湖南省娄底一中2022年8月高三数学模拟试题解析

湖南省娄底一中2022年8月高三数学（理科）试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合,，则=()A. B.C. D.【答案】D【解析】,=故选D.2.在平行四边形中，为一条对角线，则（）A.（2，4） B.（3，5） C. D.（—2，—4）【答案】C【解析】3．若双曲线的一个焦点为（2，0），则它的离心率为（）A．B． C． D．2【答案】C【解析】故选C.4.若是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题：①若； ②若；③若； ④若，则其中正确命题的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①④正确②③错误，②可能平行也可能相交；③5.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依题意圆心C(a,1),半径r=1,因为圆C与直线相切，所以故选A.6.与不等式同解的不等式是（） A．B． C． D．【答案】B[【解析】又故选B7．已知等于（）A．2 B．—2 C．1 D．—1【答案】B【解析】取得故选B.

8．如图是导函数的图像，则下列命题错误的是（） A．导函数在处有极小值B．导函数在处有极大值C．函数处有极小值D．函数处有极小值【答案】C【解析】因为函数的左边递增，右边递减，所以在处取得极大值.故C是错的.9．现从甲、乙、丙、丁、戌5名同学中选四位安排参加志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作有一人参加。甲不会开车、乙不会翻译，但都能从事其他三项工作，而丙丁戌能胜任全部四项工作，则不同安排方案的种数是（） A．108B．78 C．72 D．60【答案】B【解析】分三种①有甲没有乙②有乙没有甲③甲乙都有共有故选B.10.若函数满足且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为A． B． C． D．【答案】C-1135-3-5第10题图【解析】如图所示，因为函数在区间内的零点的个数为方程-1135-3-5第10题图二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．已知随机变量服从二项分布，则其期望=；【答案】2【解析】因为随机变量服从二项分布，所以期望=主视图俯视图12．垂直于直线，且与曲线相切的直线的方程是________.

主视图俯视图【答案】3x+y+6=0【解析】垂直于直线的切线的斜率是-3,ABCDE13．把边长为1的正方形ABCD沿对角线ABCDE【答案】【解析】三棱锥C－ABD的直观图如图所示，其左视图是等腰直角三角形AEC,AE=EC=，所以左视图的面积为已知两点，为坐标原点，若，则实数t的值为【答案】【解析】A(-1,-2))O若平面区域是一个三角形，则k的取值范围是[A(-1,-2))O【答案】【解析】如图直线恒过点A(-1,-2），符合条件的直线分别在因而.已知等差数列中，有，则在等比数列中，会有类似的结论【答案】【解析】有类比推理猜测可知.-131-3定义在R上的奇函数，当x≥0时，若关于的方程-131-3【答案】【解析】当三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.18．(本小题满分14分)已知在时有极值0.（1）求常数a、b的值；（2）求的单调区间.【答案】(1)a=1，b=3;或a=2，b=9(2)当a=1，b=3时增区间是当a=2，b=9时：增区间是（-∞，-3）和（-1，+∞），减区间是(-3，1).【解析】（1）由（1）知当a=1,b=3时，当a=2,b=9时，故当a=2，b=9时：增区间是（-∞，-3）和（-1，+∞），减区间是(-3，1).19．（本小题满分14分）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，且各次投球相互之间没有影响．（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求这二次投球中恰好命中一次的概率；（2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少有一次命中的概率．【答案】(1)恰好命中一次的概率为．(2)至少有一次命中的概率为.【解析】（1）依题意，记“甲投一次命中”为事件，“乙投一次命中”为事件，则，，，．甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的事件为=.因此甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率为．（2）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次全不命中”的概率是.∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为.于是甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为.20.（本题满分14分）已知抛物线与直线相切于点A（1，1）.（1）求的解析式；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）的范围是.【解析】（1）与直线相切于点A（1，1）且由两式联立的，得出，.（2）设=，要使对任意，不等式恒成立，即恒成立，只需，得出的范围.21．（本题满分15分）如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABC是边长为2的菱形，∠BAD=60°，M为PC的中点.（1）求证：PA【答案】（2）直线AC与平面ADM所成角的正弦值为o【解析】（1）证明：证明：如图连接AC、OM，因为ABCD为菱形，所以点O为oAC的中点，又M为PC的中点，所以在中，解法一：因为点M到平面ADC的距离是点P到平面ADC的距离的一半，即，所以.因为为等腰三角形，且M为PC的中点,所以.取PB的中点E,AD的中点N，连结ME,PN,NE,BN,因为四边形DMEN为平行四边形，所以,又因为为等腰三角形，所以，所以.因为，且oNE所以面.所以.oNE又因为，所以，因为.所以，所以三棱锥.所以，所以直线AC与平面ADM所成角的正弦值.解法二：oA(1,0,0),D(-1,0,0),.o22．（本小题满分15分）如图，曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分，A是曲线和的交点且为钝角，若，.（1）求曲线和的方程；（2）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.【答案】(1)椭圆方程为，抛物线方程为.(2)为定值3.【解析】（1）解法一：设椭圆方程为，则，得.设，则，，两式相减得，由抛物线定义可知，则或（舍去）所以椭圆方