求数列通项公式的十种方法

即归纳推理，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，然后利用数学归纳法加以证明即可。a1n+1nn23n1=2=3=2=3122n.k(2(2)假设当n＝k时结论成立，即a=k一1+1kk(3)则a=kk(3)则a=kn (已知数列为等差或者等比)直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。n1243nn431211n可用公式n可用公式nnnn(Ⅰ)求数列{a}的通项公式。nn112nnn-1221当递推公式为a=a+f(n)时，通常解法是把原递推公式转化为a-a=f(n)。n+1nn+1nn1n+1nnn1n+1nnnnn-1n-1n-2211当递推公式为a=af(n)时，通常解法是把原递推公式转化为an+1=f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)n+1nannnnnnnnnnnan解：由条件知n+n1aaa1aaa123213a23411、当递推公式为a=pa+q(其中p,q均为常数，且pq(p一1)士0)时，通常解法是把原递推公式转n+1nnnp例题：已知数列{a}满足a=1,a=3a+1，求{a}的通项公式。n1n+1nn解：由a=3a+1n+1nn+12n2122所以{a+1}是首项为3，公比为3的等比数列n22n222nn2例题：在数列{a}中，a=2，a=4a一3n+1求数列{a}的通项a。nnn+1nn所以an=4n1，即a=4n1+n.nn3、当递推公式为a=pa+cn(其中p,c均为常数，且pc0)时，通常解法是把原递推公式转化为n+1nan+1=p.an+1。①若p=c，则an+1an=1，此时数列{an}是以a1为首项，以1为公差的等差数cn+1ccnccn+1cnccnccanan.1，即a=(n+a1)cn1。②若pc，则可化为cnccn1an+1t=p(ant)(其中t=1)形式求解。(了解即可，不必掌握)cn+1ccncp例题：已知数列{a}中，a=1，a=2a+3n，求数列的通项公式。n1n+1n解：由a=2a+3nn+1n得a3n+1=2(a3n)n+1n所以数列{a3n}是首项为a31=2，q=2的等比数列n1n即a=3n2nn4、当递推公式为a=pan(p,q,s为常数，且pqs0)时，通常两边同时取倒数，把原递推公式napapaapn+1nn1nqapsts1t)(其中aapnpaapan11n+1nt=qps)形式求解。33na例10.已知数列{a}满足a=，且a=n1n12n2a+n1解：原式可变形为2aa+(n1)a=3nann1nn1 n两边同除以3aa得=nn+1a3a3构造新数列{n+入}，使其成为公比q=1的等比数列a3na3a整理得整理得33aa33n1a333n5、当递推公式为a=pa+qa(p,q均为常数)(又称二阶递归)时，将原递推公式a=pnnnn+2 {a-aa}是等比数列。n+1n例题：设数列的前项和为，．已知n+2nn+1n一1n+2n+1nn一1n+1nn+2nn+1312所以4a+a=4an+2n