抛物线及其标准方程

抛物线及其标准方程当前1页，总共56页。问题探究：当e=1时，即|MF|=|MH|

，点M的轨迹是什么？探究？

可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)

我们把这样的一条曲线叫做抛物线.M·Fl·e=1几何画板观察当前2页，总共56页。当前3页，总共56页。抛物线及其标准方程当前4页，总共56页。M·Fl·e=1

在平面内,与一个定点F和一条定直线l(不在直线上）的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点,直线l叫抛物线的准线|MF|=dd为M到l的距离准线焦点d一、抛物线的定义:当前5页，总共56页。M·Fl·e=1二、标准方程的推导

思考：抛物线是轴对称图形吗？怎样建立坐标系,才能使焦点坐标和准线方程更简捷?当前6页，总共56页。1.建系2.设点3.列式4.化简l解：以过F且垂直于l的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.两边平方,整理得xKyoM(x,y)F依题意得5.检验这就是所求的轨迹方程.y如图，若以准线所在直线为y轴，则焦点F(P,0),准线L:x=0

由抛物线的定义，可导出抛物线方程为y2=2p(x-)(p＞0）p2当前7页，总共56页。三、标准方程

把方程

y2=2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中

p为正常数,表示焦点在

x轴正半轴上.且

p的几何意义是:右焦点是：左准线方程为:

一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四种形式.lxKyoM(x,y)F焦点到准线的距离当前8页，总共56页。yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒

图形

焦点

准线

标准方程第一:一次项的变量为x(或y),则x轴(或y轴)为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴上.第二:一次项的系数的正负决定了开口方向.

不容易错的最好方法是看看x(或y)的取值范围即：焦点与一次项变量相同；正负决定开口方向！

当前9页，总共56页。例11）抛物线的标准方程是y2=6x，求焦点和准线方程；2）抛物线的方程是y=－6x2,求焦点坐标和准线方程；3）抛物线的焦点坐标是F（0，-2）,求它的标准方程。解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准方程为:x=-8y232解：因为ｐ＝３，故焦点坐标为（－,０）32准线方程为x=-－.解:方程可化为:故焦点坐标为,准线方程为当前10页，总共56页。焦点坐标准线方程（1）（2）（3）（4）（5，0）x=-5（0，—）18y=-—188x=—5（-—，0）58（0，-2）y=2练习1求下列抛物线的焦点和准线方程（1）y2=20x（2）y=2x2（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式当前11页，总共56页。练习2抛物线的顶点是坐标原点，根据下列条件，分别写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是x=；（3）焦点到准线的距离是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y反思：已知抛物线的标准方程求其焦点和准线方程先定位，后定量当前12页，总共56页。．AOyx解:(1)当焦点在y轴正半轴上时，把A(-3,2)代入x2=2py，得p=

(2)当焦点在x轴负半轴上时,把A(-3,2)代入y2=-2px，得p=∴抛物线标准方程为x2=y或y2=x

。练习3抛物线经过点P(4,－2)，求抛物线的标准方程。

提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设抛物线的标准方程为y2=2px或x2=-2py例2.求顶点是坐标原点,且过A(-3,2)的抛物线的标准方程.当前13页，总共56页。4a1∴焦点坐标是（，0），准线方程是：x=4a1例3已知抛物线方程为x=ay2（a≠0)，讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？解：抛物线的方程化为：y2=x1a即2p=1

a②当a<0时,,抛物线的开口向左p2=14a∴焦点坐标是（，0），准线方程是：x=4a114a①当a>0时,,抛物线的开口向右p2=14a当前14页，总共56页。

思考:M是抛物线y2=2px（p＞0）上一点，若点M

的横坐标为x0，则x0+—2pOyxFM这就是抛物线的焦半径公式!yxoFMyxoFMyxoFMx0–(–—)2p当前15页，总共56页。例4抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的横坐标为3的点M到焦点的距离等于6，求抛物线的标准方程.y2=2px(p>0)由抛物线的定义知3-(-)=6,即p=6.数形结合,用定义转化条件,解:因为是焦点在x

轴上且过M点的抛物线,所以设标准方程为所求抛物线标准方程为y2=12x变式：抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(3,m)到焦点的距离等于6，求抛物线的标准方程.OyxFMx0–(–—)2p当前16页，总共56页。过抛物线的焦点F作x轴的垂线交抛物线与Ａ、Ｂ两点，且。34页作业9当前17页，总共56页。变式2平面上到定点和到定直线距离相等的点的轨迹为()(A)直线(B)抛物线(C)双曲线(D)椭圆变式3点M与点F(2，0)的距离比它到直线l:x+4=0的距离小2,求点M的轨迹方程?例5平面上到定点和到定直线距离相等的点的轨迹为()(A)直线(B)抛物线(C)双曲线(D)椭圆变式1平面上到定点和到定直线距离相等的点的轨迹为()(A)直线(B)抛物线(C)双曲线(D)椭圆OyxFM35页作业11当前18页，总共56页。第2课时当前19页，总共56页。准线方程焦点坐标标准方程焦点位置

图

形不同位置的抛物线

x轴的正方向

x轴的负方向

y轴的正方向

y轴的负方向y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(----yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒当前20页，总共56页。OyxFMyxoFMyxoFMyxoFMx0–(–—)2p抛物线的焦半径公式当前21页，总共56页。例1抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的横坐标为-3的点M到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程.y2=-8x变式１：抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程，并求m的值.OyxFM—–x0

2p变式２：在抛物线y2=-8x上，到焦点的距离等于5的点的坐标.35页作业10当前22页，总共56页。当前23页，总共56页。36页作业8(改)35页作业5（改）当前24页，总共56页。37页作业7（改）练习当前25页，总共56页。后备练习.已知抛物线x2=4y的焦点F和点A(-1，8)，P为抛物线上一点，则|PA|+|PF|的最小值是()(A)16(B)6(C)12(D)9D当前26页，总共56页。第3课时当前27页，总共56页。直线与抛物线位置关系种类xyO1、相离:2、相切:3、相交:（一个交点，两个交点）（一个交点）（没有交点）当前28页，总共56页。(0,1)当前29页，总共56页。判断直线是否与抛物线的对称轴平行不平行直线与抛物线相交(一个交点)平行

计算判别式>0=0<0相交相切相离(0,1)当前30页，总共56页。K=1/2K=0K=-1若直线l与抛物线有公共点,l在y轴上截距的最小值?当前31页，总共56页。变式1:已知实数x,y满足方程y2=4x,求函数的最值变式3:点(x,y)在抛物线y2=4x上运动,求函数z=x-y的最值.本题转化为过定点(-2,1)的直线与抛物线有公共点时斜率的最值问题.本题转化为直线y=x-z与抛物线有公共点时z的最值问题.无最大值变式2:点(x,y)在椭圆x2/4+y2=1上运动,求点(0,-2)与椭圆上任一点连线的斜率k的范围.当前32页，总共56页。当前33页，总共56页。当前34页，总共56页。第4课时当前35页，总共56页。例１斜率为1的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于A,B,求线段AB的长。

yxo∴|AB|==8方法(1)

解：如图:由抛物线的标准方程可知,抛物线的焦点坐标为F(1,0),所以直线AB的方程为即A,B的坐标分别为:

(,)(,)

解得,

得①②由代入方程①问题(1)试问还有其他方法或更简捷一点的解法么?方法(2)

(弦长公式)|AB|=当前36页，总共56页。yxo方法(3)由抛物线定义|AB|=|AF|+|BF|问题(1)试问还有其他方法或更简捷一点的解法么?

=|AA´|+|BB´|==8

A´B´方法(４)焦半径公式例１斜率为1的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于A,B,求线段AB的长。

当前37页，总共56页。|PF|=x0+p/2FP抛物线的焦半径公式：FPFPFP|PF|=-x0+p/2|PF|=y0+p/2|PF|=-y0+p/2当前38页，总共56页。xyOFABB’A’方法(４)焦半径公式例１斜率为1的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于A,B,求线段AB的长。

当前39页，总共56页。§

抛物线的焦点弦

问题（2）从方法（4）中你能得到什么结论？

过抛物线y²=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A,B两点则|AB|=问题（3）能否把例（2）推广到一般性的命题呢？

斜率为k的直线经过抛物线(p>0)的焦点，与抛物线相交于A，B，求线段AB的长。（用k,p表示）解：设直线AB的方程为

x1+x2+p∴|AB|=即:()y²=2px消y得:由当前40页，总共56页。斜率为k的直线经过抛物线(p>0)的焦点，与抛物线相交于A，B，求线段AB的长。（用k,p表示）解：设直线AB的方程为()

y²=2px

消y得:

即:

|AB|=

由此可得,即通径.问题(4):把上题中的斜率k换成直线的倾斜角呢?(0<<)通径是抛物线的焦点弦中最短的弦.xOyFP(分类讨论合并，即分斜率存在或不存在)当前41页，总共56页。练习.过抛物线y2=4x的焦点，作直线L交抛

物线于A、B两点，若线段AB中点的横

坐标为3，则|AB|=______.8焦点弦的长度公式当前42页，总共56页。焦半径公式例１斜率为1的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于A,B,求线段AB的长。

当前43页，总共56页。斜率为k的直线经过抛物线(p>0)的焦点，与抛物线相交于A，B，求线段AB的长。（用k,p表示）解：设直线AB的方程为()

y²=2px

消y得:

即:

命题:如果过抛物线(p>0)的焦点的一条直线和此抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x2=p2/4,y1y2=-p2当前44页，总共56页。第5课时当前45页，总共56页。xy问题(6):过抛物线(p>0)焦点的一条直线与它相交于A,B两点,经过A和抛物线顶点的直线交准线于点C

(2001高考题－作业本３９页第８题)设抛物线(p>0)的焦点F,经过F的直线交抛物线A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明:AC经过原点O.那么BC与抛物线的对称轴有什么关系呢?(证KOC=KOA)∴BC平行于对称轴.(的结论略证)

当时

(x2,y2)(x1,y1)则直线OA的方程证明:设A(),B(),C()当前46页，总共56页。问题(6):有什么几何意义呢?

(x1,y1)(x2,y2)xyF´B´A´结论:Q(2)以Q为圆心,以A´B´为直径的圆切AB于F点.

△AQA´与△AQF全等当前47页，总共56页。问题(6):有什么几何意义呢?(x1,y1)(x2,y2)xyF´B´