2021高三数学教师用书：第11章 第5讲古典概型含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第11章第5讲古典概型含解析第5讲古典概型基础知识整合1．基本事件的特点(1）任何两个基本事件是eq\o（□,\s\up1（01)）互斥的．(2）任何事件（除不可能事件)都可以表示成eq\o（□，\s\up1（02)）基本事件的和．2．古典概型(1)古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．eq\x（有限性)—eq\x（试验中所有可能出现的基本事件\o(□，\s\up1（03))只有有限个）|eq\x(等可能性)—eq\x(每个基本事件出现的可能性\o（□,\s\up1（04）)相等）(2）古典概型的概率公式P（A）＝eq\o（□,\s\up1（05)）eq\f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数）.一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征-—有限性和等可能性，只有同时具备这两个特征的概率模型才是古典概型．正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键．1．一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是（）A。eq\f(1,2) B。eq\f（1，4)C.eq\f（3,4） D．0答案A解析列举出所有基本事件，找出“恰有1次出现正面”包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本事件有（正，正)，（正，反）,（反,正），（反，反），共4个，而恰有1次出现正面包括(正，反）,（反，正），2个，故其概率为eq\f（2,4）＝eq\f(1，2).2．10件产品中有7件正品,3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是（)A。eq\f（3，4)B.eq\f（1，4)C。eq\f（1,2）D。eq\f（3,8）答案C解析从10件产品中任取4件有Ceq\o\al（4,10）种取法，取出的4件产品中恰有1件次品有Ceq\o\al（3,7）Ceq\o\al(1，3)种取法，则所求的概率P＝eq\f(C\o\al（3，7）C\o\al(1,3），C\o\al(4,10））＝eq\f（1,2).3．（2020·金华模拟）从1，2,3，4，5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是（)A.eq\f（3,5)B.eq\f(2，5)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2，3）答案D解析取出的两个数是连续自然数的有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P＝1－eq\f（5，C\o\al（2，6)）＝1－eq\f(5，15）＝eq\f（2，3)。故选D.4．（2019·安徽江淮十校5月考前最后一卷）中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一,古代数学家称直角三角形中较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1～15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为(）A。eq\f(1,910）B.eq\f(3，910）C.eq\f（3,455)D。eq\f（4，455)答案D解析从这15个数中随机选取3个整数,所有的基本事件个数为Ceq\o\al（3,15)，其中，勾股数为(3,4，5)，（6，8,10），(9，12，15），(5，12,13),共4个，所以这三个数为勾股数的概率为P＝eq\f（4，C\o\al（3,15))＝eq\f(4，455）.故选D.5．(2018·江苏高考）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为________．答案eq\f(3,10）解析所求概率P＝eq\f（C\o\al（2,3）,C\o\al（2，5）)＝eq\f（3，10）。6．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过保质期的概率为________(结果用最简分数表示)．答案eq\f（28，145）解析解法一：从这30瓶饮料中任取2瓶，至少取到1瓶已过保质期的概率为P＝eq\f(C\o\al（1，27）C\o\al（1,3)＋C\o\al（2，3），C\o\al(2，30))＝eq\f(28,145）.解法二：从这30瓶饮料中任取2瓶，至少取到1瓶已过保质期的概率为P＝1－eq\f（C\o\al（2,27）,C\o\al(2,30）)＝eq\f(28,145）。核心考向突破考向一简单的古典概型例1(1)(2019·陕西西安质检)陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教圣地，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言．景区内有一处景点建筑,是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系所建．如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为(）A。eq\f(2，3)B.eq\f（1，2）C.eq\f(1，5）D。eq\f(2,5）答案B解析现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数n＝Ceq\o\al(2,5)＝10，取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m＝Ceq\o\al(1,5）＝5，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为P＝eq\f（m，n)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2）.故选B.（2)（2020·湖北黄冈调研)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系,具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺"知识讲座，每艺安排一节,连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（)A。eq\f（7，60）B。eq\f（1,6)C。eq\f（13，60）D.eq\f（1，4)答案C解析当“数”排在第一节时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其他剩下的有Aeq\o\al（3,3)种情况，由间接法得到满足条件的情况有Aeq\o\al（5，5）－Ceq\o\al(1,4）Aeq\o\al（2，2）Aeq\o\al（3，3）;当“数”排在第二节时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其他剩下的有Aeq\o\al（3,3）种，由间接法得到满足条件的情况有Aeq\o\al（5，5)－Ceq\o\al（1，3)Aeq\o\al(2，2）Aeq\o\al(3,3).则共有Aeq\o\al(5，5)－Ceq\o\al（1,3）Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(5，5）－Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al（2，2)Aeq\o\al（3,3)种情况,不考虑限制因素,总数有Aeq\o\al（6，6）种，故满足条件的事件的概率为eq\f（A\o\al(5，5）－C\o\al(1,3）A\o\al(2，2）A\o\al(3，3)＋A\o\al（5,5）－C\o\al(1，4）A\o\al（2，2）A\o\al（3,3),A\o\al(6,6））＝eq\f（13，60），故选C。求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法,具体应用时可根据需要灵活选择．[即时训练］1.(2019·陕西宝鸡模拟检测三)在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻．有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦,共有23＝8种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦"．所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析．在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻和三个阴爻的概率是(）A.eq\f(1，7)B.eq\f（5,16）C。eq\f(9，16)D。eq\f（5，8）答案B解析在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本事件总数n＝26＝64，这六爻恰好有三个阳爻和三个阴爻包含的基本事件m＝Ceq\o\al（3，6)＝20，所以这六爻恰好有三个阳爻和三个阴爻的概率是P＝eq\f（m，n）＝eq\f(20,64)＝eq\f（5,16)。故选B.2．（2019·四川攀枝花第三次统考)部分省份在即将实施的新高考中实行3＋1＋2模式,即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二．小明与小芳都准备选物理，如果他们都对后面四科的选择没有偏好，则他们所考六科中恰有五科相同的概率为（）A.eq\f（2，3）B.eq\f(1,2)C.eq\f（1，3)D.eq\f（1,6）答案A解析基本事件总数n＝Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al（2,4)＝36，满足条件的基本事件个数m＝Ceq\o\al（2,4)Ceq\o\al（1,2）Ceq\o\al(1,2)＝24，所以他们所考六科中恰有五科相同的概率为P＝eq\f(m,n）＝eq\f(24，36)＝eq\f（2，3）.故选A。精准设计考向,多角度探究突破考向二较复杂的古典概型角度eq\o（\s\up7(),\s\do5（1）)古典概型与平面向量的交汇例2（1)（2019·宁波模拟)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a＝（m,n)与向量b＝（1,－1)的夹角为θ，则θ∈eq\b\lc\（\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f（π，2）))的概率是()A.eq\f(5，12）B。eq\f(1,2）C。eq\f(7，12)D。eq\f（5,6）答案C解析cosθ＝eq\f(a·b,|a|｜b｜）＝eq\f(m－n，|a｜|b|)。∵θ∈eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f(π，2）)）,∴m≥n。（m,n）一共有6×6＝36(种）不同组合．满足m≥n的有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21(种）．所以所求的概率P＝eq\f（21,36)＝eq\f(7，12).(2）(2019·宿迁模拟)已知k∈Z，Aeq\o(B，\s\up6(→)）＝（k，1)，Aeq\o(C,\s\up6（→)）＝（2，4）,若|Aeq\o（B，\s\up6（→））|≤4，则△ABC是直角三角形的概率是________．答案eq\f(3，7）解析因为|Aeq\o(B,\s\up6（→)）｜＝eq\r（k2＋1）≤4，所以－eq\r(15)≤k≤eq\r（15)，因为k∈Z,所以k＝－3，－2,－1,0，1,2,3,当△ABC为直角三角形时，应有AB⊥AC，或AB⊥BC，或AC⊥BC，由Aeq\o（B,\s\up6（→））·Aeq\o（C，\s\up6（→））＝0,得2k＋4＝0,所以k＝－2，因为Beq\o（C，\s\up6(→)）＝Aeq\o(C，\s\up6(→)）－Aeq\o（B,\s\up6(→））＝(2－k，3)，由Aeq\o（B,\s\up6（→））·Beq\o(C，\s\up6(→))＝0，得k(2－k)＋3＝0，所以k＝－1或3，由Aeq\o（C,\s\up6(→））·Beq\o(C,\s\up6（→））＝0，得2（2－k）＋12＝0，所以k＝8(舍去)，故使△ABC为直角三角形的k值为－2,－1或3,所以所求概率P＝eq\f（3,7).角度eq\o(\s\up7（），\s\do5（2））古典概型与平面几何、解析几何的交汇例3（1）(2019·山东省实验中学模拟)已知直线l1：x－2y－1＝0,直线l2:ax－by＋1＝0,其中a,b∈{1,2，3，4，5，6},则直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为()A。eq\f（1，6）B。eq\f（1,4）C.eq\f（1,3)D。eq\f（1，2）答案A解析l2的斜率小于l1的斜率时,直线l1与l2的交点位于第一象限，此时共有六种情况：a＝1,b∈｛3，4，5，6}；a＝2,b∈｛5，6｝．因此所求概率为eq\f(6，6×6)＝eq\f(1，6).故选A。（2)（2019·洛阳统考）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a,b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．答案eq\f（7,12）解析依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组（a，b)有Ceq\o\al(1,6）Ceq\o\al（1，6)＝36个，其中满足直线ax＋by＝0与圆（x－2）2＋y2＝2有公共点，即满足eq\f(2a，\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，a2≤b2的数组(a,b）有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个,因此所求的概率等于eq\f（21，36)＝eq\f(7，12).角度eq\o（\s\up7(），\s\do5(3)）古典概型与函数的交汇例4（1）（2020·亳州质检)已知集合M＝{1，2,3，4}，N＝｛（a,b）｜a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点,O为坐标原点,则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是(）A.eq\f(1,2)B.eq\f（1,3）C。eq\f（1，4)D.eq\f(1，8）答案C解析易知过点（0,0）与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x（斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有4×4＝16个元素，其中使直线OA的斜率不小于2的有(1,2），（1，3)，（1,4),(2,4）,共4个，故所求的概率为eq\f（4，16）＝eq\f（1,4)。故选C.(2)(2019·安徽合肥第三次教学质量检测）若a,b是从集合{－1,1,2，3,4｝中随机选取的两个不同元素，则使得函数f(x)＝x5a＋xbA.eq\f(3,20）B。eq\f(3，10)C.eq\f（9，25）D.eq\f（3,5）答案B解析从集合{－1,1,2，3,4｝中随机选取两个不同元素共有Aeq\o\al(2，5）＝20种，要使得函数f（x)＝x5a＋xb是奇函数，必须a，b都为奇数共有Aeq\o\al(2,3)＝6种，则函数f(x）＝x5a＋xb是奇函数的概率为P＝eq\f（6,20)＝eq\f（3，10），故选B。较复杂的古典概型问题的求解方法解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件,求出基本事件和随机事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．［即时训练］3.设平面向量a＝（m,1）,b＝(2，n）,其中m，n∈｛1，2，3,4｝，记“a⊥（a－b）”为事件A,则事件A发生的概率为(）A。eq\f（1，8)B.eq\f(1，4)C。eq\f(1,3)D.eq\f(1,2）答案A解析有序数对（m，n）的所有可能结果有4×4＝16(个）．由a⊥（a－b）,得m2－2m＋1－n＝0,即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1，2，3,4｝，故事件A包含的基本事件为（2，1)和(3，4）,共2个，所以P（A）＝eq\f（2，16)＝eq\f(1,8）.4．(2019·甘肃兰州模拟)双曲线C:eq\f(x2,a2）－eq\f(y2，b2）＝1(a>0,b>0），其中a∈{1，2,3，4｝，b∈｛1，2,3，4}，且a，b取到其中每个数都是等可能的，则直线l：y＝x与双曲线C的左、右支各有一个交点的概率为（）A.eq\f（1，4）B.eq\f（3，8）C。eq\f（1,2）D.eq\f（5,8）答案B解析若直线l：y＝x与双曲线C的左、右支各有一个交点，则eq\f(b,a）>1，基本事件总数为4×4＝16，满足条件的（a,b）的情况有（1，2）,(1，3)，(1,4）,（2,3），(2，4），（3，4）,共6个,故所求概率为eq\f（3，8).5．(2019·河南郑州模拟）已知一组抛物线y＝eq\f（1,2）ax2＋bx＋1，其中a为2,4中任取的一个数,b为1，3,5中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x＝1交点处的切线相互平行的概率是________．答案eq\f（2,15）解析抛物线共有6条，任取两条共Ceq\o\al(2,6）＝15种情况．∵y′＝ax＋b，∴在与直线x＝1交点处的切线斜率为a＋b，而a为2,4中任取的一个数，b为1，3,5中任取的一个数,保证a＋b相等的抛物线有2对，∴在与直线x＝1交点处的切线相互平行的概率为eq\f(2，15）。考向三古典概型与统计的交汇问题例5（2019·长春模拟)某教师为了了解高三所教两个班级的一模数学成绩情况，将两个班的数学成绩（单位：分)绘制成如图所示的茎叶图．（1）分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数；(2）若规定成绩大于等于115分为优秀，分别求出两个班级数学成绩的优秀率；（3)从甲班中130分以上的5名同学中随机抽取3人，求至多有1人的数学成绩在140分以上的概率．解（1）由所给的茎叶图,知甲班50名同学的成绩由小到大排序,排在第25,26位的是108,109，出现次数最多的是103，故甲班数学成绩的中位数是108.5,众数是103；乙班48名同学的成绩由小到大排序，排在第24，25位的是106，107，出现次数最多的是92和101，故乙班数学成绩的中位数是106。5，众数为92和101.（2）由茎叶图中的数据可知，甲班中数学成绩为优秀的人数为20,优秀率为eq\f(20，50）＝eq\f（2,5）;乙班中数学成绩为优秀的人数为18，优秀率为eq\f(18，48）＝eq\f（3,8）。（3)从5人中抽取3人的不同情况共有Ceq\o\al（3，5)种，其中至多有1人的