位移法习题课

位移法习题课第1页/共47页一力法与位移法比较解超静定结构两种基本方法力法位移法力学基础未知量以多余约束力为基本未知量以结点的关键位移为基本未知量主要特点静定结构内力位移计算确定未知量将原结构转化为三类基本结构和静定部分将超静定结构转化为静定结构的求解问题静力平衡条件力法根据变形协调条件根据结点和截面的平衡条件第2页/共47页位移法：以结点的关键位移为基本未知量，将原结构转化为三类基本结构和静定部分，根据结点和截面的平衡条件建立位移法方程。基本未知量1）结点角位移；2）结点线位移；基本假定1）忽略受弯杆件的轴向、剪切变形；2）弯曲变形是微小的，杆弯曲后两端距离不变二位移法基本未知量和基本结构

第3页/共47页基本未知量1）结点角位移-----刚结点的转角2）结点线位移-----结点可能发生的线位移基本结构

——先锁、后松。锁住——将原结构转换成基本结构。把原结构的整体变形“拆成”孤立的杆件变形；放松——将基本结构还原成原结构。使附加约束不起用，也就是让各杆件综合在一起时同体系一样能够满足平衡条件。二位移法基本未知量和基本结构

第4页/共47页位移法基本未知量数=关键位移数=附加约束总数

刚架位移法基本结构

图8-1原结构

附加刚臂约束结点转角

附加链杆约束结点线位移三类基本杆构件+静定部分基本结构二位移法基本未知量和基本结构

第5页/共47页位移法基本未知量和基本结构

1.用四个刚臂约束四个刚结点的角位移2.用两根链杆约束B

、G点的水平位移注意:B、

G两点的水平位移相同,C点水平和竖向位移不独立结论:结构的所有位移均已被约束,所有杆件均成为两端固定—属三类基本构件.位移法基本未知量为六个图8-1﹑第6页/共47页位移法基本未知量和基本结构

图8-2结论：刚架有六个位移法基本未知量思考：若BD杆高于变截面处，情况如何？2高跨为阶梯形柱影响柱截面突变处有角位移

、线位移未知量问题特点：1横梁EH弯曲刚度EI=∞影响结点E

、H转角为零——多两个未知量第7页/共47页位移法基本未知量和基本结构

一般结点可有两个独立位移支座结点只有未被约束的位移未知量数=2×结点总数﹣支座链杆数注意:若有静定部分,则应排除在外结论:该珩架位移法有六个位移量桁架位移法未知量图8-3第8页/共47页例1:试确定图8-4（a）刚架的位移法基本未知量图8-4问题:1.有几个独立线位移?两个,中间铰可有竖向位移不求出竖向位移内力无法求2.支座处杆端转角是否作为未知量?不必作为未知量所有杆件已成为三类杆件刚架的位移法基本未知量共四个,基本结构如图(b)结论:二位移法基本未知量和基本结构

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三等截面杆件的转角位移方程1、研究目的供位移法利用其结果，为位移法解超静定问题作准备工作。2、名词及符号规则

1）几种单跨超静定梁按杆端支承形式分成三类：（1）两端固支梁（图a）；（2）一端固支、另端铰支梁（图b）；（3）一端固支、另端滑动支承梁（图c）图8-5（a）（c）（b） 第10页/共47页2）梁的线刚度：3）杆端弯矩——由端点位移引起的弯矩。以MAB、MBA表示。符号规则：对杆端，以顺时针转向为“+”；以逆时针转向为“—”。4）固端弯矩——仅由梁上载荷引起的杆端弯矩。以、表示。符号规则：同杆端弯矩。MABMAB

三等截面杆件的转角位移方程第11页/共47页由迭加原理，得总的杆端弯矩：近角 远角 侧移固端弯矩——杆端弯矩的一般公式（习惯上称为两端固支单跨梁的转角位移方程）。“近4远2侧负6，固端弯矩不能丢。”方程的记忆的口诀：

等截面杆件的转角位移方程ABB’ΔABθAqFPθB第12页/共47页（3）杆端剪力的一般公式由迭加原理，同样可得：为紧凑起见，可把杆端弯矩、杆端剪力写成矩阵形式：——亦称为弯曲杆件的刚度方程第13页/共47页（2）由迭加原理，得总的杆端弯矩MAB：方程记忆口诀：“近角3，侧负3，还要加固弯。”注：一端固支、一端铰支单跨梁的转角位移方程也可由两端固支转角位移方程推出，即：——一端固支、一端铰支单跨梁的转角位移方程。AqFPBB’ΔABθA图8-19第14页/共47页5、一端固支、一端滑动支座单跨梁

图8-6所示梁同时受到θA

、荷载共同作用，其转角位移方程（杆端弯矩计算公式）可由两端固支梁的杆端剪力计算公式推出。再代入两端固支梁的转角位移方程，得：AqFPBB’θAMAB图8-6MBA----不是独立的参数

三等截面杆件的转角位移方程即令θB=0FQBA=0

-6iθA/L-6iθB/L+12i/L2Δ=0

得Δ/L=θA/2第15页/共47页等截面超静定梁的形常数和载常数表第16页/共47页￭7.3.6等截面超静定梁的形常数和载常数表第17页/共47页￭7.3.7等截面超静定梁的形常数和载常数表第18页/共47页

四位移法原理与位移法方程位移法原理以关键位移为基本未知量附加刚臂链杆约束关键位移基本结构由结点和截面平衡条件解出关键位移满足平衡则为真解将外荷栽和关键位移作用于各杆件求出杆端力关键：建立与关键位移相应的结点和截面平衡方程位移法方程第19页/共47页Z1﹍Zn单独作用外荷载单独作用结点弯矩平衡结面内外力平衡绘Mi图Mp图

位移法原理与位移法方程典型方程法将杆端力视作各影响因素单独作用效果的叠加方法一：附加刚臂链杆锁住关键位移位移法方程例2图8-7第20页/共47页四位移法原理与位移法方程第21页/共47页直接利用转角位移方程外荷载和全部关键位移同时发生利用转角位移方程写出杆端弯矩剪力位移法方程结点弯矩平衡截面内外力平衡

位移法原理与位移法方程问题：1。位移法方程的物理意义？平衡方程2，变形协调条件何处体现设定关键位移时已体现方法二：第22页/共47页典型方程法图8-7刚架位移法方程问题:求出全部系数和自由项意义:在实际荷载和关键位移作用下，各附加约束力之和为零系数项物理意义外荷载产生的各附加约束反力R1P、

R2P

、

R3P注意：实际结构无附加约束存在r11r21r31Z1=1产生的各附加约束反力Z2=1产生的各附加约束反力Z3=1产生的各附加约束反力r12r22r32r13r23r33自由项物理意义r11Z1+r12Z2+r13Z3+FR1P=0r21Z1+r22Z2+r23Z3+FR2P=0r31Z1+r32Z2+r33Z3+FR3P=0｛r11Z1+r12Z2+r13Z3+R1P=0r21Z1+r22Z2+r23Z3+R2P=0r31Z1+r32Z2+r33Z3+R3P=0｛第23页/共47页典型方程法：求系数注意：附加约束力与关键位移方向一致为正由横梁∑X=0得r31=-6i/l=r13由∑Mc=0得r11=4i+8i=12i由∑MD=0得r21=4i=r12第24页/共47页典型方程法：求系数注意：附加约束力与关键位移方向一致为正由横梁∑X=0

得r32=-(4i+2i)/l=-6i/l=r23有结点C∑Mc=0得r12=4i=r21有结点D∑MD=0得r22=4i+8i=12i第25页/共47页典型方程法：求系数注意：附加约束力与关键位移方向一致为正有结点C∑Mc=0得r13=-6i/l=r31有结D∑MD=0得r23=r32=-6i/l由横梁∑X=0得r33=2×(6i+6i)/l=24i/l第26页/共47页典型方程法：求自由项注意：附加约束力与关键位移方向一致为正有结点C∑Mc=0得R1p=-ql2/12有结点D∑MD=0得R2p=ql2/12由横梁∑X=0得R3p=-FP第27页/共47页典型方程法：图8-7刚架系数项：带入位移法典型方程，求得Z1Z2和Z3自由项：R1p=-ql2/12R2p=ql2/12R3p=-FPr11=12ir22=12ir33=24i/l2r12=r21=4i

r13=r31=-6i/l

r23=r32=-6i/l12iZ1+4iZ2-6iZ3-ql2/12=04iZ1+12iZ2-6iZ3+ql2/12=0-6iZ1-6iZ2+24i/l2Z3-FP=0｝第28页/共47页位移法典型方程不同结构相同的方程形式（8-4）方程物理意义Rij自由项----外荷载产生的相应Zi的附加约束反力可正可负可为零rij主系数Zj＝1产生相应在Zi的附加约束反力可正可负可为零有反力互等定理rij=rjirii主系数Zi＝1产生相应在Zi的附加约束反力恒正在实际荷载和关键位移作用下，各附加约束力之和为零。系数物理意义r11Z1+r12Z2+…+r1nZn+R1P=0r21Z1+r22Z2+…+r2nZn+R2P=0r31Z1+r32Z2+…+rnnZn+RnP=0…

…

…

…｝第29页/共47页位移法典型方程典型方程也可以写成矩阵形式

rZ+RP=0r称为刚度矩阵，Z成为未知位移向量，Rp为载荷引起的附加约束力向量位移法方程是一个线性代数方程求解这一方程足可以得到全部基本未知量r11Z1+r12Z2+…+r1nZn+R1P=0r21Z1+r22Z2+…+r2nZn+R2P=0r31Z1+r32Z2+…+rnnZn+RnP=0…

…

…

…｝第30页/共47页位移法典型方程最后，杆端弯矩和剪力可以根据转角位移方程求算，也可根据叠加原理用下式计算：MiFNiFQi

分别是基本结构由于Zi=1的作用而产生的内力，MP、FQP和FNP则分别是基本结构由于荷载作用而产生的内力。M=M1Z1+M2Z2+‥‥+MnZN+MpFQ=FQ1Z1+FQ2Z2+……+FQnZn+FNQPFN=FN1Z1+FN2Z2+……+FNnZn+FNP｝8-5第31页/共47页

直接利用平衡条件建立位移法方程1、基本原理

——先拆、后装。即：1）化整为零——逐杆导出杆端弯矩式（有线位移的还需导出剪力式）；2）拼零为整——汇交于刚结点的各杆端弯矩应满足平衡条件（有线位移的还需取脱离体，建立剪力平衡条件）。2、解题步骤与方法1）确定基本未知量

——定基本未知量数目，并标在相应结点处；第32页/共47页2）导出各杆端弯矩和剪力表达式

——根据变形与载荷情况，由转角位移方程，导出用基本未知量表示的各种杆端弯矩表达式，有线位移时还需导出剪力表达式；3）建立求解基本未知量的平衡方程

——利用原结构刚结点的力矩平衡条件和结构中某一部分的平衡条件（通常为横梁部分的剪力平衡条件）或整体的平衡条件，建立求解基本未知量的方程组；

直接利用平衡条件建立位移法方程第33页/共47页4）解方程组，求解基本未知量；5）将所求未知量回代第2步，求得各种杆端内力6）作内力图——M、FQ图；7）校核

——刚结点是否满足力矩平衡条件和结构某部分或整体是否满足投影平衡条件。

直接利用平衡条件建立位移法方程第34页/共47页直接利用平衡条件建立位移法方程

4iZ1+8iZ2（b）M图CD8iZ1+4iZ2（c）图4iZ1-6i/lZ3CA2iZ1-6i/lZ34iZ2-6i/lZ32iZ2-6i/lZ3（d）图DB拆：将原结构变为三类杆件图8-21第35页/共47页§8-5直接利用平衡条件建立位移法方程杆端力表达式（利用转角位移方程）MAC=2iZ1-6i/lZ3MCA=4iZ1-6i/lZ3{MBD=2iZ2-6i/lZ3MDB=4iZ2-6i/lZ3{MDC=8iZ2+4iZ1+ql2/12MCD=8iZ1+4iZ2-ql2/12{FQCA=-6i/lZ1+12i/l2Z2FQDB=-6i/lZ2+12i/l2Z3{第36页/共47页§8-5直接利用平衡条件建立位移法方程合：建立位移法方程方程一：12iZ1+4iZ2-6i/lZ3-ql2/12=0MDC=8iZ2+4iZ1+ql2/12MDB=4iZ2-6i/lZ3方程二：

4iZ1+12iZ2-6i/lZ3+ql2/12=0MCD=8iZ1+4iZ2-ql2/12MCA=4iZ1-6i/lZ3取结点C为隔离体取结点D为隔离体MCA+MCD=0由∑Mc=0得MDC+MDB=0由∑MD=0得第37页/共47页

直接利用平衡条件建立位移法方程FQCA=-6i/lZ1+12i/l2Z2FQDB=-6i/lZ2+12i/l2Z3方程三：6i/lZ1-6i/lZ2+24i/l2Z3-FP=06i/lZ1-6i/lZ2+24i/l2Z3-FP=012iZ1+4iZ2-6i/lZ3-ql2/12=0

4iZ1+12iZ2-6i/lZ3+ql2/12=0取横梁CD为隔离体FQCA+FQDB-FP=0由横梁∑X=0得位移法方程与典型方程法所得方程相同求得Z1Z2Z3代入转角位移方程即可求得各杆端力得位移法方程：{第38页/共47页刚架受力分析步骤分析：(1)确定结构的未知量，即关键位移。对于典型方程法还应画出附加刚臂和链杆约束下的基本结构，并将外荷载作由于基本结构。（2）建立位移法方程。对于典型方程法，应先分别画出各单位弯矩图和荷载弯矩图，并求出各系数和自由项；平衡方程法则应先列出各杆件各杆端弯矩表达式，并根据截面平衡需要列出相应杆件的建立表达式。（3）求解位移法方程，得基本未知量，即关键位移。（4）求出各杆件的杆端力并做出内力图。可以利用转角位移方程或者利用(8-12)求的内力。行架受力分析步骤相同，杆端力按材力公式求。第39页/共47页4超静定行架