上海高一下期末数学复习全总结学生版

高一下期末复习资料板块一指对幂函数【知识要求】（1）指对幂运算：指数运算、对数运算、指对互换。1.1对数恒等式：log10loga1alogabb a alogM1.2对数公式：logMlogNlogMNlogMlogNa a a a a a logNanlogbnnlogblogbnlogba a am m alogblogbcalogac1logblogblogcloga1alogaabcb指对幂函数图像：基本初等函数图像、图像变换。指对幂函数性质：奇偶、单调、对称、周期。【经典例题】【例1】（1）【2010湖北文03】已知函数fxlog2x3,xx,x00，则ff19。 1 1A．4 B．C．4 D． 4 41【2010湖北文05】函数y的定义域为。log4x30.5331,D．3,11,A．,1B．,C． 4 4 4【2010重庆文04】函数y164x的值域是。A．0, B．0,4C．0,4 D．0,4【例2【】2010北京文06】给定函数①yx12，②yoglx1，③yx1，④y2x1，12其中在区间0,1上单调递减的函数的序号是。A．①② B．②③C．③④ D．①④【例3】【2010全国Ⅰ文10理08】设alog2，bln2，c5，则。3A．abc B．bcaC．cab D．cba板块二三角比【知识要求】角的定义与表示1.1任意角的定义：平面内由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形。（动态的定义）1.2分类：正角、负角、零角；象限角、轴线角。 1.3表示：与角终边一致的角：|3600k,kZ1.4弧度制 l 1 1把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1rad。圆心角；扇形面积Slrr2。 r 2 21rad57.30057018'；100.01745rad。三角比的定义2.1三角比的定义①用直角三角形边之比定义锐角．．三角比；a b a bsin，cos，tan，cot，c c b ac c正割：sec，余割：cscb a22yxrOP。xy22yxrOP。xy。 y y x xsin，cos，tanr x2y2 r x2y2由以上定义可得任意角在各个象限中对应的三角比的正负：一全正、二正弦（余割）、三两切、四余弦（正割）。③用单位圆上的有向线段定义任意角．．．的三角比。sinMPMP，cosOMOM，tanATAT2.2特殊角的三角比0（00）6（030）4（045）3（060）2（090）sin02122231cos12322210tan03313不存在cot不存在31330同角三角恒等式sin2cos21sintan k,kZ cos 2 tancot1k,kZ 2 coscotk,kZsinsincsc1k,kZcossec1k,kZ 2 1tan2sec2k,kZ 2 1cot2csc2k,kZ诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限。将所需化简的角化成k的形式，然后用口诀。2两角和差展开公式sinsincoscossinsinsincoscossincoscoscossinsincoscoscossinsintantantantantantan 1tantan 1tantan二倍角公式sin22sincoscos2cos2sin22cos2112sin22tantan21tan2半角公式1cos1cossin2cos2 2 2 2 2sin1cosk,kZtan 21cossin辅助角公式（提携公式）asinbcosa2b2sin b a bsin，cos，tana2b2a2b2a【经典例题】【例4】（1）若是第二象限角，那么和都不是。22A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【例5】（1）【2010山东明天中学】已知角的终边过点P8m,6sin300，且ocs4，5则m的值为。3 13 13A．B．C． D． 2 2 2 2（2）【2009重庆文06】下列关系式中正确的是。A．sin110cos100sin1680 B．sin1680sin110cos100C．sin110sin1680cos100 D．sin1680cos100sin110cos1，,，则tan的值是【例6】（1）【2009山东临沂】已知sin 5 22。（2）【2009安徽合肥】已知sinx2cosx，则sin2x1。 6 9 4 5A．B．C． D． 5 5 3 3【例7】（1）【2010全国Ⅰ02】记cos800k，那么tan1000。 1k2 1k2 k kA．B．C．D．kk1k21k2（2）【2009安徽皖北】若sin3，则cos。 6 5 3 3 3 4 4A． B．C． D． 5 5 5 5【例8】（1）已知，则1tan1tan。4（2）已知为锐角，且cos5，则cos。6133【例9】（1）已知sinx，则sin2x。 4 531（2）已知sinxcosx，则cos4x。444【例10】（1）【2008四川非延考理05】若02，sin3cos，则的取值范围是。C．,4D．,3A．,B．, 32 3 33 32 2（2）若3sinxcosx，且x0，则sinxcosx 12 123 2 。板块三三角函数【知识要求】定义：一般地，形如ysinx，ycosx，ytanx的函数称为三角函数。图像①由单位圆上的有向线段平移所得②五点法图像变换①同名函数之间进行变换；②所有变换必须针对x或y；③左加右减，“上正下负”。三角函数性质：奇偶、单调、周期、对称【经典例题】【例11】（1）作出函数y2sin2x的图像。 3（2）【2010江苏10】定义在区间0,上的函数y6cosx的图像与y5tanx的图像的2交点为P，过点P作PPx轴于点P，直线PP与ysinx的图像交于点P，则线段 1 1 1 2PP的长为。12【例12】（1）【2010天津文08】右图是函数yAsinxxR在区间6,56上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将ysinxxR的图像上所有的点。 1(A)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 3 2向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变3 1向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 6 2向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变6（2）【2005天津理08】要得到y2cosx的图像，只需将函数y2sin2x的图像 4上所有的点的。 1 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度8 1 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度4C、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度4D、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度8【例13】（1）【2010重庆理06】已知函数ysinx(0,)的部分图像如图所2示，则。 A．1B．1 6 6 C．2D．2 6 6的图像不可能．．．是（2）【2009浙江理08】已知a是实数，则函数f的图像不可能．．．是。【例14【例14】（1）【2010浙江理11】函数2()sin(2)22sinfxxx4【2010北京理15改编】函数fx2cos2xsin2x4cosx的最大值为______，最小值为______。5【自编】函数ysinxcosxsinxcosx，x12,6的值域为______。【例15】（1）【自编】已知函数fxsin2x2sin2x，xR（ⅰ）求函数的值域；（ⅱ）求函数的最小正周期；（ⅲ）求函数的单调性；（ⅳ）求函数的对称轴和对称中心；（2）【自编】下列命题①函数fxsin22x的最小正周期是； 4 2②函数fx2sinxcosx在（，）上是递增的；42 ③函数ytan2x的图像关于点,0中心对称； 6 3 ④函数ysin2xsin2x是奇函数。 4 4其中正确命题的序号为。【例16】（1）【2003天津文21】已知函数f(x)sin(x)(0,0)是R上的 3 偶函数，其图像关于点M(,0)对称，且在区间[0,]上是单调函数。求和的值。 4 2 （2）【2008辽宁理16】已知f(x)sin(x)(0),f()f()，且f(x)在区间 3 6 3(,)有最小值，无最大值，则＝__________。四反函数【知识要求】1.1定义：若函数yfx的定义域为A，值域为B，对于B中每一个元素y在A中有唯0一确定的元素x与之对应，则函数yfx存在反函数，即为yf1x，否则不存在反0函数。1.2存在反函数的前提条件：一一映射。1.3求反函数的步骤：①求值域；②反解；③互换1.4互为反函数的两函数的性质：①奇偶性：原函数奇函数，反函数奇函数；原函数偶函数，反函数一般情况下不存在，但若为单点函数可存在反函数。②单调性：原函数在某一区间上的增减性与反函数在对应区间上的增减性一致。③原函数与反函数关于直线yx对称。1.5反三角：①反三角公式：arcsinxarcsinx，arccosxarccosxarctanxarctanx，arccotxarccotxarcsinxarccosxarctanxarccotx2sinarcsinxcosarccosxtanarctanxcotarccotxx当x2,2时，arcsinsinxx当x0,时，arccoscosxx当x,时，arctantanxx22当x0,时，arccotcotxx②反三角函数的图像和性质名称名称定义定义域值域图像反正弦函数y=arcsinx(ysin=x,x[-2,2]的反函数)[-1,1][-2,2]反余弦函数y=arccosx(ycos=x,x[0,]的反函数)[-1,1],[0]反正切函数y=arctanx(y=tanx,x(-2,2)的反函数)(-,+)(-2,2)xy1O-122xyO22xy1O-12【经典例题】【例17】（1）函数yx22xx0的反函数为 。exex（2）【1992全国理】函数y的反函数为。2A．奇函数，且在0,单调递减 B．偶函数，且在0,单调递C．奇函数，且在0,单调递增 D．偶函数，且在0,单调递增（3）【2004全国理15】已知函数yfx是奇函数。当x0时，fx3x1，设fx的反函数是ygx，则g8。 13 ,3，【例18】（1）【2008上海第三女子中学高一下期末试题13】已知：sinx，x2则x等于 。1A．arcsin31B．arcsin31C．arcsin31D．2arcsin3（2）【2008上海南模中学高一下期末试题05】若x3,23 arcsincosx的取值，则范围是。板块五解三角【知识要求】（1）解三角工具1.1解三角问题：a、b、c、A、B、C、l、S，已知部分量，求解其它量的问题1.2解三角工具①ABC，abcla b c③正弦定理： 2R，R为外接圆半径sinAsinBsinC变形：1）a:b:csinA:sinB:sinC a b2c abc2） 2RsinAsinB2sinCsinAsinBsinC适用情况：1）两角一边；2）两边一对角 b2c2a2 a2c2b2 a2b2c2④余弦定理：cosA，cosB，cosC 2bc 2ac 2ab变形：a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC适用情况：1）三边；2）两边一夹角⑤三角形内的诱导公式sinABsinC，cosABcosC，tanABtanC AB C AB C AB C AB Csincos，cossin，tancot，cottan 2 2 2 2 2 2 2 2⑥三角形内的不等关系：大边对大角，大角对大边；三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；0A，0AB；锐角三角形任一角的余弦值大于0；钝角三角形最大角的余弦值小于0；AcosA0a2b2c2；2AcosA0a2b2c2；2AcosA0a2b2c2；25）ABCab.csinAsinBsinCcosAcosBcosC；6）在ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C有解的充要条件为cosAcosB0。（2）解三角思想2.1a、b、c、A、B、C、l、S，8个量其中知三，必可求其余量（三角除外）；2.2边角，角边【经典例题】【例19】（1）【2010山东文15理15】在ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若a2，b2，sinBcosB2，则角A的大小为。AC【2009湖南文14】在锐角ABC中，BC1，B2A，则的值等于cosA，AC的取值范围为。在ABC中，下列结论：①若a2b2c2，则此三角形为钝角三角形；②若sinC2cosAsinB，则此三角形为等腰三角形；③若AB，则sinAsinB；④cosAcosB0，其中正确的个数为。A．1个 B．2个C．3个 D．4个【例20】（1）【2008浙江文14理13】在ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若3bccosAacosC，则cosA 。（2）【2010江苏13】在锐角ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若ba tanCtanC6cosC，则 的值是。ab tanAtanB【例21】【2010陕西理17】如图，A，B是海面上位于东西方向相距533海里的两个观测点，现位于A点北偏东450，B点北偏西600的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西600且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？板块六方程【经典例题】sin2xcos2x1【例22】【2009闸北高一下期末考试】已知函数f(x)。2cosx求方程f(x)0的所有解；若方程f(x)a在x[0,]范围内有两个不同的解，求实数a的取值范围。3【例23】（1）【2010浙江文09】已知x是函数fx2x1的一个零点。若x1,x， 0 1x 1 0xx,，则。2 0A．fx0，fx0 B．fx0，fx0 1 2 1 2C．fx0，fx0 D．fx0，fx0 1 2 1 2（2）【2010上海文17】若x是方程lgxx2的解，则x属于区间。 0 0A．0,1 B．1,1.25C．1.25,1.75 D．1.75,2板块七数列通论【知识要求】定义：按照一定次序排列起来的一列数。通项公式：3）前n项和：。4）递推公式：【注】通项公式、前n项和以及递推公式（包括第1项或前几项）都是给出数列的方式。1.2表示1）列举；2）解析（通项、前n项和、递推三种形式）；3）图像（孤立的点（离散的点））；1.3分类有穷数列、无穷数列；递增数列、递减数列、摆动数列、常数列；3）有界数列、无界数列。1.4等差数列1）定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列。即aadnN*,n2。 n n1【注】证明等差数列的两种方法： ①aadnN*,n2；②aaaa nN*,n2。 n n1 n1 n n n1通项公式：aan1d，nN*（累加） n 1naann1前n项和：S1 nnad，nN*（倒序相加）n 2 1 2a、a、n、d、S中知三求二。 1 n n1.5等比数列a1）定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数的数列。即nqan1 q0,nN*,n2【注】证明等比数列的两种方法：a a a①nqq0,nN*,n2；②n1nnN*,n2。a a a n1 n n1通项公式：aaqn1，nN*（累乘） n 1na,q1 1 aaq前n项和：Sna111qqn,q1，当q1时，也可写成Sn11qn（错位相减）4）a、a、n、q、S中知三求二。 1 n n1.6用函数观点来分析等差、等比等差：adnad（一次型函数）， n 1dadn（没有常数项的二次型函数）Sn2n2 1a等比：a1qn（指数型函数），nq na ,q11Sna1a1qn,q1（分段函数，分别为一次型和指数型函数）1q1q1.7等差数列性质1）aanmd【拓展】danamn m nm等差中项：2aaann1n1【拓展】①当ijpq时，有aaaa； i j p q【注】等差数列a，若aaaa，则ijpq不一定成立。 n i j p q②S 2n1a【注】anS2n1 2n1 n b S' n 2n1衍生等差数列：①aC为等差数列，公差d；n②ab为等差数列，公差dd； n n 1 2③a（其中m为间距，a为起始项，kN）为等差数列，即等距项为等差数列，kmp p公差md；④S，SS，SS，SS，…为等差数列，公差m2d； m 2m m 3m 2m 4m 3mS d⑤n为等差数列，公差；n 2⑥其它：项数为奇数2n1的等差数列a，有：SSa，S奇n； n 奇 偶 nS n1偶a，有：SSnd，S奇an；项数为偶数2n的等差数列 n 奇 偶 S a 偶 n1等差数列a中，若an，ammn，则a mn； n n m mn 等差数列a中，若am，anmn，则a 0； n n m mn 等差数列a中，若Sm，Snmn，则S mn； n n m mn 等差数列a中，若aamn，则aamn，a mn；n m n m n mn等差数列a中，若SSmn，则SSmnd，S 0。 n m n m n mn1.8等比数列性质a1）aaqnm【拓展】qnmnn m am等比中项：a2aa n n1n1【拓展】①当ijpq时，有aaaa； ij pq【注】等比数列a，若aaaa，则ijpq不一定成立。 n ij pq②2n1aa2n1 i ni1衍生等比数列：①对任意非零实数，a为等比数列，公比为q；n②ab为等比数列，公比为qq；an为等比数列，公比为q1； nn 12bn q2③S，SS，SS，SS，…依然成等比数列，公比为qm。m 2m m 3m 2m 4m 3m【注】若a1n，nN*，则S，SS，SS，…就不成等比数列。 n 2 4 2 6 4【经典例题】【例24】（1）【2008北京理06】已知数列a对任意p、qN*满足aaa，且 n pq p qa6，那么a等于。2 10A．165 B．33C．30 D．21 1（2）数列an满足：an12a2an,10,1ana21，若a176，则数列的第2010项为 n 2 n。【例25】（1）已知annN*，则在数列a中最大项为。nn2156 n（2）已知数列a中，an2nnN*，且a是递增数列，则实数的取值范 n n n围为。【例26】（1）已知等比数列a中，a3，S41，则a。n 32 3 2 1已知9，a，1成等差数列，9，b，b，b，1成等比数列，则ab 1 1 2 3 12。已知数列a的通项为a112n，nN*，数列b的每一项都有ba，n n n nn则数列b的前n项和S。 n n【2006北京理07】设fn2242721023n10nN，则fn等于。 2 2 22A．(8n1) B．(8n11)C．8n31 D．8n41 7 7 7 7【例27】（1）【2009全国Ⅰ文14理14】设等差数列a的前n项和为S，若S72， n n 9则aaa。 2 4 9【2009辽宁理06】设等比数列a的前n项和为S，若S63，则S9n n S S 3 6。 7 8A．2 B．C． D．3 3 3等差数列a、b的前n项和分别为S、T，且Sn3n1，则a8n n n n T 2n3 b n 8。【2010广东四校联考】等比数列a的公比为q，其前n项的积为T，并且满足条件n na1a1，aa10，99 0，给出下列结论：1 99100 a1100①0q1；②aa10；101③T的值是T中最大的；n④使T1成立的最大自然数n等于198。n其中正确的结论是。板块八通项、前n项和、递推公式之间的推导【知识要求】数列中的核心问题：1.1aS n n通法：S n ii1（1）公式求和：naann1AP：S1 nnadn 2 1 2na,q1GP：Sn11qn,q11qnn1123n2nn12n12232n26nn122333n32裂项相消 1 11 1①分式：nppnnpn 1 11 1AnBAnCCBAnBAnC1 11 1 nn1n22nn1n1n2 1 1②根式：npnnnppnpnplgn③对数：lglgna④指数：aqn qnqn11q错位相减错位相减用于差比数列（AnBqn）求和；倒序相加主要用在类似于fx5（与指数相关函数，其中fxf1x定值）以及组5x5合数问题上；（5）分组求和通项由多成分构成，可单独求和再相加。【注】在选用方法时，可按公式、错位相减、倒序相加、裂项的次序选择。1.2Sa n nS,n1通法：a1nSnSn1,n21.3递推关系式a、Sn n（1）递推关系式的形式递推关系式的三种形式：①只含a；②只含S；③同时含有a和Sn n n n将第三种情况向第一种或第二种转化S,n1转化的工具：采用a1 ，可以消a，也可消S。但无论采用哪种都需要nSnSn1,n2 n n分类讨论。方法的选择取决于以下两点：①谁比较好消；②问题求什么。前者作为主导因素。(2)递推a、Sn n①累加法遇到aafn；aafn；afnagn用累加法。 n n1 n n1 n n1②累乘法an（anfn遇到anf a gn）；anfnan1；fnangnan1用累乘法。 n1 n1③构造熟悉数列▲公式法1）abafnn n1当b1时，用累加；当b1时，采用待定系数法或两边同除以bn求解。当b1时，用待定系数法或两边同除以b?。非线性问题ⅰ）aca问题，可考虑两边取对数。n