椭圆与抛物线

北京四中高数高综复专二一一知网

椭与曲二高考1.椭圆与曲线的定、标准方程与几何性质；2.有关圆曲线的轨（或轨迹方程）的探求；3.直线与锥曲线的题：对称问题；最值问题；范围问题等；4.圆锥曲的探索性题或应用问题；5.以圆锥线为主要容的综合问题；6.数形结、等价转、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力一般思维力等基本能力。三知要(一椭圆

Ⅰ定义推论1定义的认知设M为椭圆上任一点，

分别为椭圆焦点，

分别为椭圆轴端点，有（）明朗的量关系：（解决焦点半径题的首选式）（）隐蔽的等关系：，（寻求某些本量取值围时建立等式的基本依据）2定义的论根据椭圆第定义

为椭圆

上任意一点

分别为椭圆左右焦点，有：（为点M到准线l的距离）1（为点M到准线l的距离）22由此导出椭的焦点半公式：Ⅱ标准程与几何性质1椭圆标准方程中心在原点焦点在x轴的椭圆标方程①中心在原点焦点在上的椭标准方程②（）标准方①、②中的a、b、c具有相的意义相同的联：（）标准方①、②统一形式：2椭圆

的几何性质

（）范围：（界曲线）（）对称性关于x、y轴及原点对称两轴一中心，椭圆的共性）（）顶点与轴长顶点予a、b名称与几意义）

，长轴2a，短轴2b由此赋（）离心率（）准线：左焦右焦点

刻画椭圆的平程度对应的左准对应的右准椭圆共性：准线垂直长轴；两线之间的距离为；中心到准线距离为

；焦点到相准线的距为

.Ⅲ挖掘引申1具特联系的椭圆方程（）共焦距椭圆的方程且（）同离心的椭圆的方程且2弦长式：设斜率为k的线l与圆交于不同两点，

ii则；或。（二）双曲Ⅰ、定义与论1定义的知设M为双曲线上意一点，点，则有：

分别为双曲两焦点，

分别为双曲实轴端（）明朗的量关系：（）隐蔽的等关系：

（解决双焦半径问题首选公式，（寻求某些本量的取范围时建不等式的依据）2定义的论设为双曲线右焦点，则，其中，推论：焦点径公式当点M在曲线右支时，当点M在曲线左支时，

为焦点

上任意上点到相应准线l的距离；。

分别为双曲左、Ⅱ、标准方与几何性3双曲的标准方程中心在原点焦点在x轴的双曲线准方程为①中心在原点焦点在上的双线标准方程为（）标准方①、②中的a、b、c具有相的意义相同的联：

②

（）标准方①、②的统一形式：或：（）椭圆与曲线标准方程的统一形式：4双曲

的几何性质（）范围：（）对称性关于x、y轴及原点对称两轴一中心）（）顶点与长：顶点（由此赋予a,b名称与几何义）（）离心率（）准线：左焦

对应的左准；右点

对应的右准双曲线共性准线垂直实轴；两准线距离为；中心到准线距离为；焦到相应准线的距离为（）渐近线双曲线

的渐近线方：

22Ⅲ、挖掘与伸1具有殊联系的双线的方程对于双曲线（※（）当μ为值时）为焦点的双曲线（系）方：c=λ+μ（

为定值时离心率亦为共近线的双曲系程：；（）以直线

为渐近线的曲线（系方程为：特别与双曲线（左边相同区别仅在右边的常）2弦长式设斜率为k的线l与曲线交于不同两点则经例1、

共渐近线的曲线的方为：（椭

的一个焦点等于。（）已知椭

的焦点为F、，P其上的动点，当1

为钝角时，点P的横坐标的取值范围为。分析：

（1从此椭的标准方程切入。由题设知已得：这里由此解得（）这里b=2,∴以线段为直径圆的方程1设又由∴

，则由点在圆上得：为钝角得：②

①∴由①②联立，解得：∴所求P横坐标的值范围为点评：注意点P对

的大小的影可用点与

相对位置关来反映，故选择一解法。然，本题可由较。

推出

的范围，请学们尝试比2已知

为椭圆的两焦点，过

的直线交椭于P、两，

且，求椭圆的心率。分析：不防椭圆方程，

为等腰直角角形，注到这一三角含有点P处的两条焦点径，故想利用椭圆一定义构建有关方程。

解：设椭圆程为设，则又由椭圆第定义得∴的周长为∴即注意到为，∴

为等腰

得：

①∴即

②②因此，①代②′得由此解得∴点评：这里条件运用颇为分：两次运椭圆定义第一次用导出①，第二项用于导出②；两次用

条件：第一利用

为等腰

表示出，第次利用

为

导出②充分利用设条件，是解题成的保障之一。3、知双曲线

的左、右两焦点为

，P为双曲线上点，又，

成等比数列

，求双曲线程。分析：这里求b的值。注意的方程或不式。由题得

，为了求，首先需从题设条件手寻找关b，为便于将设为关于b的方程，考推导并利

用双曲线的点半径公。因此，题便以判定点P置拉开序。解：这里∵，即

（的殊性），∴点P在双曲线右上设点，则由双线第二定以及点P在双曲右支上①又由题设得∴①代②得

②③再注意到由

得∴∴

，即

④于是③、④

⑤而

，所以由⑤因此，所求曲线方程：点评：这里已知条件

的两次运用第一“粗用利用4=2a的特殊判定点P在双曲线右上；第二细用，用

（将4作为一正数）导出点横坐标在的范围：。粗细结合将已知条运用得酣畅淋漓。4、椭圆

的焦点为为椭上一点，

的最大

值为。（）求椭圆离心率；（）设直线l与椭交于M、两点，且直l与圆心在点，半径等于的圆相切，知线段长度最大值为4，求圆方程和直l的方。分析：

中

的最大值为

的最小值为，着特殊与一般相互存的辩证系，想到在入。解：

中运用余弦理推导

的最小值切（）设

，

，

，则在

中由余弦定得即

①∴

的最小值为又由题设知∴

的最大值，

的最小值为∴

即

∴（）由已知圆方程为由题设知直l不垂直于x轴设直线l的方程为设则由直线l与圆将③代入②：

相切得：

②③④∴④代⑤得∴直线l与圆相交于同两点又由韦达定得：∴

⑤，⑥（当且当

，即

时等号成立∴

的最大值为2b当

时取得）∴由题得（此时）⑦

∴a=2b=4

⑧进而由④得，即⑨因此，由⑦⑧、⑨得求椭圆方为

，直线l的程为

或点评里导出①式为此问题的共基础设为椭

上任意一点，，则

最小值为据此若

的最大值为，（即若若

的最大值为，（即的最大值为，（即5已斜率为1的直线l与离心率两点，又直l与y轴交于，且

的双曲线，

交于PQ，求直线和曲线方程分析主要已知件借助向表出故主问题是认知已知条件进而根据题的具体况进行推理或化。解：由

得，∴双曲方程为设将②代入①对于方程③

①，直线l的方程为②③恒成立

由韦达定理

④⑤∵∴即由此得又由题设得，故得⑥∴由④⑥联立解得将⑦代入⑤

⑦⑧再注意到

得⑨∴将⑦⑧代入⑨得解得，∴因此，由①②得所求曲线方程

，

⑩所求直线方为点评：（Ⅰ）关于类直线与锥曲线相的问题，对于交点坐标的处置适当否，成为题繁简成败的关键于是，围着对交点标的解与设”的应选择，产生出解题策略解而不设设而不解；既设又”与不设解。在这里，我们对交点P的坐标用的是既设又解，

请同学们注品悟这里解”的分的把握。（Ⅱ）这里题的层次明，已知一转化一代入一结论：已知式（已知式（

）→转化→代入→结论⑧）→转化→代→结论⑩同学们应注学习与追这种解题明晰与漂亮。6、知，（）求点（，）的轨迹的轨迹程；（直线试求m的取值围。

与曲线C于A点，分析：对于（1已知条件入，利用向的坐标表进行推理；对（2类关直线与圆曲线相交的比较复杂的问题要刻意基本的弦点或弦长问题转化。解：（）由已知

，∴由

得，得∴所求P的轨迹C方程为

①（）设则将l的程代入①

，弦AB的中点

，②由题意得③

且④∴即中点M的坐为注意到点D在弦AB的垂平分线上∴∴于是将⑤代③得此时再注意由⑤得

（，且，且

））⑤或⑥⑦（关于k二次数隐含范围发掘）于是由⑥、所求的值范围点评：（）认知已知条，这时其向基本的长或弦中问题转化这是解决线与圆锥曲复杂问题基本策略一；（）注意在求参数的取值范围的过程中，对所用的二次数等有关数的值域的发掘与运用：在里，

为k的二次函数又由这里，故。此

可解关于k的次函数的值范围知这一些，会导出五高真：（）择

。这是本题出正确结的最后的障，不认的错误结果1.椭圆交点为，

的两个焦点（）

，过

作垂直于x轴的直与椭圆相，一个A.B.D.4分析：由已不防设点在x正方，则

代入椭圆方得，故点，从而，故选。2.点在椭圆（的准线上点P且方向为光线经过直y=-2反后通过圆的左焦，则这个椭圆的离心率为（）

的A.B.C.D.分析：运用射光线与射光线的理性质，刻意运用入射光线与反射线的性质联系。点P，1）关于线的对称为左焦点又方向为

的直线的斜为，设入射光线直线y=-2的交点M则由入光线与反光线倾斜角之间的关系得

∴∴，解得：c=1.再由点，）在左准上得，∴，应选A。动点（x，）在曲线（）上变化，则

的最大值为

）A.

B.C.

D.分析：注意曲线方程次方程，考虑向二次函数的最值问题转化。由

得①设，则又由①中

②得，且②的称轴为（）当，（）当，

时，；时，，于是由（知应A。

4.设直线

关于原点对的直线为，若

与椭圆的交点为ABP为椭圆上动点则使的点的个为（）A.1B.2C.3D.4

的面积为分析：

的方程为

，且易知

的下方有两满足题设件的点。以下考察直

上方是否存满足题设点设在

上方且与椭相切于点的直线

的方程为

，将它与椭圆程联立，去y得由△：，取∴

与

之间的距离∴，∴直线

上方不存在足题设的P

②于是由①，知应选B点评：运用形结合的法，解题程变得简捷。5.已知双线

的右焦点为F右准线与条渐近线于点A，的面积为（O为点两渐近线的夹为（）A.30°B.45°C.60°D.分析：首先眼于寻找，b的联系由题设知Fc，0准线方程为，并且取

点，则

，∴a=b，∴双曲线为轴双曲线两渐近线角为∴应选。6.已知双线直线的距离为（）

的焦点为M在曲线上

轴

到A.B.C.D.分析：立足计算与推，由已知：∴∴∴

轴，∴，入椭圆方得，即当点

到直线

的距离为h则由得，∴应选C。点评：这里段

为半正焦弦故，利用它更方便。7.已知双线

的焦点为，M在双曲上且，则

M到x轴的距为（）A.B.C.分析：由已得

，，∴

①∵

，∴∴∴由①，②

②∴设所求距离h于是由

得，选。已知

是双曲线

的两个焦点以线段

为边作正，若边

的中点在双线上，则曲线的离率为（）A.C.D.分析：从认

的特性切入寻找关于a，c的等式或方程∵

为正三角形∴点M在y上设边

的中点为P连结

，得，∵∴

，，①又由题设知P双曲线左上，

∴∴①代②得

②∴（）空

，应选D。1.若双曲的渐近线程为。

，它的一个点是，双曲线方程为分析：由题得：∴由

，得，∴∴所求曲线方程为2.设双曲两点，如

为

的右焦点为右准线l与两条近线交于，则双曲线离心率为。分析：设右线l与x轴于点，则，又由此解得，故得3.过双曲

的左焦点且直于x轴的直线与曲线交于M两点，以为直的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离率等于。

分析：设左点为

，右顶点为A，则由题意得注意到为双曲线的焦弦，故∴由（）得

（※）由此解得。4.以下四关于圆锥线的命题中①设A、B是个定点，k为零常数，，则动P的轨道双曲线；②过定圆上的一点A作圆的动O为坐标点若点P的轨迹为椭圆；

则动③方程

的两根可分作为椭圆双曲线的心率；④双曲线

与椭圆

有相同的焦。其中真命题序号为（出所有真命题的序号分析：对各题依次辩，由双曲定义知，①中点轨是双曲线一支；对于②，点P轨迹是椭圆除去点A的曲线；于③，方两根分别离心率；对④，可知真命题，上可知应填③、④。（）答

和2，可分作为椭圆和双曲线的1.如图，A、分别椭圆在椭圆上，位于x轴上方

长轴的左、端点，点为椭圆右焦，点P（）求点坐标（）设M是椭圆长轴AB上一点，到直线的距离等，求椭圆上点到点M

的距离d的最小。分析：从设坐切入，解题用向量垂的充要条件列方程以解出点P坐标。解：（）这里

，

，∴设点

，，

，则

，∴由

得又点在椭圆∴∴将①②联立，消去y得或

①②注意到y>0故，从而∴点P坐标为（）由（1）知，线的程为设，则M到线的距离为，∴由已得又又设椭圆上

，解得，即到点M的距离d，则

∵

，∴当

时，d取得最小值点评：将

转化为，从而使题辟出另一途径。。图，已椭圆中心原点，焦轴的交点为M，（）求椭圆程；

在x轴，长轴

的长为，左准线l与x（）若直线的坐标（m表示）分析：（）以设椭标准方程切入；（从设P坐标入易知解：（）设椭圆程为：，则，

，P为

上的动点，为锐角或零故从求

最大的点P记为Q求点的最大值突。∴由题意得，解得，，c=1∴所求圆方程为（）设；

（Ⅰ）当（Ⅱ）当∴

时，；时，为锐角

，∴只需出由题意，直

的最大值的斜率，直线∴

的斜率当且仅当

即

时等号成立∴

的最大值为（当且仅

时取得）注意到正切数在∴当且当此时点坐标为点评：欲求

内为增函数时，的最大值，

取得最大值为锐角时，转化为求

的最大值。因此，欲求这一转化是适当。

的最大值，进入实质计算之前要首先考察

的范围，以定已知圆

的左、右焦分别为，离心率e直线

与x轴、y轴分别交于A、，M是直l与椭圆C一个公共点，是点

关于直线l对称点设的值，使得（）证明：；（）确定

。

是等腰三角。分析：（）从得出A、B、的坐标切入，用两向量等的充要条件求解；（）由题设，l为段

的垂直平分，利用这特性来判

的特殊性或然性，

为钝角（可图形受到发故只有

一种情况。这一等式手并将其演为关于e的程，则解题便胜利在望了。解：（）证：由设易得，由

解得∴点M坐标为∴，∴由

得故得由此解得（）解：由设知，直线l为线段

的垂直平分。

∴由∴

知为等腰三角必有

为钝角即