所有外力沿半径方向的分力的矢量和).●热点题型探究1.圆周运动各量之间的关系【例1】(2022•上海)小明同学在学习了圆周运动的知识后，设计了一个课题，名称为：快速测量自行车的骑行速度.他的设想是：通过计算踏脚板转动的角速度，推算自行车的骑行速度.经过骑行，他得到如下的数据：在时间t内踏脚板转动的圈数为N，那么踏脚板转动的角速度ω＝；要推算自行车的骑行速度，还需要测量的物理量有；自行车骑行速度的计算公式v＝.【解析】根据角速度的定义式得ω＝；要求自行车的骑行速度，还要知道自行车后轮的半径R，牙盘的半径r1、飞轮的半径r2、自行车后轮的半径R；由v1＝ωr1＝v2＝ω2r2，又ω2＝ω后，而v＝ω后R，以上各式联立解得v＝【答案】；牙盘的齿轮数m、飞轮的齿轮数n、自行车后轮的半径R(牙盘的半径r1、飞轮的半径r2、自行车后轮的半径R)；Rω或2πR（2πR或Rω)【思维提升】在分析传动问题时，要抓住不等量和相等量的关系.同一个转轮上的角速度相同，而线速度跟该点到转轴的距离成正比.【拓展1】如图所示，O1为皮带传动装置的主动轮的轴心，轮的半径为r1；O2为从动轮的轴心，轮的半径为r2；r3为与从动轮固定在一起的大轮的半径.已知r2＝，r3＝、B、C分别是三个轮边缘上的点，那么质点A、B、C的线速度之比是3∶3∶4，角速度之比是3∶2∶2，向心加速度之比是9∶6∶8，周期之比是2∶3∶3.【解析】由于A、B轮由不打滑的皮带相连，故vA＝vB又由于v＝ωr，则由于B、C两轮固定在一起所以ωB＝ωC由v＝ωr知所以有ωA∶ωB∶ωC＝3∶2∶2vA∶vB∶vC＝3∶3∶4由于vA＝vB，依a＝得由于ωB＝ωC，依a＝ω2r得aA∶aB∶aC＝9∶6∶8再由T＝知TA∶TB∶TC＝∶∶＝2∶3∶32.离心运动问题【例2】物体做离心运动时，运动轨迹()A.一定是直线B.一定是曲线C.可能是直线，也可能是曲线D.可能是圆【解析】一个做匀速圆周运动的物体，当它所受的向心力突然消失时，物体将沿切线方向做直线运动，当它所受向心力逐渐减小时，则提供的向心力比所需要的向心力小，物体做圆周运动的轨道半径会越来越大，物体的运动轨迹是曲线.【答案】C【思维提升】理解离心运动的特点是解决本题的前提.【拓展2】质量为M＝1000kg的汽车，在半径为R＝25m的水平圆形路面转弯，汽车所受的静摩擦力提供转弯的向心力，静摩擦力的最大值为重力的倍.为了避免汽车发生离心运动酿成事故，试求汽车安全行驶的速度范围.(取g＝10m/s2)【解析】汽车所受的静摩擦力提供向心力，为了保证汽车行驶安全，根据牛顿第二定律，依题意有kMg≥M，代入数据可求得v≤10m/s●易错门诊3.圆周运动的向心力问题【例3】如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r.物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同.物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动.【错解】当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力Fm′指向圆心，则Fm′＝mr ①由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即Fm′＝μFN＝μmg ②由①②式解得ωm＝要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足0<ω<【错因】A物随盘一起做匀速圆周运动的向心力是绳的拉力和A物所受的摩擦力的合力提供，而拉力的大小始终等于B物的重力.【正解】由于A在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它所受的合外力必然指向圆心，而其中重力、支持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以A所受的摩擦力的方向一定沿着半径或指向圆心，或背离圆心.当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力.即F＋Fm′＝mr ①由于B静止，故F＝mg ②由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即Fm′＝μFN＝μmg ③由①②③式解得ω1＝当A将要沿盘向圆心滑时，A所受的最大静摩擦力沿半径向外，这时向心力为F－Fm′＝mr ④由②③④式解得ω2＝要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足≤ω≤【思维提升】根据向心力公式解题的关键是分析做匀速圆周运动物体的受力情况，明确哪些力提供了它所需要的向心力.●映射高考真题1.（2022.安徽高考）一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a）所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向已速度υ0抛出，如图（b）所示。则在其轨迹最高点p处的曲率半径是A.B.C.D.【答案】选C.【详解】物体做斜上抛运动，最高点速度即为斜上抛的水平速度，最高点重力提供向心力，由两式得。2.（2022·海南物理·T15）如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆。ab为沿水平方向的直径。若在a点以初速度沿ab方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c点。已知c点与水平地面的距离为圆半径的一半，求圆的半径。【答案】【详解】如图所示，，则小球做平抛运动的水平位移竖直位移根据，联立以上两式解得●同步过关演练1．如图1所示，a、b是地球表面上不同纬度上的两个点，如果把地球看作是一个球体，a、b两点随地球自转做匀速圆周运动，这两个点具有大小相同的()A．线速度 B．角速度C．加速度 D．轨道半径解析：地球上各点(除两极点)随地球一起自转，其角速度与地球自转角速度相同，故B正确；不同纬度的地方各点绕地轴做匀速圆周运动，其半径不同，故D不正确；根据v＝ωr，a＝rω2可知，A、C不正确．答案：B图22．如图2所示为A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支，由图可知()A．A物体运动的线速度大小不变B．A物体运动的角速度大小不变C．B物体运动的线速度大小不变D．B物体运动的角速度与半径成正比解析：对于物体A有aA∝eq\f(1,r)，与a＝eq\f(v2,r)相比较，则vA大小不变，所以A物体的线速度大小不变．对于物体B有aB∝r，与a＝rω2相比较，则ωB不变，故选项A正确．答案：A图33．如图3所示，将完全相同的两小球A、B用长为L＝0.8m的细绳悬于以v＝4m/s向右运动的小车顶部，两小球与小车前后竖直壁接触，由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张力之比FB∶FA为(g＝A．1∶1 B．1∶2C．1∶3 D．1∶4解析：当车突然停下时，B不动，绳对B的拉力仍等于小球的重力；A向右摆动做圆周运动，则突然停止时，A点所处的位置为圆周运动的最低点，由此可以算出此时绳对A的拉力为FA＝mg＋meq\f(v2,L)＝3mg，所以FB∶FA＝1∶3，C正确．答案：C图44．如图4所示，放置在水平地面上的支架质量为M，支架顶端用细绳拴着的摆球质量为m，现将摆球拉至水平位置，然后释放，摆球运动过程中，支架始终不动，以下说法中正确的是()A．在释放瞬间，支架对地面压力为(m＋M)gB．在释放瞬间，支架对地面压力为MgC．摆球到达最低点时，支架对地面压力为(m＋M)gD．摆球到达最低点时，支架对地面压力为(3m＋M)解析：刚释放时，绳对支架没有作用力，故支架对地面的压力等于支架重力；摆球到达最低点时，设其速度为v，由动能定理得mgL＝eq\f(1,2)mv2①由牛顿第二定律，得F－mg＝meq\f(v2,L)②由①②式得F＝3mg.对支架，由平衡条件得FN＝Mg＋3mg.答案：BD图55．在光滑的圆锥漏斗的内壁，两个质量相同的小球A和B，分别紧贴着漏斗在水平面内做匀速圆周运动，其中小球A的位置在小球B的上方，如图5所示．下列判断正确的是()A．A球的速率大于B球的速率B．A球的角速度大于B球的角速度C．A球对漏斗壁的压力大于B球对漏斗壁的压力D．A球的转动周期大于B球的转动周期图6解析：此题涉及物理量较多，当比较多个量中两个量的关系时，必须抓住不变量，而后才能比较变量．先对A、B两球进行受力分析，两球均只受重力和漏斗给的支持力FN.如图6所示，对A球据牛顿第二定律：FNAsinα＝mg①FNAcosα＝meq\f(vA2,rA)＝mωA2rA②对B球据牛顿第二定律：FNBsinα＝mg③FNBcosα＝meq\f(vB2,rB)＝mωB2rB④由两球质量相等可得FNA＝FNB，C项错．由②④可知，两球所受向心力相等．meq\f(vA2,rA)＝meq\f(vB2,rB)，因为rA>rB，所以vA>vB，A项正确．mωA2rA＝mωB2rB，因为rA>rB，所以ωA<ωB，B项错误．又因为ω＝eq\f(2π,T)，所以TA>TB，D项是正确的．答案：AD图76．如图7所示的皮带传动装置中，点A和B分别是两个同轴塔轮上的点，A、B、C分别是三个轮边缘的点，且RA＝RC＝2RB，则三质点角速度和线速度的关系分别为(皮带不打滑)()A．ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1，vA∶vB∶vC＝1∶2∶1B．ωA∶ωB∶ωC＝2∶2∶1，vA∶vB∶vC＝2∶1∶1C．ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶2，vA∶vB∶vC＝1∶1∶2D．ωA∶ωB∶ωC＝2∶2∶1，vA∶vB∶vC＝1∶2∶2解析：因皮带不打滑，传动带上各处线速度大小相同，故vB＝vC，因A、B在同一圆盘上，故角速度相等，即ωA＝ωB，再由线速度与角速度的关系式v＝ωr，因RA＝2RB，有vA＝2vB，又RC＝2RB，有ωB＝2ωC，将各式联系起来可知B正确．答案：B图87．如图8所示，某种变速自行车有六个飞轮和三个链轮，链轮和飞轮的齿数如下表所示．前后轮直径为660mm，人骑自行车行进速度为4m名称链轮飞轮齿数N/个483828151618212428A.1.9rad/s B．rad/sC．rad/s D．rad/s解析：车行进速度与前、后车轮边缘的线速度相等，故后轮边缘的线速度为4m/s，后轮的角速度ω＝v/R＝eq\f(4,330×10－3)rad/s≈12rad/s.飞轮与后轮为同轴装置，故飞轮的角速度ω1＝ω＝12rad/s.飞轮与链轮是用链条连接的，故链轮与飞轮线速度相同，所以ω1r1＝ω2r2，r1、r2分别为飞轮和链轮的半径，轮周长L＝NΔL＝2πr，N为齿数，ΔL为两邻齿间的弧长，故r∝N，所以ω1N1＝ω2N2.又踏板与链轮同轴，脚踩踏板的角速度ω3＝ω2，则ω3＝eq\f(ω1N1,N2)，要使ω3最小，则N1＝15，N2＝48，故ω3＝eq\f(12×15,48)rad/s＝rad/s≈rad/s.答案：B图98．质量为m的石块从半径为R的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果摩擦力的作用使得石块的速度大小不变，如图9所示，那么()A．因为速率不变，所以石块的加速度为零B．石块下滑过程中受的合外力越来越大C．石块下滑过程中受的摩擦力大小不变D．石块下滑过程中的加速度大小不变，方向始终指向球心解析：由于石块做匀速圆周运动，只存在向心加速度，大小不变，方向始终指向球心，D对，A错；由F合＝F向＝ma向知合外力大小不变，B错；又因石块在运动方向(切线方向)上合力为零，才能保证速率不变，在该方向重力的分力不断减小，所以摩擦力不断减小，C错．答案：D9．(2022·广州模拟)如图10用细线吊着一个小球，使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动；圆周运动的水平面与悬点的距离为h，与水平地面的距离为H.若细线突然在A处断裂，求小球在地面上的落点P与A的水平距离．eq\o(\s\up7(),\s\do5(图10))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图11))解析：设小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动的速度为v根据F向＝meq\f(v2,R)有mgtanθ＝mgeq\f(R,h)＝meq\f(v2,R)则v＝Req\r(\f(g,h))若细线突然在A处断裂，小球以速度v做平抛运动，在地面上落点P的位置与A处的切线在同一竖直平面上，设与A处的水平距离为x；则有H＝eq\f(1,2)gt2x＝vt解得x＝Req\r(\f(2H,h)).答案：Req\r(\f(2H,h))图1210．质点P以O为圆心做半径为R的匀速圆周运动，如图12所示，周期为T.当P经过图中D点时，有一质量为m的另一质点Q受到力F的作用从静止开始做匀加速直线运动．为使P、Q两质点在某时刻的速度相同，则F的大小应满足什么条件？解析：速度相同包括大小相等和方向相同，由质点P的旋转情况可知，只有当P运动到圆周上的C点时P、Q的速度大小和方向才相同，即质点P转过eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(3,4)))周(n＝0,1,2