高等数学基础讲义

重点、难点做了不同颜色及字体的标注，以便复习时可以快速投入、高效提升。学、最高效、最自由的学台：把青春托付给值得信任的平台祝：复习愉快，天天高效，考研成功PS:讲义中的不足之处，欢迎各位研研批评指正，竭尽所能追求更好第一章函数极限与连 函数的性 极限的概念及性 无穷小与无穷 极限的求法（一 极限的求法（二 极限的求法（三 极限的求法（四 极限的求法（五 函数的连续 第二 一元函数导数与微 一元函数导 一元函数微 可导性、可微性、连续性之间的关 特殊函数导数的性质及常用结 一元函数的求导方 第三 微分中值定理及导数的应 微分中值定理（上 微分中值定理（中 微分中值定理（下 函数的单调 函数的极 函数的凹凸 函数的拐 函数的渐近 导数在经济学中的应 第四 一元函数积 原函数的定义与性 不定积分的定义与性 不定积分的计算与技 定积 变限积分的定义与性 反常积分（广义积分 积分的重要与结 定积分的元素 一元函数积分学的几何应 第一章函数的性函数的单调性设函数f(x)在数集D上有定义，如果对于任意x1,x2D,x1 ，就一定f(x1)f(x1)

f(x2),(f(x1)f(x2),(f(x1)

f(x2f(x)D（减少）f(x2f(x)D上是严格单调增加（减少）的函数的奇偶性设函数f(x)在对称于原点的某数集D上有定义，并且对于任意xDf(xf(xf(xf(xf(xD（奇）在直角坐标系xoy中，偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于坐标原点O对称函数的周期性f(x的定义域是数集D，如果存在常数T0xDxTD，并且f(xT)f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为它的一个周期。通常称的周期是指使f(xTf(x)成立的最T（如果存在的话。ex,x 例 设fxx,x

xx1,x

求fxfx

ex2,xx2,1xex21,0x2fx

x21,xxsinx

2xx1x2（A（-（B（0,1）（C（1,2）（D（2,3）（A）极限的概念及性质极限的定义：数列极限的定义：设{xn}为一数列，若存在常数a，对于任意给定的0，存N0nNxna，则称数列{xa，记为limxa函数极限的定义（分两种情况

n于任意给定的正数0，总存在着正数，当0xx0f(xAyf(xxx0limf(xA给定的正数0XxXf(xAA就叫做函yf(xxlimf(x)A。【评注】：考研要求理解极限的概念，不要求应用,语言这种标准的“数学语言”，不要求用定义证明极限的存在性和求极限。极限的基本性质：数列极限的性质唯一性：如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一有界性：如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界（反之不成立nn函数极限的性质limf(xAM0和0，使得当0xx f(xM局部保号性limf(xAA0（A0），那么存在常数00xx0<f(x0（f(x0）如果limf(xA，如果存在常数0，使得当0xx0<f(x（f(x0），则A0（或A0）极限存在充要条件：limf(x)A

0xx0

f(x)0xx0

f(x)A【评注】 极限性质中注意掌握保号性和有界性，在分析推理中常应用这一性质。无穷小与无穷无穷小的定义：limf(x0f(xxx0xx无穷大的定义：设函f(x)在自变x0的某一去心邻域有定义，如果对于任意给定的正M，总存在正数0（X）x0xx0<（xX）f(x总满足f(x)Xf(xxx0（x）无穷小的性质：无穷小与无穷大的关x的同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则f(x)为无穷小；若

(x)（f(x0，则f

为无穷大其中lim(x)0无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷有限个无穷小的和与乘积也是无穷小无穷小阶的概念：)l0时，称(x)是比(x)较高阶的无穷小，记为(x)((x))l时，称(x)是比(x)较低阶的无穷小l0时，称(x与(xl1时，称(x与(x)是等价无穷小，记为(x)~(x)。等价无穷小：（2）常见的等价无穷小（当x0时xsinxtanxarcsinxarctanxln(1x)ex1cosx1x2,ax1xlna(a0,a1),(1x)12极限的求法（一利用极限运算法则：已知limfxlimgx都存在，极限值分别为A和B，则下列极限都存在，且lim[f(x)g(x)]Alimf(x)g(x)Alimf(x)g(

A,(此时需B0成立B1（1）（2）

；x712x3x4x4x2x1xx2sin（2）原式

【评注】：关于极限的存在性，即极限四则运算的法则外延，需注意以下几点：关于加减法：极限存在+/-极限不存在（包括极限是无穷大）=不存在极限不存在+/-极限不存在（包括极限是无穷大）=不一定关于乘除法：极限存在*//极限不存在（包括极限是无穷大）=不一定极限不存在*//极限不存在（包括极限是无穷大）=不一定limfa0,limg，则limfgf有界，limg，则limfg，但limfg不一定为利用两个重要极限：limsinx 1lim(1xxe

x 例 求极lim3x25sinx5x x

6x)tan6151（2）原式3极限的求法（二利用等价无穷小：当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有xsinxtanxarcsinxarctanxln(1x)ex1cosx1x2,ax1xlna(a0,a1),(1x)12当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0，仍有上面的等价【评注】：根据无穷小的性质，等价无穷小代换必须是整体代换，即一般作为乘、除的项可以代换，而加、减的项不能代换。1x21x2

eecos3解：原式 32利用洛必达法则：假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和g(x)f(xg(x)都可导g(x)的导数（3

limfg(

存在（或是无穷大）limfx)也一定存在，且等于g(limf(x)，即limfx)limf(x)g( g( g(【评注】：利用两个重要极限、等价无穷小、洛比达法则是计算极限的主要方法，一般情况下三者交替反复使用。1cosxxln1tanx2 sin1解：原式4极限的求法（三利用左右极限：1ex 1例1（1）lim ex（2）

2ex41ex

sinxx利用极限存在准则：（1）准则且limynalimzna，那么数列{xn极限存在，且limxna。 0xU(x0rxMg(x)f(xh(xlimf(x)limg(x)A limf(x存在且等于A（2）单调有界准则：如果数列{xn}单调上升有上界，或者数列{xn}单调下降有下界，则数anan例2设akk1,2,,ranan解：原极限=maxa1,a2,ar3设数列xn满足0x1,xn1sinxnn12,（1）证明limxn

计算limxn11n nxn1例 设a111lnnn1,2，证明数列a收 极限的求法（四1.利用泰勒（x0（1）ex1x1x2o(x2（2）ln(1x)x1x2o(x22sinxx1x3o(x4cosx11x21x4o(x5 (1x)1x(1)x2o(x2

x2 2limarcsinxsinx0arctanxtan11x21x0cosxex2sin1

极限的求法（五利用定积分：lim1nf(k)1fnnk 11cos例 求 解：原式

sin

11cos1cos例 求lim n nnn 122解：原式

n n n常用结论： nn1，an(a0)1，(anbncn)nmax(a,b,c)

a01(x0)，limxx1，limxn0，limlnn limxlnnx，xex0

x

x x x函数的连续性函数连续性的概念：f(x0)或lim[f(xxf(x0函数在一点连续的概念：若limf(x)

在(ab)内连续，同时在区间端点a右连续，在区间端点b左连续，则称f(x)在[a上连续函数的间断点：间断点定义：如果yf(xx0处不连续，则称x0f(x的间断点间断点分类：设x0是f(x)若f(x00)和f(x00)都存在，则称x0f(x00)为跳跃间断点

f(x00f(x00)f(x00)第一间断点以外的间断点为第二间断初等函数的连续性：在区间上连续的函数的和、差、积、商（分母不为零）由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间上连续在区间上连续且单调的函数的反函数在对应区间上仍连续基本初等函数、初等函数在定义区间内是连续的闭区间上连续函数的性质：f(x在[abf(x在[ab小值m。介值定理：如果f(x)在[ab]上连续，其最大值和最小值分别为Mm)f(x在[abf(a)与f(b异号，则在(ab内至少存在一点，使f()0成立。x例1函数f(x) sin123答案第二 一元函数导数与微一元函数导数导数的定义：一阶导数的定义yf(xx0的某邻域内有定义，当自变量xx0x（x0x也在该邻域内）时，相应的函数取得增量yf(x0xf(x0；如y与x0时极限存在，则称函数yf(xx0处可导，并称这个极限为函数yf(x)在点x处的导数，记为f'(x)，即f(x) f(x0x)f(x0。0 0 1fx0，则fxx0可导的充要条件为（A）limh0

h0（C）lim1fhsinh存在（D）lim1f2hfh解

h0

h0h 2设函fxx0连续，则下列命题错误的是（A）若limfx存在f00（B）若limfxfxf0 （C）若limfx存在f'0存在（D）若limfxfxf'0 解高阶导数的定义f(n1)(xx)f(n1)(x若 0存在，则称f(x)在点xx0处n阶可导，并称此 f(xxx0n阶导数，记f(nx)

dnf等单侧导数的定义limf(x0xf(x0limf(x0xf(x0xx fx),fx f'(x

f(x0x)f(x0)，

'(x)

f(x0xf(x0)

单侧导数的性f(xxf'(x),fx f(x在开区间(a,bf'(b),faf(x 间[a,b]可导。3设下列极限存在，试求f3sin2xf11 2tanx102sinx②

sin解：①原式1f2②原式=10

fa1 例4设fx可导，且fx0，求lim fyef

n

f 导数的物理意义：导数的物理意义是指点运动的瞬时速率。设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，xf(t，若t0f(t0tf(t0)质点t0时的瞬时速度，即：质点在t0时的瞬时速度为t

f(t0t)f(t0。导数的几何意义：f(xxx0f(x0yf(x)在点(x0,f(x00yfx0fx0xx0yf(x0f'(x(xx00【评注】导数的定义要求深刻理解，会用导数定义求解一点的导数值或者分析函数在一点的可导性。5已知fx是周期为5的连续函数，它在x0的某个邻域内满足关系式f1sinx3f1sinx8xaxax（x0时）x的高阶无穷小fxx1处可导，求曲线y2xy12

fx在点6,f6处的切线方程一元函数微分微分的定义：也在该邻域内）时，如果增量

f(x0xf(x0Ax(x是不依赖于x的常数，

x0xx0dyAxAdxyf(x0xf(x0yf(xxx0处对应于自变量增量x0标的增量，而微分dy0

xx是曲yf(x)在点M处的切线相对于自变量增量x的纵【评注】：掌握函数的微分计 ，对一元函数而言，可微与可导是等价的。函数可导性与连续性的关系：

f(x)xlimyx0

f(x)，由具有极限的函数与无穷小的关知道，yf(xx0时的无穷小，上式两边同时乘以x 函数的可微与连续性的关系：yf(x)x处可微yf(x)x处连续，反推不成立函数可导性与奇偶性与周期性的关系：yf(x)Iyf(xIf(xI上为偶函数；yf(x)Iyf(xIf(xI函数的微分与函数的增量之间的关系：【评注】：对一元函数而言，可导和可微是等价的，连续是可导的必要条件。可导性与奇偶性的关系，后面还有求积分与奇偶性的关系，可以总结。特殊函数导数的性质及常用结论带有绝对值的函数导数情形讨论：f(x00,f(x0f(x)x0f(x00limg(xg(xxx0x0limg(x0常见导数不存在导数情形：

f(xxx0xx0xx0(xx0x0 xf(x)

常

论 x

0当1存在存在f(x0)x

f(x)f(x0x

x

f(x0x)f(x0f(t)f(x0 limf(x0h)f(x0t t 一般地，1)limf[g(xf(x0f(xx g(x) limf[g(x)]f(x0)f(x)limg(x)00x x x x0limf[g(x)]f[h(x)]f(x)limg(x) x0x x x0这里limgx)limhx)x x f(xxx处连续，且limf(x)Af(x0,f(x

0xff(x)xx0处连续，且xx0x

Af(x0)0,f(x0)f(x)xx0处连续，且

0f

Af(x0)0,f(x0)xx0xf(x)x

0处连续，且 f A(k1)

f(x)0,f

)0

0(xx0f(xx

处连续，且 f A(0k1)

f(x)0,f(x 0在

0(xx0一元函数的求导方按定义求导：yf(x)xx0的导数，就是求

f(x0xf(x01fxex1e2x2...enxnn为正整f'0f'01n1n②设fxsin2xsin2agxgxxa处连续f'af'acosa2sinaga 2 100 例2设fxtan4x1tan4x2...tan4 100.求f'1 2按基本求导法则与导数表求导：常用导数（微分）运算法则(uv)'u'v(cu)'cu(uv)'u'vuv u'vuv

d(uv)dud(cu)d(uv)vduudv vduudv()'v

d() v

(vyf(uu(x)dydydu，dyf'[(x)]'(x du dyf基本初等函数的导数（微分）(c)'(x)'(ex)'(ax)'axln(lnx)'x(logax)' xln(sinx)'cosx(cosx)'sinx(tanx)'sec2x(cotx)'csc2x(secx)'secxtanx(cscx)'cscxcot

d(c)=d(xa)=axa-1dxd(ex)=exdxd(ax)=axlnadxd(lnx)=1xd(logax) 1d(sinx)=cosxdxd(cosx)=-sinxdxd(tanx)=sec2xdxd(cotx)=-csc2xdxd(secx)=secxtanxdx1(arcsinx)' d(arcsinx)11 d(arccosx)=1(arctanx)' 1(arccotx)' 1

d(arccotx)= 变限积分求导f(x)为连续函数，1(x)与2(x)均可导，则()1(

n阶导数运算法则与常见初等函数n阶导数(uv)(n)u(n)(cu)(n)nk(uv)(n)cnku(nk)v(k)u(n)vCn1u(n1)v'Cn2u(n2)v"(uv)(n)(eax)(n)ak a

(abx)n1(sinax)(n)ansin(ax2(cosax)(n)ancos(ax2(ln(1x))(n)(1)n1(n(1(1)(n)(1)nx (1例3设函数y 2x

yn00yn0

13

23 3 4yx2ln1xx0nfn0n3fn0

n

y 参数方程求导参数方程求导：设f(x)xx、y均可导，则：dydt

d2

d(dydtdx''(t)'(t)

xcost2 d221例5设ytcost2 求：dx，21

在t 处的值 cos22解 t t

6求心形r21cos在对应于xy20

的点出的切线方程2复合函数求导： f(u)(u) 7x xx x fyfexefx的导数2xyf2x1f'xx22x x 1x 11x x 2解y2

2

2 ②y'f'exexefxfexefxf'x42x③dy

2x

4反函数求导：xfyIy内单调、可导且f(y0yf1(x Ix{x|x=f(y),yIy}内也可导，且[f1(x)]

dxf(y) 3d2 dx d23例8将常微分方 2ysin dy

ysinx【评注】：各种求导法则和计算是微积分的基本运算，属考研的基本内容隐函数求导法则 将F(x,y0两边对x求导，得到

的一个式子，从中解d2

即可，将已获得 例9设方程exyy2cosx确定y为x的函数，则dy yexysinx xexy2x2arctan x2例10 ， x

d2

2x2y2

x

3x3相关变化率 间也存在一定关系。这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。相关变化率问题就研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率第三 微分中值定理及导数的应微分中值定理（上费马定理f(xxx0f'(x00【评注】：可导的极值点必然是驻点。罗尔定理罗尔定理：如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续，在开区间(ab)内可导，且区间端f(af(b，则至少存在一点ab)使f'(0。罗尔定理的证明f(x在a,bMm表示，现分两种Mmf(x)在a,bMmf

内某点处取得，从而f(xf(x在开区间(abf(x在点处可导，故由费马定理推知f(ξ)0。1设fxgx在a,b连续，在a,b可导，faa,bf'gg'f

fb0gx0.2fx在a,b上连续，在a,b可导fabfbaa与b同号，证13fx在0,1上连续，在0,1可导，且满足f133e1x2fxdx.证明：至在一点0,1，使f'2f4设fx在0,1上连续，在0,1可导，且f0

f10f11.2 2 （Ⅰ）存在1,，使得f1 微分中值定理（中拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导拉格朗日中值定理证

作辅助函数F(x)

f(xf(af(bf(axaF(aFb

(0)且F(x)在[ab]上满足罗尔定理的另两个条件。故存在ξ(a,b)，使fbfaf(b)ff(ξb

F'()f

0b从上面的证明可知道罗尔定理是拉格朗日定理当f(a)f(b时的特殊情形1已知函数fx在0,1上连续，在0,1内可导f00f1证明：（）存在a0,1，使得fa1a（Ⅱ）存在两个不同的点，0,1，使得f'f'2设函fx在0,1上连续，在0,1内可导f00f101，1,1f'f'22 2 3yfx在1,1内具有二阶连续导数f'x0，试

1.证明：存3（）1,1xx0,1fxf0xf'xx成立（Ⅱ）limx1 4fxarctanx0,b上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则22b0解

A. 2

柯西中值定理柯西中值定理：如果f(x)g(x)在闭区间[ab]上连续，在开区间(ab)g'(x0，至少存在一点

ab

f(b)f

f

因gx在区间a,b上连续，在a,b内可导，所以根据拉格朗日中值定理可知存a,b，使g(b)g(a)gbagx0，xa,b，故g'0，g(b)g(a)0作辅助函数Hxf(xf(af(bf(a)g(xg(b)因fxgx在a,b上连续，在a,b内可导，故Hx在a,b上连续，在a,b内可导，而H(aH(b)0，因此作辅助函数满足罗尔定理的条件所以由罗尔定理可知至少存在一点a,bHf'f(bf(a)g0gg(b)f' f(b)f

g' g(b)

a,b【评注】：罗尔定理和拉格朗日中值定理的证明思路需了解，柯西中值定理的证明考研中未过。5设函数fx在a,b上连续，在a,b内可导，且f'x0.试证：,ab， f f

ebeabae6设函数fx在闭区间a,b上连a,b内可f'x0若极limf2xa存在，证明 x（1）在a,b内fx0在a,b内存在点，

b2bfxa

2f在a,b内存在于（2）中相异的点，使f'b2a2 bfxdx 微分中值定理（下1.泰勒中值定理带有皮亚诺型余项的n阶泰勒若函f(x)x0n阶导数，则有f'(x f''(x f(n)(xf(x)f(x) 0(xx) 0(xx)2 0(xx)no((xx)n 0这里o((xx)nf(xxx0的幂展开的带皮亚诺型余项的n阶泰勒。特别的，当x0=0时，上式变成0f(x)f(0)

f'x

f''

x2

f(n)

xno(xn)称此式为(带有皮亚诺型余项的)麦克劳林【评注】：一般已知函数在零点光滑的话，常用麦克劳林。熟记ex,sinx,cosx等常见函数的麦克劳林展式。带有拉格朗日型余项的 阶泰勒若函数f(x)x0某邻域内为存在直至n1阶的连续导数，则有f(x)f(x)

'(x)(xx)

f''(x0

(xx

f(n)

(xx

R(x) R(x为拉格朗日余项，R(x)f(n1()(xx)n1，其中xx0 (n 为函数f(x)按xx0的幂展开的带拉格朗日型余项的n阶泰 。特别的，当x0=0时上式变 f(x) f(0) f'

f''nx2... f(n)

xnR(x)称此式为(带有拉格朗日型余项的)麦克劳林【评注】：拉格朗日型余项的考研中不常用，了解即可1fx在闭区间1,1上具有三阶连续导数f10f11f'00，证在1,1内至少存在一点，使f'''2设fx在ab上二阶可导，f'af'b0ab使得

.b例3fx在03032f02fxdxf2f0（1）证明存在02，使ff0（2）证明存在0,3，使f'0函数的单调性单调性判别方法：设函f(x)在[ab上连续，在(ab内可导若在(abf'(x0f(x在[ab若在(abf'(x0f(x在[ab若在(abf'(x0f'(x0f(x在[ab若在(abf'(x0f'(x0f(x在[ab【评注】：注意单调性是需在一个区间内的，在一点的导数值大于零或者小于零，不能确定其单调性。函数单调区间的一般求法：f(xf'(x0f'(x利用上述的点由小到大将f(x)的定义域划分成若干个互不相交的子区间讨论f'(x)【评注】：考研数学要求掌握求解函数单调区间的一般方法，中曾经出过解答题41设eabe2ln2bln2a

e2ba2f'x0f00x10，x20fx1x2fx1fx23证明：当时0abbsinb2cosbbasina2cosaa例4设x0,1，证明①1xln21xx2；②

11ln ln1x 函数的极函数极值定义：设函数f(x)xx0的某邻域内有定义，如果0，对x(x0,x0)f(xf(x0)(f(xf(x0xx0f(x的极小（大）f(x0f的极小（大）值，等号仅在xx0时成立。极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极函数极值存在的条件f(x)x0处可导并且取得极值，那么f'(x00极值第一充分判定定理：设函数f(x)在x0处连续，且在x0的某去心邻域内可导x(x0x0f'(x0x(x0x0f'(x0f(xx0极极小值f(x)x0处二阶可导，且f'(x00，f(x0f(xx0f(x0f(xx0f(x0f(xx0处可能取得极小值，也可能取得极大值，也可能没有极值。此时可用函数x3x3,x4x0处举例便可说明。【评注】：极值是考研中的重点内容，给定一点要求会用充分条件判断是否为极值点函数极值的一般求法：求出函数f(x)用求出的驻点和不可导点由小到大将函数的定义域分为若干互不相交的子区讨论 '(x)在每个子区间内的符号，由极值的充分判断法或极值的定义判断即可【评注】：求极值问题是考研中的常考题型，要求熟悉求解极值的一般步骤。极值与最值：求在[ab]上连续函数f(x)的最大（小）值分f'(x0f'(xf(a),f(b)11求fxx2x2tet2dt的单调区间与极值.1解：单调增区间为1,0,1,单调减区间为,1,极小值f1极大值f01112 e1112证明不等式1xln1

，x函数的凹凸性凹凸性的定义f(x在区间[ab上连续，在(ab内可导，如果对xx0(a,b)且xx0f(x0f(x0xx0f(xf(x在[ab上的是凸（凹）凹凸性判定的充要条件：f(x)在[ab上连续，在(ab)内二阶可导若在(abf''(x0，且在(abf'(x0f(x在[ab]上若在(abf''(x)0，且在(ab的任意子区间f'(x0，则f(x在[ab]的图形是凸的函数的拐函数拐点的定义：yf(x函数拐点存在的条件：拐点的充分判定定理x0的两侧异号f(x)x0处取得拐点设函数f(x)在(x0,x0)上二阶可导，f(x0)0，又 (x0)0，则fx0处取得拐点函数拐点的一般求法：yf(xf''(x令f''(x)0f'(x)对于（2）中的点，检查f''(x)在xx0点，反之不是

xt33t1设函数yx由参数方程yt33t

确定，则曲线yyx向上凸的x的取值范 ,1（或,1函数的渐近线水平渐近线的定义：yf(x，若limf(xb,(xxyb铅直渐近线的定义：yf(x，若limf(x,(xcxcxc斜渐近线的定义：f(x，若limf(xa，limf(xaxbyax1

例1曲线y 的斜渐近线方程 yx2x例2y1ln1ex的渐近线的条数为 xA. C. 【评注】：理解函数渐进线的概念，会求解函数的渐进线方程，另外注意一点，在同一方向上，函数的水平渐进线和斜渐近线是不可能同时存在的。第四 一元函数积原函数的定义与性原函数定义：I上，可导函数F(xf(x，即F(xf(xI上成立，那F(x)就称为f(x)I上的一个原函数。原函数性质：函数，f(x)在区间I内却不一定连续。F(xf(xF(xCf(xF(x)和G(x)均是f(x)在同一区间上的原函数，则F(x)和G(x)仅相差一个常数。1fx的原函数为sinx，求xf'xdx.x解答：xf'xdxcosx2sinxx不定积分的定义与性质不定积分的定义：If(xf(x的不定积分，即如果F(xf(xI的一个原函数，则f(x)dxF(xC不定积分性质：f(x)g(x的原函数存在，则f(xg(x)]dxf(x)dxg(x)dxf(xk为非零常数，则kf(x)dxkf(x)dx不定积分的计算与技巧利用基本积分表计算不定积分：0dx1dxlnxc

cscxcotxdxcscx x 1 ( a2x2dxaarctanaexdxex

dx

xc ax

dx1

xaadxlna

x2

x sinxdxcosxsec2xdxtanxcsc2xdxcotx

tanxdxlncosxcotxdxlnsinxsecxdxlnsecxtanxcscxdxlncscxcotx dxarctanxc dxlnx x2x21 dxarcsinx1x2 dxlnx2 dxarcsinx1111①x22x1

dxlnx x2x2x2 dxlnxx2②tan2解答 1 dx=1lnx22x1x22x tan2xdxtanxcotx利用第一类换元法计算不定积分：f(xF(uF'(u)f(uf(u)duF(uC，如果U是中间变量u(x)，且设(x)可微，那么根据复合函数微分法，有从而f[(x)]'(x)dxF[(xCf(u)du]u(x。由此可见，虽然f[x)]'(x)dx是一个整体的记号，但如用导数记号dx中的dxdy可看作微分，被积表达式中的dx也可当作变量x的微分来对待，从而微分等式1'(x)dxdu可以方便地应用到被积表达式中。1f(axb)dxaf(axb)d(axb)(af(sinx)cosxdxf(sinx)dsinx，f(cosx)sinxdxf(cosx)dcosxf(tan f(tanx)dtanx，f(cot f(cotx)dcotcos2 sin2 f(lnx)1dxf(lnx)dlnx，f(ex)exdxf(ex （4）f(xn)xnx1dx f(xn)dxn(n0)，f(1)dx f()d(f(x)

2f(x)d(x

xx f(arcsinx) f(arcsinx)darcsin 1f(arctanx)1x2f(arctanx)darctanxx x例 dx2 解1ex3x1 x解2exdxexx利用第二类换元法计算不定积分:x(t)是单调的、可导的函数，并且(t)0．又设f[(t)](t)具有原函数，则换 第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式，常见的变换形式主要有以下几种a2x2：xasint；xacosx2a2：xatant；xacott；xx2a2：xasect；xacsct；x： ：（6）当被积函数含有x

，有时倒代换xt

也奏例4（1）（2）

xearctan

a2a21x2 a2a2解答

2 1（2）1 earctanx12利用分部积分法计算不定积分：设u(x)v(x)在[ab上具有连续导数u(x)v(x)，则有uvuvuv,(uv)dxuvdxuvdx，udvuv【评注】分部积分法主要是解决被积函数是两类或两类以上不同函数乘积的不定积分，在使用分部积分法时，要恰当地选择udv，即udv比较vdu比较容易.一般可依次选取u的顺序为：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数，一般只要被积函数中含有对数函数或反三角函数时，常使用分部积分法.例5求下列不定积x2cos 2x2 2解：（1）=x2sin3xxcos3xsin3x （2）=1ln2x2lnx2x3 27 有理函数的不定积分的计算技巧：有理函 先化为多项式和真分

P

之和，再

P

分解为若干个部分分式之和三角函数有理式的积如果被积函数R(sinx,cosx)是关于sinx和cosx的一次分式时，可试用万能替换法 1t 利用万 ：设ttan2，sinx1t2，cosx1t2，tanx1t2dx 1t

dtR(sinxcosx是关于cosx的奇函数，即R(sinx,cosxR(sinxcosx，可设tsinx；（i）R(sinxcosx是关于sinx的奇函数，即R(sinxcosxR(sinxcosx可作变换tcosxR(sinx,cosx)R(sinxcosx，可设tanxt若被积函数是sinnxcosmxnm中至少有一个数为奇数（m2k1，可设（vi）sinnxcosmxnmsin2x1(1cos2x，cos2x1(1cos2x，sinxcosx1sin2x 函数化简，一种情况是含有sin2x或cos2x的奇数次幂，则用方法（5）求之；另一种情况是仍含有sin2x和cos2x的偶数次幂，则继续使用上述方法化简，转化为以sin4x和cos4x为变数的幂函数相乘，以此类推.（vii）如果被积函数是sinmxsinnx，或sinmxcosnx，或cosmxcosn，则利用积化和6求下列不定积分x23x

x1Cx21x2x2x121解：1ln1x1lnx21lnx1 C 2x定积分的定义：f(x)在[ab]上有界，在[ab]ax0x1x2xn1xnb，把区间[abn个小区间[x0x1x1x2],,[xn1xn，各个小区间的长度依次为x1x1x0x2x2x1,xnxnxn1。在每个小区间[xi1xi]上任取一点i(xi1ixi)，作函数值f(i与小区间长度xi的乘积nf(i)xi(i12,n并作Sf(i)xi。记max{x1,x2,,xn，如果论对[ab怎样分法，也不论在小区间xi1xi]上点i怎样取法，只要当0S总IIf(x在区间[ab上的定积分(b分)，记作af(x)dxbbb

f(x)dx=I=

f()x n 0n其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式x叫做积a叫做积分限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间定积分的几何意义：yf(x在[ab上连续，abf(x)dxyf(x)、xxax可积的必要条件：若函f(x在ab上可f(x在ab上必有界可积的充分条件：若函f(x在ab上连续，则f(x在ab上可积若函数f(x)在区间ab上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在ab上可积；或函数f(x)在ab上只有有限个第一类间断点，则f(x)在ab上可积.分段连续函数是可积的若f(x)是ab上的单调有界函数，则f(x)在ab上可积.也就是说，单调有界函数，即使有无穷多个间断点，但这些不连续的点若存在一个极限点，则f(x)在ab上可积.初等函数在其定义区间内的任一子区间上都是可积的定积分性质及定理：函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差， af(xg(x)]dxaf(x)dxag(x)dx 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即akf(x)dxkaf(x)dxk是常数)如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和 acb,则af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx 如果在区间[abf(x1，则af(x)dxadxbab如果在区间[abf(x0af(x)dx0(abb 如果在[abf(x)g(x)af(x)dxag(x)dx(ab af(x)dxaf(x)dx(aMm分别是函数f(x)在[ab]bm(baaf(x)dxM(ba)(abb（8）（定积分中值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少 bf(x)dxf()(ba)(ab)。a定积分的计算与技巧牛顿-莱布尼茨f(x)在区间[abFxf(x)在区间[ab上的一个原函数bf(x)dxF(x)bF(b)F 此被称为牛顿-莱布尼兹，它进一步揭示了定积分与原函数之间的联系，它给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。此外牛顿-莱布尼茨有如下推广设函数f(x)、Fx在[ab上连续，Fx是f(x)在区间[abbf(x)dxF(x)bF(b)F f(x)在区间[ab上连续Fxf(x)在区间[abF(a0)xa

F(x)，F(b0)xb

F都存在

af(x)dxF(x)b-aa

F(b0)F(a（iii）f(x)[ab]Fx[ab]c[ab]bf(x)dxF(x)c0F(x) 换元积分法

c设函数f(x)在区间[ab]上连续；函数g(t)在区间[m,n]上是单值的且有连续导数；换元

bf(x)dxnf 【评注】：在使用定积分的换元法时，当积分变量变换时，积分的上下限也要作相应的变换，即定积分中换元必换限。分部积分依据不定积分的分部积分，可以推算b(uv)dxbuvdxbuvdx

budv[uv]bb

bvdu 1fx在0,1上连续，证 2fsinxdx2fcosx 0 0xfsinxdx2

fsinxdx，由此计 dx 1 42

1e2x0解： ln(22213

exdx解2变限积分的定义与性质变限积分定义：f(x在abx是ab上的任意一f(x)b函数（或变上限积分，而称G(x)xf(t)dt为积分下限函数b变限积分性质：

xf(t)dt为积分上a（1）（原函数存在定理）如果函

f(x)在区间[ab]上连续，则积分上限的函数x(xaf(t)dt在[ab上具有导数，并且它的导数是(xx(ax

ddx

f(t)dtff(x在区间[ab上连续，则函数(xxf(t)dtf(x在[ab个原函数f(x在ab上可积，则变限函数F(x)

xf(t)dt在ab上连续a若f(x)u(x)v(x)d

u(

f

fu(x)u(x)dxbddxv(x)f(t)dtfv(x)v(x) u(dxv(x)f(t)dtx

fu(x)u(x)fv(x)v(x)1gx

fudu，其中fx

gx在区间02xftdt例2设 x奇函数，除x0外处处连续，x0是其第一类间断点，则（A）连续的奇函数（B）连续的偶函（C）x0间断的奇函数（D）x0间断的偶函数3fx连续f00，求极限x1

xxtft 0xxfxt0解2反常积分（广义积分反常积分的定义：积分区间[a,)情设函f(x在区间[a上连续，取

a.如果极

f(x)dx存在，则称此f(x)[a)

f(x)dxa f(x)dx

f(x)dx

f(x)dx收敛；如果上述极限不存在 b 就称为广义积分 f(x)dx发散积分区间(,b]情设函数f(x)在区间b]上连续,取ba，如果极

f(x)b

f(x)dxb f(x)dxlimbf(x)dxb

b

bb积分区间(,)情

f(x)dx f(x)dx都收 则称上述两广义积分之和为函 f(x)在无穷区间（,）上的广义积分，记

f(x)dx，即

f(x)dxf(x)dx f(x)dx

f(x)dx

f（2）函数的广义积分（也称瑕积分瑕点的定义：设f(x)在[ab)xb

f(xbf(x瑕积分的定义f(x在[ab上有定义，xb为瑕点，且对任意的0f(x在ab上可积即极限

f(x)dx存在，则称该极限值为函数f(x)在[a,b)上的广义积分或叫B积分，记作B

bf(

f(x)dx

bf(x)dxlimf(x)dx 0b

Bbb

f(x)dx是收敛的；若上式的极限不存在，则称广义积分afbxaafx)dxb在(ab]上有定义，a为瑕点，且在任何A,bab上可积反常积分（广义积分）的性质及定理：

f(x)dxf若

kf(x)dxk f(x)dxk为常数a 若fx)dx，g(x)dx都收敛，则fx)gx)dx也收 f(x)g(x)dxf(x)dxg(x 设u(x),v(x)在a,上连续，如果下面等式中有两项存在，则第三项也存在，且udvuvvdu 若f(x)在任何有限区间a,A

f(x)dx收敛，则 f(x)dx也收敛且有 f(x)dx f(x)dx函数的广义积分 akf(x)dxk

f(xg(xxaaf(x)dx与ag(x)dx bf(xg(x)dx也收敛，且有bf(xg(x)dxbf(x)dxbg b定积分的分部积分法与换元积分法对瑕积分也成立b

f(xdxbaf(x)dx也收敛，且有af(x)dxaf(xdxb几个重要的反常积分（广义积分x

a1p

,收敛；p

发散p

xlnp

p若c[ab],

发散p a(xc)kdx0k1k1若k0

xkexdxxkexdx ex2dx；ex2dx 反常积分的计算与技巧：a

f(x)dx反常积分也是有相应的计算法则（1）设f(x)在区间[a,]上连续，Fx在[a,]中连续，且Fxf x[a,]若limF(x)F()存在，则反常积 f(x)dx收敛，

f(x)dxF(x)F()F 若limF(x)不存在，则

f(xdx（2）f(x)g(x)在区间[a]上有连续的导数，若limf

存在 f(x)g(x)dxf(x)g(x)dx f(x)g(x)dxf(x)g(x)f 设f(x)在区间[a,]上连续，t在[a]中有连续的导数且单调lim(t，

f

x(t)

f这里的可以是有限的，也可以是。例1计算 （k为常数）.2xlnx解k值不同，分3种情况讨论ln若k1，原式 kk1，原式=，即积分发散；k1，原式，即积分发散.例2下列反常积分发散的是（） 11（C）ex2dx（D） dx0解

0xln2积分的重要与结奇偶函数的积分性质

f(x在aa上是奇函数，则若f(x)在aa上