2022-2023学年四川省宜宾市楼东中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年四川省宜宾市楼东中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若向量的夹角为，,则向量的模为：（

）

A

2

B

4

C

6

D

12参考答案：答案：C2.设复数在复平面内对应的点关于原点对称，，则=A.－2i

B.2i

C.－2

D.2参考答案：A略3.已知向量=（1，2），=（﹣2，x）．若+与﹣平行，则实数x的值是（）A．4 B．﹣1 C．﹣4参考答案：C【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】利用向量坐标运算、向量共线定理即可得出．【解答】解：+=（﹣1，2+x）．﹣=（3，2﹣x），∵+与﹣平行，∴3（2+x）+（2﹣x）=0，解得x=﹣4．故选：C．【点评】本题考查了向量坐标运算、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.等差数列的前n项和为，若，则等于（

）A.52

B.54

C.56

D.58参考答案：A5.设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f′（x）=ex，f（2）=，则x∈[2，+∞）时，f（x）（）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值参考答案：B【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】推出f'（x）的表达式，当x=2时，f（2）=，构造辅助函数，求导，由g′（x）≥0在x∈[2，+∞）恒成立，则g（x）在x=2处取最小值，即可求得f（x）在[2，+∞）单调递增，即可求得f（x）的最小值．【解答】解：由2x2f（x）+x3f'（x）=ex，当x＞0时，故此等式可化为：f'（x）=，且当x=2时，f（2）=，f'（2）==0，令g（x）=e2﹣2x2f（x），g（2）=0，求导g′（x）=e2﹣2[x2f′（x）+2xf（x）]=e2﹣=（x﹣2），当x∈[2，+∞）时，g′（x）＞0，则g（x）在x∈[2，+∞）上单调递增，g（z）的最小值为g（2）=0，则f'（x）≥0恒成立，∴f（x）的最小值f（2）=，故选：B．6.将函数y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心（）A． B． C．（） D．（）参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数的性质进行验证：若f（a）=0，则（a，0）为一个对称中心，确定选项．【解答】解：函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为再向右平移个单位得到图象的解析式为=sin2x当x=时，y=sinπ=0，所以是函数y=sin2x的一个对称中心．故选A．【点评】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高．7.在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于（

）

A.-2012

B.2013

C.2012

D.-2013参考答案：B8.函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是（）A． B．π C．D．2π参考答案：B【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性得出结论．【解答】解：函数f（x）=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x，∴它的最小正周期是=π，故选：B．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．9.已知双曲线的左焦点F在圆上，则双曲线C的离心率为A. B. C. D.参考答案：C设，将代入中得，，解得c=3，所以，所以双曲线C的离心率，故选C.10.下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则的定义域为

.参考答案：

12.等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则_____.参考答案：

13.已知向量是两个不共线的向量，若与共线，则λ=

．参考答案：﹣【考点】平行向量与共线向量．【分析】由向量是两个不共线的向量，以、为基底，把、用坐标表示，利用共线的定义，求出λ的值．【解答】解：∵向量是两个不共线的向量，不妨以、为基底，则=（2，﹣1），=（1，λ）；又∵、共线，∴2λ﹣（﹣1）×1=0；解得λ=﹣．故答案为：．14.若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是

．（写出所有正确命题的编号）．①；

②；

③；④；

⑤参考答案：①，③，⑤．对于命题①由，得，命题①正确；对于命题②令时，不成立，所以命题②错误；对于命题③，命题③正确；对于命题④令时，不成立，所以命题④错误；对于命题⑤，命题⑤正确．所以正确的结论为①，③，⑤．15.a=log0.70.8，b=log1.10.9，c=1.10.9，那么a、b、c的大小关系是

．参考答案：b＜a＜c【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；函数思想．【分析】根据对数函数的图象和性质，易知0＜log0.70.8＜1，log1.10.9＜0，由指数函数的图象和性质，易知1.10.9＞1，得到结论．【解答】解：根据对数函数y=log0.7x，y=log1.1x的图象和性质，可知0＜log0.70.8＜1，log1.10.9＜0由指数函数y=1.1x的图象和性质，可知c=1.10.9＞1∴b＜a＜c故答案为：b＜a＜c【点评】本题主要考查数的大小比较，一般来讲是要转化为函数应用函数的单调性和图象分布来解决．16.若，则的值为

.参考答案：17.设等差数列{an}的前n项和Sn，若a1+a5+a9=18，则S9=

．参考答案：54【考点】等差数列的性质．【分析】先由等差数列的性质，a1+a9=2a5可求a1+a9，然后代入等差数列的求和公式，可得结论．【解答】解：由等差数列的性质可知，a1+a9=2a5，∵a1+a5+a9=18，∴a5=6，∴a1+a9=12，由等差数列的求和公式可得，S9=（a1+a9）=×12=54．故答案为：54．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.是圆：上的动点，过作轴的垂线，垂足为，若中点的轨迹记为．⑴求的方程；Ks5u

⑵若直线：与曲线相切，求直线被圆截得的弦长．

参考答案：⑴设是轨迹上任意一点，对应的圆上的点为……1分，则……2分，且即……4分，∴……5分，即，曲线方程为……6分.⑵由……7分，得……8分∵直线与曲线相切，∴……9分解得，则……10分当时，直线，此时圆的圆心到直线的距离……12分，直线被圆截得的弦长为……13分当时，根据椭圆和圆的对称性知，直线被圆截得的弦长为2……14分.略19.（12分）如图,在长方体,中,,点在棱AB上移动.（Ⅰ）证明:;（Ⅱ）当为的中点时,求点到面的距离;

（Ⅲ）等于何值时,二面角的大小为.参考答案：,解得(不合,舍去),

∴时,二面角的大小为.20.已知函数，.（1）若函数f(x)存在单调增区间，求实数a的取值范围；（2）若，为函数f(x)的两个不同极值点，证明：.参考答案：（1）（2）见解析【分析】（1）由已知可知，若满足条件，即有解，转化为有解，即，设，利用导数求函数的最大值；（2）由已知可知，整理为，再通过分析法将需要证明的式子转化为，若，可变形为，设，即证成立，若，即证.【详解】（1）由题函数存在增区间，即需有解，即有解，令，，且当时，，当时，，如图得到函数的大致图象，故当，∴时，函数存在增区间；（2）法1：，为函数的两个不同极值点知，为的两根，即，，∴，①∴②，要证，即证，由①代入，即证：，，将②代入即证：③且由（1）知，若，则③等价于，令，，即证成立，而，∴在单调递增，∴当时，∴，所以得证；若，则③等价于，令，，，显然成立.法2：要证，又由（1）知，，当时，要证上式成立，即证，易知显然成立；当时，，故只需，即证，也即证，由于时单调递增，故即证，而，只需证，成立，令，只需证在时成立，而，故在单调递增，所以，故原不等式得证.【点睛】本题考查了导数研究函数性质，不等式的综合性问题，意在考查化归和转化和分类讨论的思想，属于难题，本题的难点是第二问极值点偏移问题，利用分析法将所需要证明的式子转化，再根据已知条件代入参数，转化为证明，再通过构造为的不等式恒成立的问题.21.（本小题满分12分）已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角、、所对的边分别是、、．（Ⅰ）若、、依次成等差数列，且公差为2．求的值；（Ⅱ）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值．

参考答案：，

，恒等变形得，解得或.又，.

（Ⅱ）在中，，，，.

的周长，又，,

22.已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原