新思维系列九年级数学2实际问题与二次函数课后拓展训练

实际问题与二次函数1．某旅行社有100个床位，每床每晚收费10元时，床可全部租出，若每次只能提高2元，每床每晚每次收费提高2元时，则减少10张床位租出，为了投资少获利大，每床每晚应提高()A．4元或6元B．4元C．6元D．8元2．某建筑物从10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线形状(抛物线的所在平面与墙垂直，如图所示)，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流的落地点B与墙的距离是()A．2mB．3mC．4mD．5m3．把一个小球以20m/s的速度竖直向上抛出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h＝20t－5t2，当h＝20m时，小球的运动时间为()A．20sB．2sC．(2＋2)sD．(2－2)s4．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短?小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如左下图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A，B两点到奶站距离之和的最小值是．5．如右上图所示的矩形窗框(包括中间的十字形)是用12m长的木料做成的，当长、宽各是多少时，矩形窗框的面积最大?最大面积是多少?6．某商店以每件42元的价格购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t(件)与每件的销售价x(元)可以看成是一次函数关系t＝－3x＋204．(1)写出商店每天卖这种服装的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式；(2)通过对所得到的函数关系式进行配方，说出商店要想每天获得最大销售利润，每件的销售价定为多少最合适?最大销售利润是多少?7．某商场计划投入一笔资金采购一批商品，经市场调查发现：若月初出售，则可获利15％，并可用本利和再投资其他商品，到时又可获利10％；若月末出售，则可获利30％，但要付仓储费700元．根据商场的投资状况，何时出售获利较多?8．如图所示，有一个边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm，点B，C，Q，R在同一条直线l上，当C，Q两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头所示的方向开始匀速运动，ts后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为S(1)当t＝3时，求S的值；(2)当t=5时，求S的值；(3)当5≤t≤8时，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．9．如图所示，边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是(0，2)，一次函数y＝x＋t的图象l随t的不同取值变化时，位于l的右下方由l和正方形的边围成的图形的面积为S(阴影部分)．(1)当t取何值时，S＝3；(2)在平面直角坐标系中，画出S与t的函数图象．10．有一种螃蟹从海上捕获后，若不放养，最多只能存活两天，如果放养在池塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的螃蟹死去．假设放养期间螃蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活螃蟹1000千克放养在池塘内，此时市场价为30元/千克，据推测，此后每千克活螃蟹的市场价每天上升1元，但放养1天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克螃蟹死去，假定死螃蟹均于当天全部售出，售价为20元/千克．(1)设x天后活螃蟹的市场价为P元/千克，写出P关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活螃蟹一次性出售，并设这1000千克螃蟹的销售总额为Q元，写出Q与x之间的函数关系式；(3)该经销商将这批活螃蟹放养多长时间后出售可获得最大利润?最大利润是多少?(利润＝销售总额－收购成本－费用)11．如图所示，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为坐标原点建立平面直角坐标系，A，B，C的坐标分别为A(10，0)，B(4，8)，C(0，8)，D为OA的中点，动点P自A出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位长度，移动时间为t秒．(1)动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，指出自变量t的取值范围，并求出S的最大值；(2)动点P从A出发，经过几秒后线段PD将梯形COAB分成两部分，且这两部分的面积比为1：3?求出此时点P的坐标．12．某产品每件成本10元，试销阶段产品的日销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：x（元）15202530…y（件）25201510…(1)在草稿纸上描点，观察点的分布，建立y与x之间的恰当的函数模型；(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日的销售利润是多少元?13．研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x(吨)时，所需的全部费用y(万元)与x满足关系式y＝x2＋5x＋90，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p甲，p乙(万元)均与x满足一次函数关系．(年利润＝年销售额一全部费用)(1)成果表明，在甲地生产并销售x吨时，p甲＝x＋14，请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润ω甲(万元)与x之间的函数关系式；(2)成果表明，在乙地生产并销售x吨时，P乙＝x＋n(n为常数)，且在乙地当年的最大年利润为35万元，试确定n的值；(3)受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据(1)(2)中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润?(参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标是)参考答案1．C[提示：设提高x元，总收入为y元，则有y＝(10＋x)(100－×10)＝－5x2＋50x+1000，由二次函数的性质可知，当x＝4或6时，y有最大值，但考虑投资少而获利大，所以应提高6元．]2．B[提示：设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2＋，把点(0，10)代入，得a＝，所以解析式为y＝(x－1)2＋，令y＝0，解得x1＝－1(舍去)，x2＝3．]3．B[提示：把h＝20代入h＝20t－5t2，得20t－5t2＝20，解得t＝2．]4．10[提示：如图所示，作点A关于原点O的对称点C，由对称性知C点坐标为(0，－3)，连接BC，交x轴于点D，连接AD，则从A，B两点到奶站距离之和的最小值为AD＋BD＝CD＋BD＝BC．过b作BE⊥y轴于点E，在Rt△BEC中，BE＝6，EC＝5－(－3)＝8，所以BC＝＝＝10．]5．解：设矩形窗框的长为xm，则窗框的宽为＝(4－x)m，则矩形窗框的面积为y＝x(4－x)＝－x2＋4x，配方得y＝－(x－2)2＋4，∵a＝－1＜0，∴y＝－(x－2)2＋4有最大值．当x＝2时，y最大值=4m2，此时窗框的宽为4－x＝2(m)．6．解：(1)销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式为y＝(x－42)·t，∵t＝－3x＋204，∴y＝(x－42)(－3x＋204)，即y＝－3x2＋330x－8568．(2)∵y＝－3x2＋330x－8568＝－3(x－55)2＋507，∴当x＝55时，y最大值＝507，即当每件的销售价定为55元时，可以获得最大利润，且每天的最大利润为507元．7．解：设商场投资x元，在月初出售可获利y1元，在月末出售可获利y2元．由题意可知y1＝15％x＋10％(x＋15％x)＝0．265x，y2＝30％x－700＝－700．当y1＝y2时，＝－700，∴x＝20000；当y1＜y2时，＜－700，∴x＞20000；当y1＞y2时，＞－700，∴x＜20000．综上可知，当商场投资20000元时，月初和月末出售获利一样多；当商场投资大于20000元时，月末出售获利多；当商场投资小于20000元时，月初出售获利多．8．解：(1)如图(1)所示，过P作PE⊥QR，垂足为E，∵PQ＝PR，∴QE＝RE＝QR＝4，∴PE＝＝3．当t＝3时，QC＝3．设PQ与DC交于点G．∵PE∥DC，∴，即，∴CG=,∴S=·CG·QC=××3＝(cm2)．(2)如图(2)所示，当t＝5时，CR＝3，设PR与DC交于点G，由对称性可知S△CRC与(1)中的S△QCG相等，∴S＝×8×3－＝(cm2)．(3)如图(3)所示，当5≤x≤8时，QB＝t－5，RC＝8－t．设PQ交AB于点H，DC交PR于点G．由PE∥CG，得，即，∴CG＝(8－t)，∴S△RCG=(8－t)2，同理可得S△QBH=(t－5)2．∴S=×8×3－(t－5)2－(8－t)2，即S=－t2＋t－=－(t－)2＋，当t=时，S的最大值为.9．解：(1)如右上图所示，设l与正方形的边AD，CD相交于M，N两点，易证得△DMN是等腰直角三角形．当MD＝时，△DMN的面积是1，求得t＝4－，此时S＝3．所以当t＝4－时，S＝3．(2)当0≤t＜2时，S=t2；当2≤t<4时，S＝－(t－4)2＋4；当t≥4时，S＝4．如右下图所示．10．解：(1)由题意可知P＝30＋x．(2)Q＝(1000－10x)·(30＋x)＋10x×20＝－10x2＋900x＋30000．(3)y=－10x2＋900x＋30000－400x－30000=－10x2＋500x=－10(x－25)2＋6250．∵a＝－10＜0，∵y有最大值．当x＝25时，y的最大值是6250元．即当放养25天后出售可获得最大利润，最大利润是6250元．11．解：(1)过点P，B分别作x轴的垂线PF，BE，垂足分别为F，E，则BE＝8，AE＝10－4＝6，∴AB＝＝10，∵PF∥BE，∴，∴PF＝t，∴S＝AD·PF＝×5×t＝2t，其中0≤t≤10，当t＝10时，点P与点B重合，S最大值＝2×10＝20．(2)梯形OABC的面积S梯＝(OA＋BC)·OC＝×(10＋4)×8＝56．①当点P在AB上时，由S△APD＝S梯＝×56＝14，可得2t＝14，t=7，则PF＝t＝，从而点P的坐标为．②当点P运动到CO上时，S△ODP＝S梯＝14，∵OD＝5，∴点P的坐标为，由AB＋BC＋CP＝10＋4＋8－＝，得t＝，所以经过7秒或秒后，线段PD将梯形OABC的面积分成两部分，且这两部分的面积比为1:3，此时符合题意的点P的坐标是，．12．解：(1)经观察发现各点分布在一条直线上，∴y是x的一次函数，设为了y=kx＋b(k≠0)，∵当x＝15时，y＝25，当x＝20时，y＝2,∴解得∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋40．(2)设日销售总利润为z元，∵单件利润为(x－10)元，日销售量y＝－x＋40，∴z＝(x－10)y＝(x－10)(40－x)，整理得z＝－x2＋50x－400，配方得z=－(x－25)2＋225，∴当x＝25时，z最大为225．答：每件产品的销售价定为25